直線與方程常見典型考題賞析

■趙 昆

題型1：求直線的傾斜角或斜率

求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在,求傾斜角的取值范圍的一般步驟:①求出斜率k=tanα的取值范圍;②利用三角函數(shù)的單調(diào)性,借助圖像,確定傾斜角α的取值范圍。斜率的兩種求法:①利用定義求斜率;②利用公式求斜率。

例1若過點(diǎn)P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

A.(-2,1)

B.(-1,2)

C.(-∞,0)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解法1：因?yàn)檫^點(diǎn)P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,所以直線的斜率小于0,即,也即,解得-2＜a＜1。應(yīng)選A。

解法2：當(dāng)a=0時(shí),點(diǎn)P(1,1),Q(3,0),由＜0,此時(shí)過點(diǎn)P(1,1),Q(3,0)的直線的傾斜角為鈍角,可排除C,D。當(dāng)a=1 時(shí),點(diǎn)P(0,2),Q(3,2),因?yàn)閗PQ=0,所以不合題意,排除B。應(yīng)選A。

跟蹤練習(xí)1：若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共線,則a=____。

提示：若A,B,C三點(diǎn)共線,則kAB=kAC,即,整理可得a(a2-2a-1)=0,解得a=0或a=1± 2。

題型2：求直線的方程

求直線方程時(shí),應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,并注意各種形式的適用條件。用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí),直線的斜率必須存在,而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線,截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線。

例2已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為A(-4,7),C(6,-5),BC邊所在的直線過點(diǎn)P(8,-1)。

(1)求AD邊所在的直線方程。

(2)求對(duì)角線BD所在的直線方程。

解：(1)由題意可得kBC=2。因?yàn)锳D∥BC,所以kAD=2,所以AD邊所在的直線方程為y-7=2(x+4),即2x-y+15=0。

跟蹤練習(xí)2：過點(diǎn)A(3,-1),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線是( )。

A.x-y-2=0或x+3y=0

B.x+y-2=0或x+3y=0

C.x+y+2=0或x-3y=0

D.x-y+2=0或x-3y=0

提示：①當(dāng)所求直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時(shí),設(shè)直線方程為x+y=a,把點(diǎn)(3,-1)代入可得a=2,則所求直線的方程為x+y=2,即x+y-2=0;②當(dāng)所求直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0 時(shí),設(shè)直線方程為y=kx,把點(diǎn)(3,-1)代入可得,則所求直線的方程為,即x+3y=0。

綜上可得,所求的直線方程為x+y-2=0或x+3y=0。應(yīng)選B。

題型3：直線方程的應(yīng)用

與函數(shù)相結(jié)合命題,一般是利用直線方程中x,y的關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的某函數(shù),借助函數(shù)性質(zhì)來解決;與方程、不等式相結(jié)合命題,一般是利用方程、不等式等知識(shí)來解決。

例3三條直線l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0 能構(gòu)成一個(gè)三角形,則k的取值范圍是( )。

A.k∈R

B.k∈R 且k≠±1,k≠0

C.k∈R 且k≠±5,k≠-10

D.k∈R 且k≠±5,k≠1

解：由l1∥l3,可得k=5。由l2∥l3,可得k=-5。由x-y=0,x+y-2=0,解得x=1,y=1,若點(diǎn)(1,1)在l3上,則k=-10。

由上可知,若l1,l2,l3能構(gòu)成一個(gè)三角形,則k≠±5且k≠-10。應(yīng)選C。

跟蹤練習(xí)3：若直線x-2y+b=0 與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積不大于1,那么b的取值范圍是( )。

A.[-2,2]

B.(-∞,-2]∪[2,+∞)

C.[-2,0)∪(0,2]

D.(-∞,+∞)

提示：令x=0,可得,令y=0,可得x= -b,所以所求三角形的面積為,且b≠0。 由題意可得≤1,所以b2≤4,且b≠0,可得b的取值范圍是[-2,0)∪(0,2]。應(yīng)選C。

題型4：兩條直線的平行問題

(1)已知兩條直線的斜率存在,兩條直線平行?兩條直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等。當(dāng)直線斜率不確定時(shí),要注意斜率不存在的情況。(2)已知直線

例4若直線l1:x+ay+6=0 與l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,則l1與l2之間的距離為____。

解：由l1∥l2,可得(a-2)×a=1×3,且1×2a≠6×(a-2),解得a=-1,所以l1:=0。由此可得直線l1與l2之間的距離為

跟蹤練習(xí)4：若動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)分別在直線l1:x+y-7=0,l2:x+y-5=0上移動(dòng),則線段AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為_____。

提示：由題意可知,點(diǎn)M所在直線與l1,l2平行且與兩直線距離相等。設(shè)該直線方程為x+y+c=0,則,解得c=-6。因?yàn)辄c(diǎn)M在直線x+y-6=0 上,點(diǎn)M到原點(diǎn)的最小值就是原點(diǎn)到直線x+y-6=0的距離,即

題型5：兩條直線的垂直問題

(1)已知兩條直線的斜率存在,兩條直線垂直?兩條直線的斜率之積等于-1。當(dāng)直線的斜率不確定時(shí),要注意斜率不存在的情況。(2)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,直線l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0。

例5已知直線mx+4y-2=0與直線2x-5y+n=0垂直,垂足為(1,p),則n的值為( )。

A.-12 B.-14

C.10 D.8

解：因?yàn)橹本€mx+4y-2=0 與直線2x-5y+n=0垂直,所以2m-4×5=0,解得m=10。由垂足為(1,p),把點(diǎn)(1,p)代入10x+4y-2=0,可得10+4p-2=0,即p=-2。把點(diǎn)(1,-2)代入2x-5y+n=0,可得2+10+n=0,即n=-12。應(yīng)選A。

跟蹤練習(xí)5：若直線(a+2)x+(1-a)y-3=0與直線(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,則a=_____。

提示：由題意可得,(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即(a-1)(a+1)=0,解得a=1或a=-1。

題型6：距離公式的應(yīng)用

距離公式包括兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式。高考對(duì)距離公式的考查主要有以下三種命題角度:①求距離;②已知距離求參數(shù)值;③已知距離求點(diǎn)的坐標(biāo)。

例6當(dāng)點(diǎn)P(3,2)到直線mx-y+1-2m=0的距離最大時(shí),m的值為____。

解：已知直線mx-y+1-2m=0 過定點(diǎn)Q(2,1),所以點(diǎn)P(3,2)到已知直線的距離最大時(shí),PQ垂直已知直線,即m·-1,可得m=-1。

跟蹤練習(xí)6：若m,n,a,b∈R,且滿足3m+ 4n= 6,3a+ 4b= 1, 則的最小值為____。

提示：點(diǎn)(m,n)為直線3x+4y=6上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)(a,b)為直線3x+4y=1上的動(dòng)點(diǎn),的最小值即為兩動(dòng)點(diǎn)間距離的最小值,易知最小值就是兩平行線間的距離,所以

題型7：對(duì)稱問題

對(duì)稱問題主要有中心對(duì)稱問題和軸對(duì)稱問題。中心對(duì)稱問題主要有兩種題型:點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題和直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題。軸對(duì)稱問題主要有兩種題型:點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題和直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題。

例7已知坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線l1:xy+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為A,設(shè)直線l2經(jīng)過點(diǎn)A,則當(dāng)點(diǎn)B(2,-1)到直線l2的距離最大時(shí),直線l2的方程為_____。

解：設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),依題意可得方程組解得即點(diǎn)A(-1,1)。設(shè)點(diǎn)B(2,-1)到直線l2的距離為d,當(dāng)d=|AB|時(shí)取最大值,此時(shí)直線l2垂直于直線AB,所以,由此可得直線l2的方程為3x-2y+5=0。

跟蹤練習(xí)7：如圖1 所示,已知點(diǎn)A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過的路程是( )。

圖1

A.2 10

B.6

C.3 3

D.2 5

提示：直線AB的方程為x+y=4,則點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為P1(4,2),點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P2(-2,0)。由光的反射原理可知P1,M,N,P2四點(diǎn)共線,則光線所經(jīng)過的路程是|P1P2|=。應(yīng)選A。

題型8：直線過定點(diǎn)問題

求解含有參數(shù)的直線過定點(diǎn)問題的兩種方法:①給直線中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值,得到兩條不同的直線,然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn),從而問題得解。②分項(xiàng)整理,令含參數(shù)的項(xiàng)和不含參數(shù)的項(xiàng)分別為零,解方程組所得的解即為所求的定點(diǎn)。

例8不論k取何值,直線l:(k+1)x+y+2-k=0恒過定點(diǎn),則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為____。

解：直線l的方程可化為k(x-1)+x+y+2 = 0,由k的任意性可得解得故所求定點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-3)。

跟蹤練習(xí)8：已知直線mx-3y+2m+3=0,當(dāng)m變動(dòng)時(shí),所有直線都經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為( )。

A.(-2,1) B.(1,2)

C.(1,-2) D.(2,1)

提示：直線mx-3y+2m+3=0可化為3-3y+(x+2)=0,令解得x=-2,y=1。

故當(dāng)m變動(dòng)時(shí),所有直線都經(jīng)過定點(diǎn)(-2,1)。應(yīng)選A。