有關(guān)傾斜角與斜率范圍問(wèn)題剖析

■胡 磊 魏 偉

斜率是高中數(shù)學(xué)的重要概念,它具有數(shù)的特征也有形的性質(zhì),斜率的取值范圍問(wèn)題綜合性強(qiáng),解法靈活。傾斜角與斜率關(guān)系密切,下面具體剖析幾例這類(lèi)問(wèn)題的求解策略。

一、根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求傾斜角的取值范圍

例1直線x+ysinα-1=0(α∈R)的傾斜角的取值范圍是____。

解：設(shè)直線x+ysinα-1=0(α∈R)的傾斜角為θ,θ∈[0,π)。當(dāng)sinα=0 時(shí),直線方程為x=1,此時(shí)直線的傾斜角為;當(dāng)sinα≠0 時(shí),直 線 的 斜 率 為,可得,且。 故所求傾斜角的取值范圍是

評(píng)析：本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系,考查三角函數(shù)性質(zhì)以及推理能力。

二、根據(jù)數(shù)形結(jié)合法求參數(shù)的取值范圍

例2已知直線l:kx-y+k-2=0和兩點(diǎn)A(3,0),B(0,1),使得直線l與線段AB有公共點(diǎn)(含端點(diǎn))的k的范圍是____。

解：由題意可知,直線l過(guò)定點(diǎn)P(-1,-2),所以,畫(huà)出圖形,如圖1所示。

圖1

評(píng)析：明確已知直線過(guò)定點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵。

三、根據(jù)交點(diǎn)所在象限求傾斜角的取值范圍

例3若直線l:y=kx- 3與直線x+y-3=0 相交,且交點(diǎn)在第一象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是____。

解：由可解得兩 直 線 的 交 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為。因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限,所以。設(shè)直線l的傾斜角為θ,則故θ∈(30°,90°),即所求傾斜角的取值范圍為(30°,90°)。

評(píng)析：掌握直線的傾斜角與斜率的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

四、根據(jù)斜率的幾何意義求取值范圍

例4已知點(diǎn)P在直線x+2y-1=0上,點(diǎn)Q在直線x+2y+3=0 上,線段PQ的中點(diǎn)為M(x0,y0),且1≤y0-x0≤7,則的取值范圍是_____。

解：因?yàn)橹本€x+2y-1=0與x+2y+3=0平行,所以點(diǎn)M的軌跡是與兩直線距離相等的一條直線,其方程為x+2y+1=0,即點(diǎn)M(x0,y0)滿足x0+2y0+1=0,且滿足不等式1≤y0-x0≤7,如圖2所示。表示線段AB上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,其中點(diǎn)A(-1,0)。

圖2

評(píng)析：本題主要考查直線斜率的幾何意義在解決問(wèn)題中的應(yīng)用。