半群的區(qū)間值Q-模糊子半群?

王豐效

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 喀什 844000)

0 引言

自從Zadeh[1]引入模糊集的概念以來(lái),模糊集理論及其應(yīng)用得到了迅猛的發(fā)展.Rosenfeld[2]首次提出模糊子群的概念,開(kāi)創(chuàng)了模糊代數(shù)的新領(lǐng)域.作為模糊集的推廣,區(qū)間值模糊集,直覺(jué)模糊集[3]等概念被提出,并被廣泛應(yīng)用于各類(lèi)代數(shù)系統(tǒng)，取得了大量的研究成果[4?9].Kuroki將模糊集的概念應(yīng)用于半群，提出模糊半群的概念，并討論了半群的各類(lèi)模糊理想[10].2001年,Jun[11]等給出了BCI-代數(shù)的Ω-模糊理想的概念,研究了它的相關(guān)性質(zhì).文獻(xiàn)[12-14]分別討論了BCI-代數(shù)的?- 模糊p- 理想的特性,BCH-代數(shù)的?-模糊點(diǎn)H-理想的性質(zhì),BCK-代數(shù)的?-模糊正定關(guān)聯(lián)理想.文獻(xiàn)[15]引入了半群的?-模糊子半群的概念,得到了它的相關(guān)性質(zhì).本文將?-模糊集與區(qū)間值模糊集相結(jié)合,給出了半群的區(qū)間值Q-模糊子半群的概念，討論了區(qū)間值Q-模糊子半群的相關(guān)特征.

為了討論方便,先給出一些相關(guān)概念.

定義1[8]設(shè)·是S的一個(gè)二元運(yùn)算,如果對(duì)任意x,y ∈S有(1)x·y ∈S,(2)(x·y)·z=x·(y·z),則稱(chēng)(S,·)為一個(gè)半群.

為方便起見(jiàn),二元運(yùn)算x·y用xy表示.

定義2[8]設(shè)A是半群S的模糊集,如果對(duì)任意x,y ∈S有A(xy)≥A(x)∧A(y),則稱(chēng)A為S的模糊子半群.

非空集合X的區(qū)間值模糊集被定義為A=[AL,AU],這里AL和AU分別是X上的模糊集,并且對(duì)于任意x ∈X,有AL(x)≤AU(x),A=[AL,AU]是[0,1]的一個(gè)閉子區(qū)間.

若用D[0,1]表示區(qū)間數(shù)的集合.對(duì)D[0,1]中的兩個(gè)元素可以定義加細(xì)極小（記為γmin）和加細(xì)極大（記為γmax）,也可以規(guī)定大小.D[0,1]中元素D1=[a1,a2],D2=[b1,b2],規(guī)定

由D[0,1]中兩個(gè)元素的大小規(guī)定以及加細(xì)極小和加細(xì)極大的定義可知,D[0,1]關(guān)于加細(xì)極小和加細(xì)極大構(gòu)成完備格.

定義3[5]假設(shè)(S,·)為一個(gè)半群,A = [AL,AU]是S上的區(qū)間值模糊集,如果對(duì)于任意x,y ∈S有A(xy) ≥γmin(A(x),A(y)),則稱(chēng)A=[AL,AU]為半群S的區(qū)間值模糊子半群.如果對(duì)于任意x,y ∈S有A(xy)≤γmax(A(x),A(y)),則稱(chēng)A=[AL,AU]為半群S的區(qū)間值反模糊子半群.

假設(shè)Q表示一個(gè)非空給定集合,S為半群,稱(chēng)μ:S×Q →[0,1]為S的Q-模糊集.

定義4[16]假設(shè)(S,·)為一個(gè)半群,μ為S的Q-模糊集.稱(chēng)μ為S的Q-模糊子半群,如果對(duì)任意的x,y ∈S,q ∈Q有μ(xy,q)≥μ(x,q)∧μ(y,q).

1 主要結(jié)果

定義5假設(shè)Q表示一個(gè)非空給定集合,S為半群.A=[μA,νA]是S上的區(qū)間值模糊集,如果μA和νA都是S上的Q-模糊集,則稱(chēng)A=[μA,νA]為S的區(qū)間值Q-模糊集.

定義6假設(shè)(S,·)為一個(gè)半群,A=[μA,νA]為S的區(qū)間值Q-模糊集.如果對(duì)任意的x,y ∈S,q ∈Q 有A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q)).則稱(chēng)A為S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

例1設(shè)S={a,b,c},S上的二元運(yùn)算如下表：

則(S,·)是半群.假設(shè)Q={q1,q2},定義S的區(qū)間值Q-模糊集A為

由定義可以驗(yàn)證A為S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

由定義6可知,對(duì)任意的θ,記A+θ=[μA+θ,νA+θ]?D[0,1].如果A=[μA,νA]為S的區(qū)間值Q-模糊集,則A+θ也是S的區(qū)間值Q-模糊集.

定理1設(shè)A=[μA,νA]為S的區(qū)間值Q-模糊子半群,則A+θ也是S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

定理2設(shè)A=[μA,νA]為S的區(qū)間值Q-模糊集,A=[μA,νA]為S的區(qū)間值Q-模糊子半群當(dāng)且僅當(dāng)μA和νA都是S的Q-模糊子半群.

證明(必要性)設(shè)A為S的區(qū)間值Q-模糊子半群,則對(duì)任意的x,y ∈S,q ∈Q有

即

因此μA(xy,q)≥μA(x,q)∧μA(x,q),νA(xy,q)≥νA(x,q)∧νA(x,q).故由定義4可得μA和νA都是S的Q-模糊子半群.

(充分性)如果μA和νA都是S的Q-模糊子半群,則對(duì)任意x,y ∈S,q ∈Q,有

因此

即A(xy,q)≤γmax(A(x,q),A(y,q)),所以A=[μA,νA]為S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

推論1設(shè)A=[μA,νA]和B=[μB,νB]是S的區(qū)間值Q-模糊子半群,則[μA,μB]和[νA,νB]都是S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

定理3設(shè)A和B都是S的區(qū)間值Q-模糊子半群,則A∩B 是S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

證明由于A和B都是S的區(qū)間值Q-模糊子半群,故對(duì)任意x,y ∈S,q ∈Q,有

從而

因此由定義2可知,A∩B 是S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

如果給定集合Q是單元素集合,則S的區(qū)間值Q-模糊集就成為S的區(qū)間值模糊集,從而可得下面的幾個(gè)推論.

推論2設(shè)A=[μA,νA]為S的區(qū)間值模糊集,A=[μA,νA]為S的區(qū)間值模糊子半群當(dāng)且僅當(dāng)μA和νA都是S的模糊子半群.

推論3設(shè)A和B都是S的區(qū)間值模糊子半群,則A∩B=γmin(A,B)是S的區(qū)間值模糊子半群.

定義7假設(shè)A=[μA,νA]為S的區(qū)間值Q-模糊集,稱(chēng)A[s,t]={x ∈S|A(x,q)≥[s,t],q ∈Q}為S的[s,t]上水平截集,稱(chēng)[s,t]={x ∈S|A(x,q)>[s,t],q ∈Q}為S的[s,t]強(qiáng)上水平截集,其中[s,t]?D[0,1].

定理4設(shè)A為S的區(qū)間值Q-模糊集,則A是S的區(qū)間值Q-模糊子半群當(dāng)且僅當(dāng)非空集A[s,t]是S的子半群.

證明(必要性)設(shè)A[s,t]非空,且x,y ∈A[s,t],則對(duì)任意q ∈Q,有A(x,q)≥[s,t],A(y,q)≥[s,t].由于A是S的區(qū)間值Q-模糊子半群,故對(duì)任意x,y ∈S,q ∈Q有

因此xy ∈A[s,t],從而A[s,t]是S的子半群.

(充分性)若A[s,t]是S的子半群,如果存在x,y ∈S,q ∈Q,使得A(xy,q)<γmin(A(x,q),A(y,q)),取區(qū)間[a,b]?D[0,1]滿(mǎn)足A(xy,q)<[a,b]<γmin(A(x,q),A(y,q)),則A(x,q)>[a,b],A(y,q)>[a,b],A(xy,q)<[a,b].由于A[s,t]是S的子半群,從而x,y ∈A[s,t],即xy ∈A[s,t]與xy /∈A[s,t]矛盾.因此對(duì)任意x,y ∈S,q ∈Q,有A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q)).因此A是S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

定理5設(shè)A為S的區(qū)間值Q-模糊集,則A是S的區(qū)間值Q-模糊子半群當(dāng)且僅當(dāng)非空集[s,t]是S的子半群.

定理6設(shè)A為半群S的區(qū)間值Q-模糊子半群,則非空集U={x ∈S|A(x,q)=[1,1],q ∈Q}是S的子半群.

證明設(shè)U ={x ∈S|A(x,q)=[1,1],q ∈Q}非空,且x,y ∈U,則A(x,q)=A(y,q)=[1,1].由于A為S的區(qū)間值Q-模糊子半群,因而A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q))=[1,1],即A(xy,q)=[1,1],從而xy ∈U,即U是S的子半群.

假設(shè)I是半群S的子集,定義S的區(qū)間值Q-模糊集AI滿(mǎn)足：若x ∈I,AI(x,q)=[1,1]; 若x/∈I,AI(x,q)=[0,0].

定理7AI是半群S的區(qū)間值Q-模糊子半群當(dāng)且僅當(dāng)I是半群S的子半群.

證明設(shè)x,y ∈I,則AI(x,q)=[1,1],AI(y,q)=[1,1].由于AI是半群S的區(qū)間值Q-模糊子半群,從而AI(xy,q)≥γmin(AI(x,q),AI(y,q))=[1,1],即AI(xy,q)=[1,1],從而xy ∈I,即I是S的子半群.

假設(shè)I是S的子半群.下證AI是半群S的區(qū)間值Q-模糊子半群.對(duì)任意x,y ∈S,q ∈Q,分下面幾種情況：

(1) 如果x,y ∈I,I是S的子半群,則xy ∈I,從而AI(xy,q) = (AI(x,q) = AI(y,q)) = [1,1],即有AI(xy,q) ≥γmin(AI(x,q),AI(y,q)).

(2) 如果x/∈I或y /∈I,則AI(x,q)=[0,0]或AI(y,q)=[0,0],故

故AI是半群S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

引理1[15]設(shè)S和R是兩個(gè)半群,f是S →R的同態(tài)滿(mǎn)射.如果μ為半群S的Q-值模糊子半群,則f(μ) 為半群R的Q-模糊子半群.其中f(μ)=sup{μ(x,q)|f(x)=y}.

定理8設(shè)S和R是兩個(gè)半群,f是S →R的同態(tài)滿(mǎn)射.如果A為半群S的區(qū)間值Q-模糊子半群,則f(A)為半群R的區(qū)間值Q-模糊子半群.其中f(A)=γmax{A(x,q)|f(x)=y}.

證明由于A = [μA,νA]為半群S的區(qū)間值Q-模糊子半群,從而由定理1可得μA和νA都是S的Q-模糊子半群.記μf(A)=sup{μA(x,q)|f(x)=y},νf(A)=sup{νA(x,q)|f(x)=y}.根據(jù)引理1 可知μf(A)和νf(A)都是半群R的Q-模糊子半群.故由定理1可得f(A)=[μf(A),νf(A)]是半群R的區(qū)間值Q-模糊子半群.

定理9設(shè)S和R是兩個(gè)半群,f是S →R的同態(tài)滿(mǎn)射.若B =[μB,νB]為半群R的區(qū)間值Q-模糊集,則B為半群R的區(qū)間值Q-模糊子半群當(dāng)且僅當(dāng)f?1(B)為半群S的區(qū)間值Q-模糊子半群.其中f?1(B)=B(f(x),q).

證明(必要性)假設(shè)B為半群R的區(qū)間值Q-模糊子半群,則對(duì)于任意的x,y ∈S,q ∈Q,有

所以f?1(B)為半群S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

(充分性)由于f是S →R的同態(tài)滿(mǎn)射,因此對(duì)任意a,b ∈R,q ∈Q,存在x,y ∈S,使得f(x)=a,f(y)=b.于是

由定義6可知B為半群R的區(qū)間值Q-模糊子半群.

下面,我們討論半群的區(qū)間值Q-模糊子半群直積的性質(zhì).假設(shè)S和R是兩個(gè)半群,A和B分別是S和R上的區(qū)間值Q-模糊集,定義S×R上的區(qū)間值Q- 模糊集A×B為

定理10假設(shè)A和B分別是S和R上的區(qū)間值Q-模糊子半群,則A×B是半群S×R的區(qū)間值Q-模糊子半群.

證明對(duì)于任意的(x1,y1),(x2,y2)∈S×R,q ∈Q有

由于A和B分別是半群S和R上的區(qū)間值Q-模糊子半群,因此

故

因此A×B是半群S×R的區(qū)間值Q-模糊子半群.

定理11假設(shè)A是半群S上的區(qū)間值Q-模糊子半群,則A×A是半群S×S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

定理12設(shè)A是S上的區(qū)間值Q-模糊集,定義S上的區(qū)間值模糊集δA(x)=min{A(x,q)|q ∈Q}.如果A是S上的區(qū)間值Q-模糊子半群,則δA是S上的區(qū)間值模糊子半群.

證明設(shè)A是S的區(qū)間值Q-模糊子半群,對(duì)x,y ∈S,q ∈Q有A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q)),因此

因此δA是S上的區(qū)間值模糊子半群.

定理13設(shè)A是S上的區(qū)間值Q-模糊集,對(duì)固定的q ∈Q,定義δq(x)=A(x,q).A是S上的區(qū)間值Q-模糊子半群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意固定的q ∈Q,δq是S上的區(qū)間值模糊子半群.

證明(必要性)設(shè)A是S的區(qū)間值Q-模糊子半群,則對(duì)于任意的x,y ∈S,q ∈Q,有A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q)).因此對(duì)于固定的q ∈Q,有

因此δq是S上的區(qū)間值模糊子半群.

(充分性)如果對(duì)于任意固定的q ∈Q,δq是S上的區(qū)間值模糊子半群.對(duì)于任意x,y ∈S都有δq(xy)≥γmin(δq(x),δq(y)),即A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q)).因此A是S的區(qū)間值Q-模糊子半群.

命題1[15]若SQ表示從Q到半群S的映射的集合,在SQ上定義如下運(yùn)算：對(duì)于任意的α,β ∈SQ,(α?β)(q)=α(q)β(q),q ∈Q,則SQ關(guān)于運(yùn)算?構(gòu)成一個(gè)半群.

定理14設(shè)A是半群S上的區(qū)間值模糊子半群，定義SQ的區(qū)間值Q-模糊集C:SQ×Q →D[0,1]滿(mǎn)足C(α,q)=A(α(q)),則C是半群SQ的區(qū)間值Q-模糊子半群.

證明對(duì)于任意的α,β ∈SQ,q ∈Q,由于A是半群S上的區(qū)間值模糊子半群,從而有

所以C是半群SQ的區(qū)間值Q-模糊子半群.

定理15設(shè)M是半群SQ的子半群,則對(duì)任意q ∈Q,Mq={α(q)|α ∈M}是半群S的子半群.

證明由于M是半群SQ的子半群,因此對(duì)任意的α,β ∈M有α?β ∈M.進(jìn)一步有α(q)∈Mq,β(q)∈Mq,α?β(q)∈Mq,故對(duì)任意q ∈Q,Mq={α(q)|α ∈M}是半群S的子半群.

如果Q是一個(gè)單元素集合,則區(qū)間值Q-模糊集就是通常的區(qū)間值模糊集,從上述結(jié)果可以看出,區(qū)間值Q-模糊集就是區(qū)間值模糊集的一種推廣,相關(guān)的結(jié)論也是區(qū)間值模糊子半群相應(yīng)結(jié)論的推廣.

2 結(jié)論

本文將區(qū)間值模糊集與Ω-模糊集相結(jié)合,在半群中引入了半群的區(qū)間值Q-模糊子半群的概念,討論了半群的區(qū)間值Q-模糊子半群的相關(guān)性質(zhì).給出了半群的區(qū)間值Q-模糊子半群與子半群,模糊子半群,區(qū)間值模糊子半群的關(guān)系.也討論了半群的區(qū)間值Q-模糊子半群關(guān)于交運(yùn)算的封閉性質(zhì),以及半群的區(qū)間值Q-模糊子半群的同態(tài)像和直積的相關(guān)性質(zhì).另外,區(qū)間值Q-模糊子集的概念也可以應(yīng)用于其他代數(shù)系統(tǒng).