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    優(yōu)化思維路徑 突出數(shù)學(xué)本質(zhì) 提升核心素養(yǎng)

    2019-12-06 09:18:50廣東省佛山市第一中學(xué)528000吳統(tǒng)勝
    關(guān)鍵詞:證法單調(diào)證明

    廣東省佛山市第一中學(xué)(528000)吳統(tǒng)勝

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》不僅重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(四基)的教學(xué),更加強調(diào)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題和分析、解決問題的能力(四能)的培養(yǎng),并希望把學(xué)生的能力培養(yǎng)提升到培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的高度,指導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,會用數(shù)學(xué)思維思考世界,會用數(shù)學(xué)語言表達世界(三會).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是課程目標要求,“三會”則是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn).要提升學(xué)生學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),教師就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)問題的角度,通過提出問題、分析問題、解決問題、拓展問題等過程來達成這一目標.

    核心素養(yǎng)是育人的目標,目前在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師更多地是關(guān)注教學(xué)目標的實現(xiàn)、教學(xué)內(nèi)容的把握、教學(xué)方法的選擇、教學(xué)效果的反饋,而缺少教書育人方式的思考.如何在依據(jù)學(xué)科核心素養(yǎng)修訂課標與重組教材的頂層設(shè)計之下,積極探索學(xué)科核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐案例,即結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容探尋指向核心素養(yǎng)的教學(xué)路徑與方法,將核心素養(yǎng)落地的“最后一公里”做細、做實,是每一位數(shù)學(xué)教師要思考和實踐的課題.

    《普通高中課程標準(2017年版)》在課程基本理念中指出:“把握數(shù)學(xué)本質(zhì),啟發(fā)思考,改進教學(xué)”.數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵一般包括數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系;數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程,數(shù)學(xué)思想方法的提煉;數(shù)學(xué)理性精神(依靠思維能力對感性材料進行一系列的抽象和概括、分析和綜合,以形成概念、判斷或推理,這種認識為理性知識.重視理性認識活動,以尋找事物的本質(zhì)、規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系,這種精神稱為理性精神)的體驗等方面.數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是還原課堂本真,讓學(xué)生的思維得以生長.我們應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)課堂,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),使得學(xué)生由“學(xué)會”轉(zhuǎn)化為“會學(xué)”;由“做題”轉(zhuǎn)化為“做數(shù)學(xué)”,從而發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力;樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學(xué)精神;不斷提高實踐能力,提升創(chuàng)新意識.

    如何有效開展數(shù)學(xué)教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力? 如何在教學(xué)中落實“核心素養(yǎng)”的目標引領(lǐng)與價值導(dǎo)向作用?如何引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想,在關(guān)注學(xué)生知識技能掌握的同時,突出數(shù)學(xué)本質(zhì),促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂的有效生成? 數(shù)學(xué)教育的未來之路是以理解、探究、問題解決為價值取向,追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達成,并促成學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

    本文筆者將通過對高考題或高考模擬題中導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法及處理策略的研究與探討,在優(yōu)化解題思維路徑的同時,突出問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),并總結(jié)歸納了導(dǎo)數(shù)壓軸題優(yōu)化后的解題策略和方法,以期對廣大師生在解決此類導(dǎo)數(shù)壓軸題時帶來一定的幫助.

    例1(2014年高考天津理科卷第20 題改編)已知函數(shù)f(x)=x-aex(a ∈?),x ∈?.已知函數(shù)y=f(x)有兩個零點x1,x2,且x1<x2.

    (I)求a的取值范圍;

    (II)求證:x1x2<1;x1+x2>2.

    附2014年高考天津理科卷第20 題如下:已知函數(shù)f(x)=x-aex(a ∈?),x ∈?,.已知函數(shù)y=f(x)有兩個零點x1,x2,且x1<x2.

    (I)求a的取值范圍;

    (III)證明x1+x2隨著a的減小而增大.

    解析(I)過程略;

    (II)由(I)中結(jié)論0< a <及已知條件可知x2> x1>0,由x1=aex1,x2=aex2,可得lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2.故x2-x1=lnx2-lnx1=設(shè)解得所以,①設(shè)則x2=tx1.①式即x1(t-1)= lnt,所以所以

    證法一設(shè)φ(t)=2t-lnt-2-tlnt(t >1),所以φ′(t)=設(shè)m(t)=t-1-tlnt(t >1),所以m′(t)=-lnt <0,m(t)在(1,+∞)上 遞 減,m(t)< m(1)= 0,所以φ′(t)<0,φ(t)在(1,+∞)遞減,所以φ(t)< φ(1)= 0.g′(t)<0,g(t)在(1,+∞)遞減,但g(1)沒有意義.由高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則,所以g(t)<limt→1g(t)=1,所以x1x2<1.

    評析證法一直接構(gòu)造函數(shù)求最值證明,思路清晰明確,但要多次構(gòu)造局部函數(shù)求導(dǎo),且最后需利用高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則求limt→1g(t),學(xué)生不易理解掌握.能否有更簡便、學(xué)生也易于理解掌握的優(yōu)化證法呢? 回答是肯定的!將要證不等式恰當(dāng)變形轉(zhuǎn)化再構(gòu)造函數(shù)求最值證明,其優(yōu)化證明過程如下:

    證法二由(I)中結(jié)論及已知條件可知x2>x1>0,x1=aex1①,x2=aex2得:設(shè)則e(t-1)x1=t,所以要證:x1x2<1,即證<1(t >1),即證設(shè)n(t)=所以n(t)在(1,+∞)上遞減,所以n(t)<n(1)= 0,x1x2<1.

    下證x1+x2>2:

    證法一要證x1+x2>2,只需證g(t)=lnt+tlnt-2t+2>0.因為所以g(t)>g(1)=0,x1+x2>2.

    證法二要證x1+x2>2,只需證1).此即對數(shù)基本不等式的右式的一個變式,直接移項構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性即可輕松得證.

    點評本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合運用,涉及了函數(shù)零點及不等式證明問題,解答的關(guān)鍵在于利用消元思想,先消去參數(shù),轉(zhuǎn)化為含雙變量x1,x2的不等式,再利用“二元化一元”的思想,通過等價換元再構(gòu)造函數(shù)得證,證法一直接構(gòu)造函數(shù)證明,思路清晰明確,但要多次構(gòu)造局部函數(shù)求導(dǎo),且最后需利用高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則,學(xué)生不易理解掌握.證法二、證法三對要證不等式恰當(dāng)變形后再構(gòu)造函數(shù)證明,極大地減少了運算量和思維量,簡化和優(yōu)化了證明過程,是優(yōu)化解法,且是通性通法.此外,x1+x2>2 的證明也可利用函數(shù)極值點偏移問題的一般處理策略.

    拓展變式已知x1,x2是函數(shù)f(x)=ex-ax的兩個零點,且x1<x2,

    (I)求a的取值范圍;

    (II)求證:x1x2<1;x1+x2>2.

    例2已知函數(shù)f(x)=ex-a(x-1)有兩個零點.

    (1)求實數(shù)a的取值范圍;

    (2)設(shè)x1,x2(x1<x2)是f(x)的兩個零點,證明:x1x2<x1+x2.

    解析(1)a >e2(過程略);

    (2)證法一要證x1x2< x1+x2,即證(x1-1)(x2-1)<1,由已知ex1=a(x1-1), ex2=a(x2-1),即證(x1-1)(x2-1)=即證ex1+x2<a2,即證x1+x2<2 lna,即證x2<2 lna-x1,又因為x2>lna,且f(x)在(lna,+∞)單調(diào)遞增,故只需證f(x2)<f(2 lna-x1),即證f(x1)<f(2 lna-x1),令g(x)=f(2 lna-x)-f(x)且x <lna,因為g′(x)=所以g(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減,所以g(x)>g(lna)=f(2 lna-lna)-f(lna)= 0,所以f(2 lna-x)>f(x)在(-∞,lna)上恒成立,所以f(2 lna-x1)>f(x1),故原命題得證.

    評析首先需結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為證明(x1-1)(x2-1)<1,學(xué)生不容易想到,其次,還要結(jié)合(1)中的結(jié)論利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化,再構(gòu)造函數(shù)證明,對學(xué)生思維的要求高,學(xué)生不易理解與掌握該證明方法.我們可以嘗試先消參,二元化一元,再構(gòu)造函數(shù)證明,其優(yōu)化證明方法如下:

    證法二(優(yōu)化證法)由(1)知a > e2,又由已知ex1=a(x1-1)得:設(shè)t=x2-x1,由(1)易知t=x2-x1,因為x2>2>x1>1,所以所以要證x1x2<x1+x2,即證即證即證t2et <(et-1)2,因為t >0,所以et >1,即證即證設(shè)所以φ(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以φ(t)<φ(0)= 0,所以

    點評在該優(yōu)化解法中,先消參,然后“二元”化“一元”,再構(gòu)造函數(shù)證明,是通性通法,操作性強,是學(xué)生易于理解掌握的方法!

    例3已知f(x)=lnx-x+m(m為常數(shù)).

    (1)求f(x)的極值;

    (2)設(shè)m >1,記g(x)=f(x+m),已知x1,x2為函數(shù)g(x)的兩個零點,求證:x1+x2<0.

    解析(1)因為f(x)=lnx-x+m,所以當(dāng)0<x <1 時,f′(x)>0,f(x)遞增;當(dāng)x >1 時,f′(x)<0,f(x)遞減.f(x)的極大值為f(1)=m-1,無極小值.

    (2)g(x)=f(x+m)= ln(x+m)- x,因 為x1,x2是g(x)的兩個零點,所以所以設(shè)h(x)=ex - x,則h(x)=m,有兩解x1,x2,由h′(x)=ex-1=0 得x=0.當(dāng)-m <x <0時,h′(x)<0,h(x)遞減; 當(dāng)x >1 時,h′(x)>0,h(x)遞增.不妨設(shè)-m <x1<0<x2,要證x1+x2<0,即證0<x2<-x1.因為h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,只需證h(x2)<h(-x1),因為h(x2)=h(x1),故只需證h(x1)<h(-x1).設(shè)φ(x)=h(x)-h(-x)=ex-2x-e-x(x >0),所以φ′(x)=ex-2+e-x=在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因為-m <x1<0,所以φ(x1)<φ(0)= 0,即h(x1)<h(-x1),所以x1+x2<0.

    點評該題第(2)問對學(xué)生解題思維的要求極高,解題的關(guān)鍵在于變形轉(zhuǎn)化,設(shè)函數(shù)h(x)=ex-x轉(zhuǎn)化為h(x)=m有兩解x1,x2的問題,利用函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增的性質(zhì)得h(x2)<h(-x1),再利用h(x2)=h(x1)轉(zhuǎn)化為只含x1的不等式,再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明.

    例4(2010年高考新課標卷第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

    (1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (2)若當(dāng)x ≥0 時f(x)≥0,求a的取值范圍.

    解析(1)略;

    (2)解法一 分類討論f′(x)=ex-1-2ax.

    由(1)知ex ≥1+x,當(dāng)且僅當(dāng)x= 0 時等號成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,從而當(dāng)1-2a ≥0,即時,f′(x)≥0(x ≥0),而f(0)= 0,于是當(dāng)x ≥0 時,f(x)≥0.由ex >1+x(x0)可得e-x >1-x(0).從而當(dāng)時,f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故當(dāng)x ∈(0,ln 2a)時,f′(x)<0,而f(0)= 0,于是當(dāng)x ∈(0,ln 2a)時,f(x)<0.綜上,a的取值范圍為

    解法二 分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

    當(dāng)x ≥0 時,f(x)≥0?ex-1-x ≥ax2.

    當(dāng)x=0 時,f(x)=0≥0 恒成立,此時a ∈?.

    當(dāng)x >0 時,f(x)≥0? a ≤設(shè)設(shè)h(x)=(x-2)ex+x+2,所以h′(x)=(x-1)ex+1.因為x >0,所以h′′(x)=xex >0,所以h′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;所以h′(x)>h′(0)= 0,所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)>h(0)= 0,φ′(x)>0.φ(x)在遞減,當(dāng)x >0 時,h′(x)>0,h(x)遞增.所以h(x)>h(0)= 0,φ′(x)>0,φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,但φ(0)無意義,因為limx→0(ex-1-x)=0,limx→0x2=0,由高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則有:所以所以a的取值范圍為

    解法三(優(yōu)化解法)利用函數(shù)ex的泰勒(Taylor)展開式

    點評本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題,考查分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸解題思想及其相應(yīng)的運算能力.解法一如果學(xué)生不熟悉經(jīng)典不等式ex ≥1+x及其變式e-x >1-x(0)是斷然想不到將a分為及兩種情況討論的,該解法具有特殊性,且要分類討論,學(xué)生不易理解掌握.解法二分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性求解,但遇到了一個“不定型”函數(shù)極限問題.如何突破該解題障礙?利用高等數(shù)學(xué)中的洛必達法則,輕松破解了該壓軸題,但由于涉及高等數(shù)學(xué)知識,普通學(xué)生不易理解掌握;解法三是優(yōu)化解法,結(jié)合函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到ex泰勒展開式,非常巧妙地破解了該壓軸題,思路清晰,解答簡便快捷.

    例5(2018年高考全國卷I 理科第22 題)已知函數(shù)

    (1)討論f(x)的單調(diào)性;

    (2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明:

    解析(1)當(dāng)a >2 時,f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上遞減; 在(x1,x2)上遞增; 當(dāng)a ≤-2 時,f′(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上遞減.(過程略)

    (2)證法一利用二元化一元,再構(gòu)造函數(shù)證明:

    由(1)知a >2 且x1+x2=a >2,x1x2= 1,不妨設(shè)0<x2<1<x1,要證即要證此處容易遇到解題障礙,如何“二元”化“一元”,再構(gòu)造函數(shù)證明不等式? 已知條件f(x)存在兩個極值點x1,x2,隱含了條件x1x2=1,消去x2,從而轉(zhuǎn)化為證明

    評析對于二元(或多元)不等式類型,多采用二元(或多元)化一元,再恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式.

    證法二(優(yōu)化解法)利用對數(shù)基本不等式證明:

    由(1)知a >2 且x1+x2=a >2,x1x2= 1,要證即要證觀察該不等式結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到對數(shù)基本不等式再結(jié)合隱含條件x1x2= 1,即證1,即證故原命題成立!

    下面我們從高等數(shù)學(xué)的視角分析、利用拉格朗日中值定理及中值不等式證明該不等式:

    引理1拉格朗日中值定理:若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則存在ξ ∈(a,b)使得

    引理2拉格朗日中值不等式:f′min(x)≤f′(x)=(高中可利用構(gòu)造函數(shù)法證明該不等式)

    從高等數(shù)學(xué)的觀點來看,本題可以利用拉格朗日中值定理和拉格朗日中值不等式快速解決.

    證法三(優(yōu)化解法)利用拉格朗日中值定理及中值不等式證明:

    設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),x1,x2∈[a,b],且x1/=x2,由斜率及導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,[f′(x)]max≥ kAB=要證由拉格朗日中值定理及中值不等式知,只需要證即a2≥a+2(a >2),顯然成立,故原不等式成立.

    該題改編自2011年高考湖南文科卷第22 題,其題目如下:

    (I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

    (II)若f(x)有兩個極值點x1,x2; 記 過 點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線斜率為k.問:是否存在a,使得k= 2-a? 若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

    解題教學(xué)要重視暴露解題思路的發(fā)現(xiàn)及問題解決的全過程,注重滲透數(shù)學(xué)思想方法,重視通性通法的總結(jié)概括及解法的優(yōu)化和感悟,回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì).哈爾莫斯說:“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解,解題才是數(shù)學(xué)的心臟.”著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中提出,高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的目標首先和主要的:“是必須教會年輕人去思考”,發(fā)展學(xué)生解決問題的能力.要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),教師就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)問題的角度,通過提出問題、分析問題、解決問題、拓展問題等手段,在學(xué)生探究與思考中達成目標.教師要通過對數(shù)學(xué)題的教學(xué)研究,體會和認識問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),探究數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律,理解數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)研究的“味道”,學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”,從而加深對解題教學(xué)的理解,提升解題教學(xué)的駕馭能力,從而培養(yǎng)學(xué)生的解題能力、思維能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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