反思在初一數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用例談

東華初級(jí)中學(xué) 胡 嫣

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，解題教學(xué)的效果直接影響到數(shù)學(xué)教與學(xué)的質(zhì)量.在初一數(shù)學(xué)解題教學(xué)中不僅要教會(huì)學(xué)生如何解題，讓學(xué)生清楚解題思路的形成過(guò)程，經(jīng)歷解題思維的構(gòu)建過(guò)程，讓學(xué)生反思這個(gè)題是為何想到這樣去解的，這一點(diǎn)在整個(gè)解題教學(xué)中至關(guān)重要.只有在不斷的反思總結(jié)中，才會(huì)形成有價(jià)值的方法經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化與方法的正遷移，真正達(dá)到解題能力的提升.

一、重視進(jìn)行解法比較，反思不同解法的優(yōu)缺點(diǎn)

解題后值得反思的內(nèi)容和方面很多，不同的解題者可能會(huì)獲得不同的感受，但針對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以從不同的角度進(jìn)行反思，也就是使解題之后的反思有所側(cè)重.對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，可能從不同角度考慮會(huì)得出多種解法，那么這些解法就可能有繁有簡(jiǎn)、有優(yōu)有劣，這樣就可以在反思中對(duì)這些解法進(jìn)行比較，通過(guò)反思對(duì)解法作出評(píng)析，在反思中提高題目的利用價(jià)值.

例1已知關(guān)于x,y的方程組的解滿足3x+2y=19，求m的值.

此題從不同角度思考可得到如下幾種解法.

像這種一題多解的題目，教學(xué)時(shí)不僅要挖掘解法的多樣性，還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同解法進(jìn)行比較和評(píng)析.學(xué)生經(jīng)過(guò)反思一題多解的情況后發(fā)現(xiàn)，解法一，將m看作一個(gè)代數(shù)，解關(guān)于未知數(shù)x,y的二元一次方程組，用含m的式子表示出x,y的值后，再代入3x+2y= 19，建立關(guān)于m的方程，解出m的數(shù)值.解法二，將原方程組中的m消去，得到一個(gè)僅關(guān)于x,y的二元一次方程，結(jié)合已知的3x+2y= 19，求解出x,y的值，再求m的值.對(duì)比第一種方法，解法一避免了計(jì)算x,y的值，直接求m更加簡(jiǎn)潔.解法三和解法四都是通過(guò)觀察已知的三個(gè)式子:x+2y= 5m, x-2y= 9m和3x+2y= 19 之間的關(guān)系，運(yùn)用等式的性質(zhì)，建立關(guān)于m的方程，解m的.只是解法三，通過(guò)發(fā)現(xiàn)了2x的兩個(gè)不同的表達(dá)式;解法四，通過(guò)轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)3x+2y的另一個(gè)表達(dá)式，建立關(guān)于m的方程.這兩種方法具有極強(qiáng)的技巧性，十分巧妙，可以鍛煉思維的靈活性.但是當(dāng)遇到不同題時(shí)還要根據(jù)具體的情況進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化與變形，不具一般性，因此解法一更為通俗，可以把解題套路運(yùn)用到其他題中，達(dá)到舉一反三的效果.

通過(guò)反思對(duì)不同解法進(jìn)行了辯證的比較，了解了這些解法的優(yōu)劣和互補(bǔ)性，在反思中就收獲了不同的解法經(jīng)驗(yàn)，對(duì)不同的解法就有了更深刻的認(rèn)識(shí)和理解，促進(jìn)了解題思維的形成.此外，經(jīng)常這樣反思一題多解的過(guò)程，還可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)各種解法的鑒賞能力.

二、加強(qiáng)解題思維訓(xùn)練，重視反思典型錯(cuò)誤解法

加強(qiáng)解題思維訓(xùn)練是提高解題能力的重要途徑，解題思維訓(xùn)練的方式很多，其中對(duì)典型錯(cuò)誤解法進(jìn)行反思是一種效果不錯(cuò)的方式.通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤思路和方法的反思，促進(jìn)對(duì)同一問(wèn)題正反面的認(rèn)識(shí)，也因此訓(xùn)練解題思維能力，從另一個(gè)角度提高了解題能力.

例2已知實(shí)數(shù)a,b滿足|a+1|= 2, |b+1|= 2，求的值.

學(xué)生在解題可能會(huì)出現(xiàn)如此解法:

由題意知a,b是方程|x+1|=2 的兩解，則，或，所以

此解題過(guò)程看起來(lái)?xiàng)l理清楚，推理過(guò)程有理有據(jù)，結(jié)果似乎正確，但實(shí)際上卻有問(wèn)題.此時(shí)教師不宜直接指出解法的錯(cuò)誤之處，要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反思發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤所在.經(jīng)過(guò)對(duì)解題過(guò)程的反思，可以發(fā)現(xiàn)，由方程|a+1|= 2 解出的a的值有2 個(gè)，同樣b的值也有2 個(gè)，那么的值就相應(yīng)地有2 個(gè)(有兩組同值)，可見(jiàn)上述解法出現(xiàn)了漏解的情況; 另外，由“實(shí)數(shù)a,b滿足|a+1|= 2, |b+1|= 2”到“a,b是方程|x+1|= 2 的兩解”的轉(zhuǎn)化不等價(jià)，因?yàn)閨a+1|= 2, |b+1|= 2 中的a,b是獨(dú)立的，也就是說(shuō)a,b可以取相同的值，而在化歸為a,b是方程|x+1|=2 的兩解后，就忽略了a,b可以表示同一數(shù)的情形.通過(guò)反思學(xué)生清楚了此錯(cuò)誤解法是因?yàn)檗D(zhuǎn)化的不等價(jià)造成的，這樣就達(dá)到了反思的作用.

對(duì)于此類(lèi)具有一定代表性和典型性的錯(cuò)誤解法，在解題教學(xué)中不僅要利用正確的資源，也要善于對(duì)此錯(cuò)誤資源加以有效利用，使學(xué)生在反思中認(rèn)清錯(cuò)誤的根源，避免再犯同樣的錯(cuò)誤，同時(shí)也使解題更趨合理，有利于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性，克服思維定勢(shì)負(fù)遷移的影響，進(jìn)一步優(yōu)化思維品質(zhì).

三、注意挖掘解題規(guī)律，反思解決問(wèn)題的模式

在解題教學(xué)中，要善于挖掘隱含其中的解題規(guī)律，對(duì)規(guī)律和方法加以歸納總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生反思其解題特點(diǎn)，有效把握其解題規(guī)律特征，從而熟悉和掌握一類(lèi)問(wèn)題的解題方法，提高解題教學(xué)的效率，使反思過(guò)程得到優(yōu)化提升.

例3探究:

(1)如圖a，若AB//CD，則∠B+∠D=∠E，你能說(shuō)明為什么嗎?

(2)反之，若∠B+∠D= ∠E，直線AB與CD有什么位置關(guān)系?請(qǐng)證明.

(3)若將點(diǎn)E移至圖b 所示位置時(shí)∠B,∠D,∠E之間有什么關(guān)系?請(qǐng)證明.

(4)若將點(diǎn)E移至圖c 所示位置，情況又如何?

(5)在圖d 中，AB//CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系?

(6)在圖e 中，若AB//CD，又得到什么結(jié)論?

這是一類(lèi)夾在兩平行線間的折線問(wèn)題，考查平行線的性質(zhì)與判定，是基礎(chǔ)題，解題關(guān)鍵在過(guò)折點(diǎn)作平行線，將復(fù)雜的圖形分解為基本圖形.圖a 和圖b 中，點(diǎn)E的位置在AB,CD之間，分別是AB，CD的內(nèi)折線和外折線;圖c 將E點(diǎn)位置移到AB,CD同側(cè); 圖d，圖e 在AB,CD之間增加折線的條數(shù)，探究新的結(jié)論，給我們留下了創(chuàng)造性思考的空間.問(wèn)題解決的關(guān)鍵都是過(guò)E點(diǎn)作AB(或CD)的平行線，把復(fù)雜的圖形化歸為如圖a 或圖b 兩種基本圖形.

在此解題教學(xué)中，一方面要引導(dǎo)學(xué)生反思為何過(guò)折點(diǎn)作AB(或CD)的平行線，而不作其他的輔助線求解，反思此解題方法思路是如何形成的;另一方面要注意挖掘過(guò)折點(diǎn)作平行線的解題規(guī)律，反思其中的解題特點(diǎn)，即如何選擇有效的理論依據(jù)進(jìn)行說(shuō)理論證的.

在解題之后，反思其解題方法過(guò)程是否可以歸結(jié)為某種模式，當(dāng)再次遇到同類(lèi)問(wèn)題模式時(shí)，便可利用已知的解題策略加以解決，使解題的效應(yīng)擴(kuò)大到更廣的范圍，解題效果也在應(yīng)用中得到提升.在利用模式識(shí)別解決問(wèn)題時(shí)，要對(duì)問(wèn)題屬于的模式進(jìn)行識(shí)別和辨認(rèn)，并在問(wèn)題的解決過(guò)程中尋找、構(gòu)建恰當(dāng)?shù)慕忸}模式，進(jìn)而在解題中提煉出新的問(wèn)題模式，提升模式識(shí)別解題方法的應(yīng)用水平.

四、關(guān)注命題的基本思想，反思其中隱含的思維方法

每一個(gè)題目都包含著命題者命制該題的思想，也就是出于什么思考才命制出該題目，該題目想考查何種知識(shí)和方法均體現(xiàn)著命題者的思想觀念.由于題目必然反映出命題的基本思想，因此在解題教學(xué)中，就需要關(guān)注命題思想，對(duì)其命題思想進(jìn)行剖析，反思其中隱含的思維方法，搞清其命題意圖，這對(duì)于提高解題能力是極其有幫助的.

例4

(1)【數(shù)形結(jié)合思想】有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖2所示，求|a-b|-|a+c|+|b+c|=?

圖2

分析:根據(jù)圖形可以判斷出a-b, a+c, b+c的正負(fù)，進(jìn)行去絕對(duì)值化簡(jiǎn).

(2)【分類(lèi)討論思想】解關(guān)于x的方程:(a-3)x=b-2.

分析:正確分類(lèi)討論x的系數(shù)a-3 和b-2 是解決此題的關(guān)鍵.

(3)【整體思想】當(dāng)代數(shù)式x2+2x+3 的值為5 時(shí)，求代數(shù)式3x2+6x-2 的值是多少?

分析:將x2+2x看作一個(gè)整體，其值為2，整體代入求值即可求得3x2+6x-2 的值.

(4)【方程思想】如圖3所示，∠1 =4∠2，求∠1 和∠2 的度數(shù).

圖3

分析:充分利用圖中所隱含的∠1 和∠2 的鄰補(bǔ)角關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系，設(shè)未知數(shù)∠2=x，∠1=4x，列方程x+4x=180°，求解x的值.

在解題教學(xué)中，不僅教會(huì)學(xué)生怎樣解題，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)關(guān)注其命題的思想，從掌握命題思想入手，弄清其考查的解題思維模式，往往問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

通過(guò)解題后的反思，明確解題的思想方法，有利于打破定勢(shì)思維，遇到問(wèn)題時(shí)，能靈活轉(zhuǎn)換思路，或釆取間接迂回的方法接近目標(biāo)，從而提高數(shù)學(xué)解題能力.

總之，要養(yǎng)成解題之后的反思習(xí)慣，經(jīng)常對(duì)解題方法、解題思路、解題過(guò)程、問(wèn)題模式、解法中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法等進(jìn)行反思，不斷地思考出新的判斷，構(gòu)建起新的知識(shí)體系，不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).