從數(shù)學史中汲取小學數(shù)學核心素養(yǎng)的因子

□ 錢利平 邵漢民

小學數(shù)學史是數(shù)學史的重要組成部分，在小學數(shù)學教材中，有專門的數(shù)學史料的介紹，也有部分融入教材編寫之中。同時，數(shù)學史的教學價值越來越被專家與教師所重視，如華東師范大學的汪曉勤教授所帶領的團隊對數(shù)學史如何融入日常教學進行了長期的實踐研究[1]，西南大學的宋乃慶教授則以數(shù)學史為素材進行小學數(shù)學拓展課程的開發(fā)[2]，等等。但是，我們也發(fā)現(xiàn)小學數(shù)學教師職前缺少相應的數(shù)學史的學習，在職后也不知道如何結合具體的課例尋找相應的數(shù)學史。小學數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，其內涵雖然還沒有達成共識，但是《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》中的數(shù)學核心素養(yǎng)以及小學數(shù)學教育專家對于小學數(shù)學核心素養(yǎng)的討論都可以給我們理解小學數(shù)學核心素養(yǎng)以啟示。在認識了“小學數(shù)學史”與“小學數(shù)學核心素養(yǎng)”內涵的基礎上，依據(jù)兩者的聯(lián)系，可以從小學數(shù)學史中汲取小學數(shù)學核心素養(yǎng)的因子。

一、小學數(shù)學史的基本內涵

這里的小學數(shù)學史，是指小學數(shù)學教材中的數(shù)學知識的產(chǎn)生與形成的歷史，以及由此形成的數(shù)學思想方法與數(shù)學精神。可以分成三個方面，第一個方面是數(shù)學知識的產(chǎn)生與形成過程，體現(xiàn)的是數(shù)學的歷史性；第二個方面是數(shù)學思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學的科學性；第三個方面是數(shù)學精神，滲透了數(shù)學史的教育性。

（一）體現(xiàn)數(shù)學的歷史性

數(shù)學是研究數(shù)量關系與空間形式的科學。同時，這一研究過程并不是一蹴而就的，需要經(jīng)歷漫長的產(chǎn)生與形成的發(fā)展過程。數(shù)學史就是要真實地還原這一段段歷史。

如對于長度的測量，在確定長度單位時，人們最先采用“以身為度”的方式，即用身體某一部分的長度作為單位來進行測量，如“庹”“拃”等。隨著測量精度的增加與交流需要，逐步形成了國際單位，如米、分米、厘米等。人教版二年級上冊《長度單位》例1就引用了“以身定度”的片段。因此，教師只有了解長度單位的形成歷史，才能夠理解教材的編寫意圖，并適時介紹“排黍定度”“子午定度”“光波定度”，讓學生了解長度單位形成的歷史。[3]

但是，基于數(shù)學史編寫的教材例題非常罕見。對于一些數(shù)學概念、符號、法則等的產(chǎn)生與形成歷史，教師要能夠適當了解，并組織成數(shù)學教學環(huán)節(jié)。如字母表示數(shù)，人類經(jīng)歷了文字表示數(shù)、字母縮寫表示特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，教師可以創(chuàng)設合理的教學情境，讓學生經(jīng)歷這樣的過程。[4]

（二）體會數(shù)學的科學性

數(shù)學思想方法是人們在研究數(shù)量關系與空間形式時的思維方式與操作規(guī)則。數(shù)學思想方法來源于數(shù)學知識，又高于數(shù)學知識，相對于數(shù)學知識的歷史性，數(shù)學思想方法更體現(xiàn)出數(shù)學的科學性。

如圓周率的值，我們知道它是一個常數(shù)，且是一個無限不循環(huán)小數(shù)。但是，如何求得呢？人們經(jīng)歷了實驗時期、幾何時期、分析時期和計算機時期四個時期。推算圓周率的過程，就是不斷升華數(shù)學思想、提煉數(shù)學方法的過程。[5]

因此，在學習數(shù)學知識的過程中，我們要不斷地追問，在它的產(chǎn)生與形成過程中，包含著哪些思想方法，使“學數(shù)學”的過程成為“用數(shù)學學”的過程。

（三）滲透數(shù)學的教育性

有位教師在教學六年級數(shù)學拓展課“圓的魅力”時，向學生提問：“我們?yōu)槭裁茨軌蛟诙潭痰膸坠?jié)課中學習了這么多有關圓的知識？”學生有的回答是由于自身的努力，有的回答是因為老師指導，等等。這時教師指出其實最重要的是感謝一類人——數(shù)學家。然后教師講了“阿基米德之死”，并指出每一個數(shù)學符號、數(shù)學公式……的背后，都有著這樣一個個感人的故事。[6]

確實，數(shù)學史記錄的不僅僅是數(shù)學的知識與思想方法的歷史，更記載著人類探究數(shù)學與應用數(shù)學的歷程，其中，有許許多多的感人故事，值得我們作為教育資源進行開發(fā)，用生動的事例、巧妙的設計，再現(xiàn)數(shù)學知識的產(chǎn)生與形成的歷史。

歷史性是數(shù)學史區(qū)別于數(shù)學的基本特征，科學性是數(shù)學史需要評析與提煉的重要內容，教育性則是數(shù)學史所具有的人文特征，也是作為數(shù)學教育工作者需要特別關注的內容。

二、小學數(shù)學核心素養(yǎng)的基本內涵及數(shù)學史與其的關聯(lián)性

小學數(shù)學核心素養(yǎng)的研究是當前小學數(shù)學課堂教學研究的熱點之一，但對于它的基本內涵是什么還沒有達成共識。

（一）小學數(shù)學核心素養(yǎng)的討論

對于小學數(shù)學核心素養(yǎng)的討論，有兩種基本思路，第一種從《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的10個核心詞進行概括，如曹培英老師把10個核心詞中具有數(shù)學特色的9個分成數(shù)學思想方法層面與數(shù)學內容領域層面，構建起小學數(shù)學核心素養(yǎng)的基本框架（如圖1）。[8]

圖1

第二種則是從國際視野的角度進行詮釋，如蔡金法教授綜觀國內外人才培養(yǎng)目標，從數(shù)學學科角度歸納了4個數(shù)學核心素養(yǎng)的成分，分別是數(shù)學交流、數(shù)學建模、數(shù)學智能計算思維與數(shù)學情感。[9]其中數(shù)學情感引起筆者的重視，數(shù)學情感關注的是數(shù)學學習過程中形成的積極的非智力因素。這給我們以啟示，“情感、態(tài)度與價值觀”是數(shù)學課程目標之一，也應該是數(shù)學核心素養(yǎng)的成分之一。

（二）小學數(shù)學核心素養(yǎng)的建構

綜合國內外專家就小學數(shù)學核心素養(yǎng)的論述，筆者把小學數(shù)學核心素養(yǎng)分成三個方面，分別是數(shù)學思想、數(shù)學方法與數(shù)學情感（如圖2）。

圖2

數(shù)學思想是指人在數(shù)學學習過程中形成的最一般的思維形式，包括數(shù)學抽象、數(shù)學推理與數(shù)學模型。它們與高中數(shù)學核心素養(yǎng)相對應，但表現(xiàn)形式更加淺顯。數(shù)學方法是指在解決實際問題時結合問題特征形成的思維方法。如為了使抽象的數(shù)學問題更加形象直觀而采用的幾何直觀；運算解決問題必須具備的運算能力；進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析隨機事件而形成的數(shù)據(jù)分析能力。數(shù)學情感是指通過數(shù)學學習可以讓學生形成積極的情感、態(tài)度與價值觀，主要包括數(shù)學理性、數(shù)學審美與數(shù)學應用。通過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質的理性思維是數(shù)學思維的重要特征。數(shù)學的簡潔性、抽象性、和諧性均展現(xiàn)著數(shù)學之美，通過數(shù)學學習讓學生擁有數(shù)學美的體驗。把數(shù)學應用歸納到數(shù)學情感，是指通過數(shù)學應用的廣泛性讓學生體會到數(shù)學學習的現(xiàn)實價值。

以上小學數(shù)學核心素養(yǎng)的構建，體現(xiàn)了傳承、融合與完善，相信隨著小學數(shù)學課堂教學改革的深入，會更加科學、更加合理。

三、從數(shù)學史中汲取數(shù)學核心素養(yǎng)的因子

論述數(shù)學史與小學數(shù)學核心素養(yǎng)的內涵，可以更好地把數(shù)學史融入數(shù)學教學，從數(shù)學史中汲取數(shù)學核心素養(yǎng)的因子。

（一）從數(shù)學史中汲取數(shù)學思想形成的線索

數(shù)學史中記錄的數(shù)學知識產(chǎn)生與形成的過程，往往就是數(shù)學思想逐步萌芽與形成的過程。教師可以依據(jù)學生已有的認識基礎和可接受性，讓學生重走數(shù)學探究之路，體會數(shù)學思想的形成過程。

如圓的面積計算公式一般按極限思想完成推導。除此之外，也可以參考《周髀算經(jīng)》中的“圓出于方”，把圓類比成正多邊形，從推導偶數(shù)邊正多邊形通用面積計算公式后，用類比思想推導出圓的面積計算公式——“半周乘半徑”（如圖3）。[10]

圖3

相對于數(shù)學教材，數(shù)學史更能夠追溯到數(shù)學的本源，發(fā)現(xiàn)數(shù)學在產(chǎn)生和形成過程中體現(xiàn)出的數(shù)學思想，豐富學生對數(shù)學本源的認識。

（二）從數(shù)學史中汲取數(shù)學方法總結的素材

如曹培英老師歸納的，每一種數(shù)學方法往往與數(shù)學學習領域有聯(lián)系。通過數(shù)學史，可以更好地回溯數(shù)學方法逐步總結的歷程，選擇合適的數(shù)學史料，進行教育學化加工，成為學習的素材。

如平均數(shù)，起源于估算一棵果樹上的果實數(shù)，取其中一個枝丫上的果實數(shù)為代表，去乘這棵樹的枝丫數(shù)。教師可以用這個數(shù)學史故事導入平均數(shù)的學習，通過分析、比較、完善引出平均數(shù)，以此培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析能力。又如數(shù)對的教學，可以用笛卡爾發(fā)明直角坐標的素材進行教學設計，讓學生體會幾何直觀的魅力。

需要特別注意的是，從數(shù)學史中選擇相應的數(shù)學素材，一定要結合學生的年齡特征，進行二次加工，使得情節(jié)更加生動直觀，更加符合學生的認知規(guī)律，更加有利于學生體會數(shù)學的內在魅力。

（三）從數(shù)學史中汲取數(shù)學情感的積極體驗

就小學數(shù)學而言，在數(shù)學史中體現(xiàn)數(shù)學情感積極體驗的例子比比皆是，如通過講述古代世界各地各種數(shù)碼的歷史與發(fā)展，可以感受到數(shù)學的簡潔美與統(tǒng)一美；介紹圓周率的探索歷史，可以培養(yǎng)數(shù)學的理性精神；通過列舉自然界中的圓（如荷葉、向日葵等），生活中的圓（如車輪、土樓等），有寓意的圓（如月餅、太極圖等），發(fā)現(xiàn)數(shù)學與生活之間廣泛的聯(lián)系。

學生積極的數(shù)學情感體驗，應該來自于日常數(shù)學教學的滲透，教師可以從數(shù)學史中汲取生動的、有教育意義的數(shù)學史料，結合具體的數(shù)學教學內容情境再現(xiàn)，再通過設問，讓學生談體會、說感受。

“從數(shù)學家的廢紙簍里尋找知識的源泉”，數(shù)學知識不會離開數(shù)學史而憑空產(chǎn)生,從數(shù)學史中汲取小學數(shù)學核心素養(yǎng)的因子，是探究與落實小學數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑。