基于生物炭技術(shù)的農(nóng)作物秸稈收購半徑與收集站設(shè)置的數(shù)學(xué)模型*

崔福君， 陳丕煒， 鄭 浩， 王震宇**

(1.中國海洋大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100； 2.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

生物炭是酸性土壤修復(fù)的重要新型材料，農(nóng)作物秸稈是生產(chǎn)生物炭的重要原料，因此生物炭技術(shù)作為農(nóng)作物秸稈開發(fā)利用的新型技術(shù)，既變廢為寶，又節(jié)能減排；而生物炭技術(shù)應(yīng)用是否可行，與農(nóng)作物秸稈收集成本、熱解加工成本以及炭補償金和農(nóng)業(yè)效益持續(xù)時間等密切相關(guān)，而影響農(nóng)作物秸稈收集成本的關(guān)鍵因素是原材料運輸距離[1-3]。

農(nóng)作物秸稈無論用于制作生物炭、成型燃料還是發(fā)電，在其經(jīng)濟(jì)效益分析過程中，農(nóng)作物秸稈的收集、運輸都是具有重要影響的因素[4-5]。于曉東在秸稈發(fā)電燃料收加儲運過程模擬分析中，通過分析不同模式下的成本變化趨勢，對不同收購量及不同收購半徑情況下秸稈收購，提出理想的優(yōu)化模式，即集中收集和分散收集相結(jié)合模式。認(rèn)為無論是單純的集中收集加工模式還是分散的收集加工模式，從收集成本考慮，都不是理論上的最佳模式，建議應(yīng)該在距離電廠幾十公里范圍內(nèi)適當(dāng)設(shè)幾個收購點，同時，電廠內(nèi)的料場也應(yīng)該設(shè)置燃料的破碎及打包設(shè)備，便于收購電廠周邊近距離的秸稈，這樣可以有效降低燃料成本[6]。馬放等在秸稈能源化工程原料運輸半徑經(jīng)濟(jì)和環(huán)境評價中對原料收購半徑經(jīng)濟(jì)評價模型、原料收購半徑環(huán)境評價模型進(jìn)行了評價，并提出了秸稈能源轉(zhuǎn)化密度的概念，通過研究表明在哈爾濱地區(qū)建設(shè)沼氣、乙醇、熱電聯(lián)產(chǎn)和成型燃料工程時，運輸半徑分別為37、35、22和4 km左右，此時工程的單位利潤最大[7]。

邢愛華在生物質(zhì)資源收集過程成本、能耗及環(huán)境影響分析中，建立了描述秸稈收集過程成本、能耗和污染物排放的數(shù)學(xué)模型，討論了壓縮對秸稈收集成本、能耗及環(huán)境的影響，并對收集過程的成本和能耗進(jìn)行了敏感性分析，并通過數(shù)據(jù)分析獲知，壓縮后的運輸成本占不壓縮運輸成本的1/3，但同時增加了壓縮成本[8]。朱金陵等在玉米秸稈成型燃料生命周期評價中從能源消耗和環(huán)境排放出發(fā)，分析了玉米秸稈生長、運輸、壓縮成型及成型燃料運輸、燃燒利用等過程，建立了秸稈成型燃料的生命周期能源消耗、環(huán)境排放分析模型。研究表明，秸稈運輸、壓縮成型、燃料運輸?shù)拳h(huán)節(jié)都需要消耗能源，壓縮成型能耗占總能耗95.2%，但壓縮后密度提高，便于運輸和儲存，可以高效利用[9]。

同時生物炭經(jīng)濟(jì)可行性與各國實際情況密切相關(guān)，對于發(fā)達(dá)國家(地區(qū))和發(fā)展中國家(地區(qū))，勞動力成本、機械、運輸和能源的經(jīng)濟(jì)成本不同，其生物炭的經(jīng)濟(jì)性完全不同。因此對發(fā)達(dá)國家(地區(qū))與其他非發(fā)達(dá)國家(地區(qū))在農(nóng)作物秸稈生產(chǎn)生物炭的經(jīng)濟(jì)性評估方面應(yīng)該分別考慮。

通過以上分析發(fā)現(xiàn)，相關(guān)學(xué)者雖然在農(nóng)作物秸稈生物炭生產(chǎn)影響因素或者農(nóng)作物秸稈收集運輸方面進(jìn)行了相關(guān)研究，但是均沒有建立一個廣泛適用的農(nóng)作物秸稈收購半徑和收集站設(shè)置計算方法。為便于政府和企業(yè)決策，本文通過分析影響農(nóng)作物秸稈生物炭生產(chǎn)基地建設(shè)的相關(guān)參數(shù)，建立了農(nóng)作物秸稈收購半徑與農(nóng)作物秸稈收集站位置設(shè)置的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)節(jié)約運輸成本、優(yōu)化運輸模式、提高運輸效率。

1 農(nóng)作物秸稈收購半徑數(shù)學(xué)模型建立

1.1 方法和參數(shù)

為了便于分析，采用盈虧平衡分析方法(I=P×Q-VC×Q-FC)[10-11]，對影響生物炭生產(chǎn)基地的銷售收入、變動成本和固定成本作如下歸類：

(1)單位質(zhì)量農(nóng)作物秸稈轉(zhuǎn)化為生物炭的相關(guān)銷售總收入為a；

(2)單位質(zhì)量單位距離農(nóng)作物秸稈的運輸總費用為b；

(3)單位質(zhì)量農(nóng)作物秸稈變動總成本為c；

(4)生物炭生產(chǎn)固定資產(chǎn)總投資為d。

上述參數(shù)提到的秸稈的質(zhì)量可由農(nóng)作物秸稈分布的面密度ρ(即單位面積秸稈的質(zhì)量)與秸稈的分布面積確定。本文假定秸稈均勻分布，即ρ為常數(shù)。

1.2 農(nóng)作物秸稈收購半徑數(shù)學(xué)模型建立

根據(jù)盈虧平衡分析方程，列出利潤函數(shù)：

為求最大利潤，令

I′(R)=2(a-c)ρπR-2bρπR2=0，

得I(R)的最大值點為(見圖2)

從而，最大利潤為

圖1 農(nóng)作物秸稈收購半徑示意圖

圖2 利潤函數(shù)I(R)示意圖

通過以上分析發(fā)現(xiàn)，決定生物炭生產(chǎn)基地農(nóng)作物秸稈收購半徑R0的關(guān)鍵因素是單位質(zhì)量農(nóng)作物秸稈帶來的收益和單位質(zhì)量單位距離農(nóng)作物秸稈運輸費用，與農(nóng)作物秸稈面密度ρ大小無關(guān)，而最大收益Imax與農(nóng)作物秸稈面密度ρ密切相關(guān)。

2 農(nóng)作物秸稈收集站模型的建立

農(nóng)作物秸稈具有松散、密度低、形狀不規(guī)則等特點，在進(jìn)行生物炭加工前需要預(yù)處理，形成符合生物炭爐要求的大小尺寸和密度，既有利于工廠化生產(chǎn)又提高了工作效率。而這一過程的實施地點對生產(chǎn)成本具有重大影響，即將這一預(yù)處理過程由“在生物炭生產(chǎn)基地進(jìn)行”移到“農(nóng)作物秸稈收集站進(jìn)行”，這樣為后續(xù)由收集站運輸原料到生物炭生產(chǎn)基地節(jié)約了大量運輸成本，因此收集站設(shè)置在離生物炭生產(chǎn)基地多遠(yuǎn)非常重要。

2.1 設(shè)立一個收集站的最優(yōu)選址模型

易知，以上兩種運輸方式費用相等的點(x,y)滿足：

即

記

從而

圖3 農(nóng)作物秸稈收集站位置設(shè)置示意圖

收集站的最優(yōu)選址問題歸結(jié)為選取合適的h值，使得總費用f(h)最低。由f(h)和g(h)單調(diào)性相同，此問題歸結(jié)為求g(h)的最小值點。

由方程組

得雙曲線與圓盤D邊界交點為(x0,y0)和(x0,-y0)，其中

從而

g(h)=

其中對于-y0

考慮到上述積分中被積函數(shù)和積分區(qū)域的復(fù)雜性，結(jié)合數(shù)值積分的方法討論g(h)的最小值點。

取R=1，θ=0.5，h的步長為0.01R。用數(shù)值積分近似計算g(h)并繪制其圖像(見圖4)。

圖4 θ=0.5時函數(shù)g(h)的近似圖像

在表1中，針對不同θ值，給出在最優(yōu)位置增設(shè)收集站時，節(jié)省的費用比例。取R=1。

2.2 設(shè)立多個收集站的最優(yōu)選址模型

如果要在D上建n個收集站(n≥2)，應(yīng)如何選址才會使收集運輸D上的全部秸稈至加生產(chǎn)基地所需的總費用最低？

如果n個收購站可在D上自由設(shè)置，則此問題的計算復(fù)雜度較高。為此我們僅在如下假設(shè)條件下，考慮上述問題的最優(yōu)解。

表1 不同θ值農(nóng)作物秸稈收集站位置設(shè)置及節(jié)省費用列表Table 1 Thedifferentstraw collection sitesof the different θ values and the different cost savings

圖5 n個收集站位置設(shè)置示意圖(n=5)

分成了D01和D02兩部分，其中D01上的秸稈直接運至生產(chǎn)基地費用較低，D02上的秸稈先經(jīng)過收集站再運至生產(chǎn)基地費用較低。根據(jù)交點位置分為圖6和7兩種情況。

圖6 雙曲線與扇形邊界交點位于半徑上(情形1)

圖7 雙曲線與扇形邊界交點位于弧上(情形2)

類似于2.1的討論，收集運輸D0上的全部秸稈至生產(chǎn)基地所需的費用為：

記

g0(h)=

從而

因此，在設(shè)置n個收購站時，收集運輸D上的全部秸稈至生產(chǎn)基地所需的總費用為：

對于情形1：雙曲線與扇形區(qū)域D0的半徑相交，如圖6所示，設(shè)區(qū)域D02邊界的四個頂點坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x1,-y1)、(x2,y2)、(x2,-y2)，由方程組

解得

由方程組

解得

其中

對于情形2：雙曲線與扇形區(qū)域D0的弧相交，如圖7所示，交點坐標(biāo)為(x0,y0)和(x0,-y0)。

同樣本文結(jié)合數(shù)值積分方法討論此最優(yōu)選址問題。

如增設(shè)n=5個收集站，取R=1，θ=0.5，h的步長為0.01R。用數(shù)值積分近似計算g0(h)并繪制其圖像(見圖8)。

圖8 n=5時函g0(h)數(shù)的近似圖像

在表2中，本文針對不同n值，給出在最優(yōu)位置增設(shè)收集站時，節(jié)省的費用比例。取R=1，θ=0.5。

表2 n個農(nóng)作物秸稈收集站位置設(shè)置及節(jié)省費用列表

3 結(jié)果與分析

(2)通過對生物炭生產(chǎn)基地建設(shè)參數(shù)分析發(fā)現(xiàn)，提高運輸效率是在管理過程中節(jié)約成本的唯一可控途徑。農(nóng)作物秸稈經(jīng)過打包壓縮后再運輸，節(jié)約了運輸成本。壓縮是農(nóng)作物秸稈進(jìn)入炭爐之前的必須程序，但是壓縮時序即是運輸前壓縮還是運輸?shù)缴锾可a(chǎn)基地后壓縮，對整個運輸成本產(chǎn)生重要影響。本文將壓縮提前到運輸前實施，即依托村鎮(zhèn)為單位實施壓縮程序，將原先在生物炭生產(chǎn)基地進(jìn)行的程序前移到村鎮(zhèn)收集站實施，大幅度提高了運輸效率。當(dāng)農(nóng)作物秸稈經(jīng)收集站運輸至生產(chǎn)基地費用占直接運輸至生產(chǎn)基地費用50%時，即θ=0.5，收集站位置h為0.49R，節(jié)約費用比例為4.03%；隨著運輸效率的提高，節(jié)約比例逐步增加，當(dāng)經(jīng)收集站運輸費用占直接運輸費用10%時，收集站位置h為0.59R，節(jié)約比例增至11.51%。

(3)在對稱性假設(shè)的前提下，我們進(jìn)一步討論了增設(shè)n個收集站的最優(yōu)選址問題。從結(jié)果看，當(dāng)n≤4時，總運費的節(jié)省比例與收集站的個數(shù)n近似正比。而當(dāng)n≥5時，每增加一個收集站所能增加的總運費節(jié)省比例效率開始降低。這些結(jié)果的取得對于在實際問題中如何增設(shè)收集站以提高秸稈的收購效率提供了理論依據(jù)。

4 模型改進(jìn)與推廣

本文就秸稈均勻分布在圓盤形區(qū)域的理想情形，討論了生物炭生產(chǎn)基地和收集站的最優(yōu)選址問題。文中所建立的模型可在以下幾個方面進(jìn)行改進(jìn)和推廣：

(1)秸稈的分布區(qū)域是任意的平面有界區(qū)域，如：矩形區(qū)域。

(2)秸稈的分布密度不均勻。

(3)農(nóng)作物秸稈運送到生物炭生產(chǎn)基地或收集站的距離不是直線距離，而是沿一定的道路交通網(wǎng)進(jìn)行計算。

(4)考慮農(nóng)作物的的周期性、秸稈回收設(shè)備的折舊、投資的時間成本等因素對利潤函數(shù)的影響。