基于微分方程的主動機動陸基反艦導彈制導算法設計

黃嘉宇

(南京理工大學 電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094)

1 問題提出

陸基反艦導彈作為一種非對稱性武器，能夠有效威懾敵方大型軍艦。隨著科技不斷進步，水面艦艇防護能力和反導導彈防御能力、抗毀傷能力不斷增強，客觀上要求反艦導彈增強突防能力。如何設計一種能夠有效規(guī)避敵方攔截導彈，且能有效利用導彈的內部能量進行機動的反艦導彈，成為我國亟待解決的問題。

本文以航母作為假想敵，在考慮敵方使用反導系統(tǒng)的情況下，根據(jù)模擬仿真靜態(tài)、動態(tài)狀況下的導彈運行軌跡，設計主動機動陸基反艦導彈的運行軌跡算法。在這個設計過程中，需要解決下面3個問題。

問題1：反艦導彈打擊航母的靜態(tài)軌道模型。即當t=0時，導彈初始位置與航母坐標之間的軌道曲線模型。

問題2：在給出航母航向和速度的條件下，設計導彈在飛行中段的動態(tài)模型方程和算法步驟。通常以發(fā)射段的拋物線頂點作為中段起始點。

問題3：分析導彈打擊航母的軌道曲線誤差和命中率。

在本文中，只討論前面兩個問題。

2 問題分析

2.1 問題1分析

問題1是解決所有問題的關鍵，必須分析導彈打擊航母的運行軌跡。導彈運行過程分為發(fā)射段、中段和末段。在采用垂直發(fā)射方式時，導彈飛行軌跡受到推力、氣動阻力、重力、控制力等因素影響。在末段100km左右，導彈開始自主搜索目標，并對目標進行識別和實施打擊;在中段飛行受到控制平臺的指令控制。本文著重分析導彈在中段運行的軌道曲線。在設計運行軌道時，還必須考慮敵方反導系統(tǒng)的攔截問題。在敵方反導系統(tǒng)不實施攔截的情況下，導彈將從中段的起點處直接到達末段的起點處。在敵方攔截導彈的情況下，敵方通過預判反艦導彈的飛行軌跡，在反艦導彈飛行路線上設置爆炸區(qū)域，以攔截反艦導彈?？赏ㄟ^分析爆炸區(qū)域范圍，對反艦導彈進行指令控制，并調整飛行軌道，以避開爆炸區(qū)域。在滿足能量守恒的情況下，利用神經(jīng)網(wǎng)絡算法計算反艦導彈的最佳飛行軌跡。

2.2 問題2分析

在給出航母航向和航行速度的條件下，將反艦導彈的軌跡投影在海平面上，投影曲線各處的切線方向始終指向航母。假設水平方向的速率與飛行速率均不發(fā)生變化，控制垂直方向的速度，使反艦導彈避開威脅區(qū)域，并對預測點的算法進行修正。規(guī)避反導導彈的方式是改變Z軸方向的速度。解決問題2的實質是分析反艦導彈如何追蹤直線行駛的航母。

3 模型假設

假設反艦導彈發(fā)射車的初始位置坐標為E120°30.0＇N27°30.0＇， 這是用反艦導彈打擊航母的坐標系原點。由海洋偵察衛(wèi)星與高空長航時無人機偵察獲得的信息傳輸給陸基導彈發(fā)射指揮中心，并計算和確定航母的初始位置坐標H(X0，Y0)為 E123°45.0＇N25°39.0＇。 測得航母當前的信息包括航母艦長為335m、航速為32節(jié)、航向始終為正南方向。航母動態(tài)坐標數(shù)據(jù)H(Xt，Yt)由衛(wèi)星和無人機動態(tài)提供給指揮中心，動態(tài)監(jiān)控數(shù)據(jù)記為 Hi(Xi，Yi)，i=1，2，...n。指揮中心利用這些數(shù)據(jù)建模，計算航母航行軌道、反艦導彈打擊航母的動態(tài)運行軌道。

將反艦導彈運行軌道曲線劃分為發(fā)射段、中段、末段[4]。發(fā)射段為拋物線，發(fā)射速度為500m/s。中段可設計為不同的飛行軌道，由反艦導彈的飛行參數(shù)控制。末段最高速度可達到1000m/s，反艦導彈末段飛行時間不超過20s。反艦導彈運動的三段曲線的銜接點光滑，曲線連續(xù)且存在一階導數(shù)。

在考慮敵方反導系統(tǒng)攔截的條件下，期望給出難以攔截的供給曲線，即反艦導彈運行軌道曲線。由地面指揮中心提供反艦導彈中段軌道制導數(shù)據(jù)。在反艦導彈運行末段，由反艦導彈自主攻擊航母目標。

依據(jù)上述分析，提出5個模型假設。一是若無敵方反導系統(tǒng)干擾，則反艦導彈不做主動機動。二是反導導彈的爆炸范圍為球形，且反艦導彈在該區(qū)域飛行將被反導導彈摧毀。三是反艦導彈接收地面指揮中心提供的指導數(shù)據(jù)信息不受電磁場影響。四是航母發(fā)射反導導彈的時間間隔固定。五是反艦導彈在水平面上進行機動時，靠尾翼調節(jié)，消耗的能量極小。

4 模型的建立與求解

為了更好地構建與分析模型，將涉及的符號在表1中進行說明。

表1 符號說明

4.1 靜態(tài)模型的建立與求解

4.1.1 發(fā)射段模型建立

在發(fā)射段反艦彈道導彈主要受推力、氣動阻力、重力、控制力的影響，因此可建立下面的表達式：

對于仿真初始條件，采用原地球模型，建立以發(fā)射點為原點的天東北(UEN)坐標系[1]。假設反艦彈道導彈的推進劑(燃料)質量Mf=2900kg，彈頭質量Mb=3000kg，比推力Isp=320s，彈道系數(shù)β=0.03，關機點時間tbo=65。在彈道導彈發(fā)射20s后，開始進入轉彎段，至瞄準結束，彈道旋轉至仰角η=28，方位角α=15，則仰角和方位角的角速度ωn=0.00469π，ωα=0.00185π。 令反艦彈道導彈發(fā)射點的坐標為(0，0，0)km。模擬仿真發(fā)射段的運行曲線近似為拋物線。在所有發(fā)射條件都相同的情況下，反艦導彈發(fā)射段末端的高度為一定值。

4.1.2 導彈發(fā)射中段模型建立

計算反艦導彈燃料質量的減少量、飛行角度、飛行距離、飛行時間等之間的函數(shù)關系，通過控制姿態(tài)、火箭燃燒時間來控制導彈飛行狀況。對反導導彈的運動軌跡進行預測，確定可能產(chǎn)生威脅的區(qū)域。通過調整火箭姿態(tài)，改變軌跡，避開反導導彈威脅區(qū)域，以進入預定反艦導彈末段軌跡的起點。

4.1.3 調整火箭姿態(tài)

對發(fā)射段進行靜態(tài)分析，陸基導彈基井與航母的方位角、距離為固定數(shù)值[2]。反艦導彈在中段飛行過程中，速度vx與vy保持不變，即方位角θ1不發(fā)生改變。為了使反艦導彈具備突防能力，通過改變vz的大小來改變俯仰角θ2，以調整導彈的飛行軌跡?；鸺剂系娜紵俾什话l(fā)生變化。

根據(jù)z軸方向上的動量守恒可得：

在反艦導彈某一個變軌時期的初速度為v0，M的初始值為M0，變速時間為t。則：

在變軌過程中，z軸距離為(設變化總時間為t1，且都從0時刻開始計時)

在變軌過程中，x與y在水平上的距離為：

圖1 垂直調姿示意圖

4.1.4 爆炸點危險區(qū)域的預測

采用神經(jīng)網(wǎng)絡方法預測爆炸點。根據(jù)反艦導彈與航母的直線距離，以及敵方發(fā)射反導導彈的固定時間間隔Tt。輸入反艦導彈坐標xy，輸出反導導彈的水平與垂直距離為De，以此建立反艦導彈軌跡與反導導彈軌跡的函數(shù)方程，進而預測敵方攔截點。經(jīng)過一定時間訓練的神經(jīng)網(wǎng)絡，可預測反導導彈軌道。以反艦導彈軌道與反導導彈軌道的交點為球心的立體球形范圍內為最大危險區(qū)域。由此可預先調整反艦導彈軌道。建立的神經(jīng)網(wǎng)絡圖如2所示。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡示意圖

將隱層節(jié)點數(shù)的個數(shù)設置為3，其中隱層、輸出層的傳遞函數(shù)分別為tansig和purelin，運用trainim方法進行訓練，建立神經(jīng)網(wǎng)絡結構。

4.2 動態(tài)模型的建立與求解

建立在水平面上的追蹤模型。反艦導彈要規(guī)避反導導彈的爆炸威脅區(qū)域，可通過在z軸上進行主動機動來實現(xiàn)。分析在水平面即x、y軸上導彈追蹤問題，分析航母向南直線行駛的過程。設導彈基地為原點 O（0，0），x 軸指向正西方，y 軸指向正南方。

當 t=0 時，反艦導彈位于 O，航母位于點（0，H），設導彈 t時刻的位置為 P（x（t），y（t）），則：

在第t時刻，航母的位置為M（vet,H），其中ve=59.264km/s。由于導彈軌跡的切線指向航母，即直線PM的方向就是反艦導彈軌跡上點P的切線方向，故有：

其初始條件為 x（0）=0，y（0）=0，構成了一個關于時間的變量t的一階微分方程組的初值問題。計算得：

兩邊對t求導得：

即有：

設導彈擊中航母于B(L，H)，以y=H代入上式得：

接下來用數(shù)值方法進行求解。取時間步長Δt=t,對應 tk=kt時導彈軌跡上點的坐標(Xk,Y（k）)，則Euler格式為 ：

4 總結

在設計陸基反艦導彈定點打擊運行軌跡時，本文分析了發(fā)射段和中段的運行軌跡。在發(fā)射段，采用動力學模型，分析彈體受力，得到近似拋物線的發(fā)射軌跡;在中段，采用神經(jīng)網(wǎng)絡算法，通過雙方導彈的運動坐標，對神經(jīng)網(wǎng)絡進行訓練。反艦導彈軌跡可能要經(jīng)過反導導彈的防御爆炸危險區(qū)。在豎直平面內分析火箭噴火時間、角度與敵方導彈防御區(qū)距離之間的關系，控制反艦導彈的飛行軌跡，以躲避敵方導彈的威脅。

當航母以固定速度行駛時，必須分別分析發(fā)射段與中段的飛行問題。由于航母速度低于反艦導彈速度，在發(fā)射段運用問題1的模型分析;在中段，假設反艦導彈在水平上的速度分量不變，在x軸與y軸上，通過建立微分方程，在水平方向上反艦導彈始終指向打擊目標，將空間問題轉化為二維坐標問題。同時，在z軸上，采用問題1中建立的模式進行機動。