交直流輸電線路離子流場(chǎng)的時(shí)域混合有限元法

田毅 黃新波 田文超 曹雯 朱永燦 趙隆 張燁

摘要：高壓交、直流輸電線路同走廊架設(shè)作為一種提高走廊輸電能力和節(jié)約土地資源的方法得到大力發(fā)展。兩種線路相互接近時(shí)，其電磁環(huán)境與交直流線路單獨(dú)運(yùn)行時(shí)是不同的，因此需要對(duì)混合場(chǎng)進(jìn)行分析從而指導(dǎo)混合線路的設(shè)計(jì)。在分析混合線路離子流場(chǎng)中，第一次將時(shí)域混合有限元法應(yīng)用于混合離子流場(chǎng)的數(shù)值模擬。此外，在數(shù)值模擬中高壓直流和交流輸電線路之間的相互作用被考慮。通過與實(shí)測(cè)結(jié)果以及現(xiàn)有方法相比，證明了所提方法更加適合交、直流線路混合離子流場(chǎng)問題的分析，并且在提高計(jì)算效率和精確度的同時(shí)獲得了無震蕩數(shù)值解。對(duì)不同混合線路配置模型的地面電場(chǎng)和離子流密度進(jìn)行了數(shù)值模擬，通過分析計(jì)算結(jié)果，總結(jié)了混合輸電線路電場(chǎng)分布的一般規(guī)律。最后，利用所提數(shù)值模擬方法對(duì)兩種典型的全尺寸同走廊輸電線路模型進(jìn)行了分析，進(jìn)而為工程設(shè)計(jì)提供參考.

關(guān)鍵詞：混合線路;離子流場(chǎng);電暈;時(shí)域混合有限元法;電場(chǎng)分布

DOI：10.15938/j.emc.2019.10.010

中圖分類號(hào)：TM 835文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1007-449X（2019）10-0085-10

0引言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，電力需求與日俱增，交直流混合輸電線路作為一種提高同走廊長(zhǎng)距離輸電能力的手段，近幾十年來得到了大力的發(fā)展。當(dāng)交流線路和直流線路相互接近時(shí)，許多潛在的問題需要我們?nèi)ゴ_定。為了指導(dǎo)實(shí)際工程的設(shè)計(jì)和優(yōu)化，并控制高電壓鐵塔周圍電場(chǎng)分布以滿足電磁環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)，需要開發(fā)一種高精確度、高效的數(shù)值分析方法。

交直流混合離子流場(chǎng)的研究已經(jīng)進(jìn)行了多年。早期研究的重點(diǎn)主要集中在分析解決方法上，對(duì)于混合離子流場(chǎng)通常通過大量的假設(shè)條件來進(jìn)行大幅簡(jiǎn)化從而便于數(shù)值計(jì)算分析。近年來，混合電場(chǎng)分布的數(shù)值分析方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展。楊勇等將ZHAO T等提出的單相單極性交直流電場(chǎng)的計(jì)算方法應(yīng)用到三相雙極性交直流電場(chǎng)的計(jì)算中。李偉和張波等提出了一種求解混合電場(chǎng)的時(shí)域迎風(fēng)差分方法。尹晗等通過引入一步校正法和改進(jìn)型算子分裂法改進(jìn)了李偉等的工作。盧鐵兵和周象賢等提出了一種基于有限元（finite elementmethod，F(xiàn)EM）和有限體積法（finite volume method，F(xiàn)VM）的新方法，其電荷注入由每一時(shí)間步迭代確定。這些方法，問題的計(jì)算準(zhǔn)確性、效率和穩(wěn)定性與節(jié)點(diǎn)數(shù)量之間的關(guān)系還存在非常大的問題，并且分析時(shí)域只達(dá)到一階。

本文通過引入吸收邊界條件對(duì)求解域進(jìn)行了重新劃分，基于時(shí)域混合有限元法對(duì)交直流混合離子流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值分析。通過與現(xiàn)有方法以及實(shí)測(cè)結(jié)果的比較，驗(yàn)證了所提方法的高效性。此外，采用所提方法計(jì)算了4種混合線路模型的地面電場(chǎng)和離子流密度。通過比較這些數(shù)據(jù)，總結(jié)了交直流輸電線路混合電場(chǎng)分布的一般規(guī)律。最后，對(duì)同走廊的兩種典型全尺寸交直流混合輸電線路的離子流場(chǎng)進(jìn)行了分析和預(yù)測(cè)。

1計(jì)算模型

當(dāng)直流線路靠近交流線路時(shí)，其混合離子流場(chǎng)既不屬于靜態(tài)問題，也不是兩種離子流場(chǎng)簡(jiǎn)單的線性疊加，而變成了一種非常復(fù)雜的時(shí)變動(dòng)態(tài)混合離子流場(chǎng)。

1.1控制方程

交直流輸電線路混合系統(tǒng)的電暈是一種依賴時(shí)間的雙極性離子流場(chǎng)問題，其控制方程如下

1.2求解域劃分

簡(jiǎn)化的線路模型包括一系列的圓柱形無限長(zhǎng)導(dǎo)線，它們之間相互平行的位于地平面上。三維傳輸線可以遵循這個(gè)簡(jiǎn)化模型，使用一個(gè)二維模型來表示：即垂直于平面的導(dǎo)線。時(shí)域分析方法被采用，在每一時(shí)間步長(zhǎng)，由于交流線路的存在離子運(yùn)動(dòng)將變得更加復(fù)雜，且離子復(fù)合及離子約束變得更加明顯。求解域Ω是二維域上的一個(gè)有界凸多邊形，其邊界T代表邊界集合，根據(jù)離子的運(yùn)動(dòng)方向其被劃分如下：

1.3邊界條件

離子流場(chǎng)的數(shù)值方程是超一階非線性偏微分方程。對(duì)于泊松方程，導(dǎo)線的電勢(shì)和地平面是給定的，需要通過添加人工邊界使其求解域變?yōu)橛薪纭?duì)于電流連續(xù)方程，導(dǎo)線邊界的電場(chǎng)和電荷密度被設(shè)置為邊界條件。如Streamline upwind/Petrov-Galerkin方程所示，迎風(fēng)單元的加權(quán)余量形式有效地將較重的權(quán)重加權(quán)在上流節(jié)點(diǎn)上而非下流節(jié)點(diǎn)。如果電勢(shì)梯度不是很大，則上流節(jié)點(diǎn)和下流節(jié)點(diǎn)值之間的差異很小，加權(quán)余量則對(duì)權(quán)函數(shù)的形狀不是很敏感。因此是否使用迎風(fēng)方案或網(wǎng)格細(xì)化來避免數(shù)值震蕩，不應(yīng)該由對(duì)流占優(yōu)方程的形式?jīng)Q定，而是應(yīng)該基于邊界層存在形式即其形成的機(jī)制，其通常是由邊界條件類型來控制。通過上面的分析，在邊界條件上采用吸收邊界條件。合適的人工邊界選擇，可以使人射波的反射最小。

根據(jù)Kaptzov條件，放電極的表面電場(chǎng)保持起始值。當(dāng)導(dǎo)線電暈時(shí)，流入邊界上的離子密度被初始化，而在其他時(shí)刻其被設(shè)置為零;在流出邊界上離子被吸收，然后該部分的離子密度被取消。

1.4泊松方程的求解

泊松方程控制空間電荷存在下的電勢(shì)分布，其通過混合有限元法求解。為了便于計(jì)算，將二階泊松方程分解為兩個(gè)一階方程，因此如下矢通量函數(shù)被引入

為了數(shù)值計(jì)算混合有限元，在內(nèi)部單元邊界上引入拉格朗日乘數(shù)λ∈L²（F_h），從而自動(dòng)滿足邊界條件，同時(shí)內(nèi)部單元邊沿之間的連續(xù)性被放松。即：

注意：

（1）拉格朗日乘數(shù)的引入，第三個(gè)方程規(guī)定了空間電荷在速度場(chǎng)上所需的連續(xù)性。式（13）中μ∈L²（F_h）也為拉格朗日乘數(shù)并與λ等價(jià)。λ是ψ（t）在內(nèi)部單元邊界上的軌跡，其滿足

λ（s）=ψ（s） on F_h。（14）

（2）Ω項(xiàng)增強(qiáng)了單元域上對(duì)流占優(yōu)方程的滿足度。為了提高精確度，采用α最優(yōu)六階三角形單元離散。每個(gè)內(nèi)部計(jì)算域采用標(biāo)準(zhǔn)Galerkin方法處理。

（3）為了表示相鄰單元接口間的關(guān)系，混合有限元法引入了跳躍算子，其定義如下

1.5電流連續(xù)性方程的求解

在空間域和時(shí)間維度對(duì)電流連續(xù)方程進(jìn)行離散化。為了獲得較好的精確度，在空間域采用間斷有限元法，在時(shí)域應(yīng)用三階顯示總變差減小龍格庫(kù)塔法（total variation diminishing Runge-Kutta，TVDRK3）。將式（2）代入式（4）中，然后對(duì)其和式（3）分別乘以基函數(shù)W_h∈V_h，并在計(jì)算域內(nèi)分別進(jìn)行積分。對(duì)于積分后的方程分別利用間斷有限元法計(jì)算，放松內(nèi)部單元間的邊界連續(xù)性，從而推導(dǎo)出電流連續(xù)方程的間斷有限元形式，即：

1.6求解過程

交直流混合離子流場(chǎng)為電場(chǎng)-空間電荷耦合問題，因此其數(shù)值分析為非線性過程，其是通過迭代求解泊松方程和電流連續(xù)方程來實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)上文的分析，提出了一種基于時(shí)域的新算法，其計(jì)算過程如圖l所示。導(dǎo)線表面起暈場(chǎng)強(qiáng)作為邊界條件，這樣整個(gè)計(jì)算滿足Kaptzov假設(shè)。在內(nèi)層循環(huán)，如果滿足電荷密度δ_ρ和電位δ_ρ的相對(duì)誤差，則計(jì)算結(jié)束，否則修正導(dǎo)線表面電荷密度。

在外層時(shí)間循環(huán)，用顯示了VD RK3在時(shí)域計(jì)算電流連續(xù)方程，分別單獨(dú)迭代求解正、負(fù)空間電荷。不斷循環(huán)計(jì)算整個(gè)外層循環(huán)直到過去兩個(gè)計(jì)算周期的計(jì)算結(jié)果近似時(shí)終止。

1.7所提方法的優(yōu)點(diǎn)

在求解離子流場(chǎng)問題時(shí)，嚴(yán)重的震蕩通常是由于順風(fēng)邊界變量變化迅速而導(dǎo)致。這里的震蕩代表偽數(shù)值解，其主要是由于在計(jì)算域的邊界采用了不合適的有限元網(wǎng)格劃分。因此，為了消除計(jì)算結(jié)構(gòu)的數(shù)值震蕩，采用吸收邊界層類型來消除震蕩。

為了消除沿軌跡逼近駐點(diǎn)的震蕩，有限元法和有限體積法的Peclet數(shù)必須滿足如下限制

通過觀察公式（33），我們發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格必須非常小才能使得擴(kuò)散系數(shù)D在敏感區(qū)域足夠的小，因此就要求計(jì)算網(wǎng)格必須非常的細(xì)化。表1總結(jié)了所提方法與有限元法及有限體積法的對(duì)比。

在空間離散上所提方法采用與FEM相同階數(shù)的單元形函數(shù)，但是其系統(tǒng)系數(shù)矩陣更加稀疏，從而帶來更快的求解過程;在方程的邊界上通過添加數(shù)學(xué)算子來實(shí)現(xiàn)內(nèi)部單元邊界的離散，從而保證計(jì)算網(wǎng)格在計(jì)算域是連續(xù)的;在不改變網(wǎng)格數(shù)量的前提下通過采用α優(yōu)化節(jié)點(diǎn)集和多階多項(xiàng)式基極大的提高了計(jì)算精確度。在時(shí)域離散上通過采用更大的穩(wěn)定時(shí)間步長(zhǎng)來抵消額外增加的一步計(jì)算。因此，與FEM和FVM相比較，所提方法的計(jì)算效率有了極大的提高。同時(shí)采用迭代方法而不是牛頓法，這樣的好處是避免了多階導(dǎo)數(shù)的求解從而減小了整個(gè)計(jì)算的復(fù)雜度，同時(shí)提高了計(jì)算效率。時(shí)域方法更加深入地分析了研究對(duì)象的物理特性。

2計(jì)算方法有效性驗(yàn)證

前文已經(jīng)在理論上分析了所提方法的可行性，并且與已有的方法進(jìn)行了對(duì)比。為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提數(shù)值方法，研究了文獻(xiàn)中提出的一種縮小規(guī)模的交直流混合線路模型，如圖2所示。對(duì)于圖2中的模型，電暈僅發(fā)生在直流導(dǎo)線上;根據(jù)上文的定義將整個(gè)計(jì)算區(qū)域劃分為矩形區(qū)域，其以交、直流導(dǎo)線中心為中心，距離左右邊界距離相等，即為3.7m，上邊界距離地面高度為4.4m，下邊界為地面。

單相交流和單/雙極性直流線路的地面電場(chǎng)和離子流密度分別被計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖2所示，其中“實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果”為文獻(xiàn)中EPRI實(shí)驗(yàn)長(zhǎng)期測(cè)試值。通過觀察圖2發(fā)現(xiàn)所提方法計(jì)算出的結(jié)果非常接近實(shí)驗(yàn)測(cè)試值。針對(duì)上述典型的縮小規(guī)模交直流混合線路，所提方法與FEM、FVM的計(jì)算時(shí)間進(jìn)行了對(duì)比，如表2所示。從表2中可以看出，所提方法比FEM和FVM的計(jì)算效率更高，特別是在高精確度的情況下。

圖2中，由于交流導(dǎo)線未起暈，因此交流導(dǎo)線通電時(shí)的地面電場(chǎng)和離子流密度與交流導(dǎo)線接地時(shí)非常接近。這與后文中交流線路電暈時(shí)的情況形成了巨大的反差。這主要是由于混合場(chǎng)中交流線路的屏蔽作用，而交流線路的屏蔽作用包括兩方面：離子中和效應(yīng)的增加及交流電場(chǎng)對(duì)直流導(dǎo)線電暈產(chǎn)生的空間電荷運(yùn)動(dòng)的改變，而這里的根本原因是由于交流導(dǎo)線沒有發(fā)生電暈從而其對(duì)于離子的中和效應(yīng)不存在。另外，所提方法考慮了交流導(dǎo)線對(duì)直流導(dǎo)線表面電場(chǎng)的影響，因此其導(dǎo)線表面電場(chǎng)呈現(xiàn)出周期性變化，但是其導(dǎo)線表面的總電場(chǎng)依然滿足Kaptzov假設(shè)。

3交直流混合離子流場(chǎng)分析

為了進(jìn)一步研究交直流混合離子流場(chǎng)和探索其一般規(guī)律，對(duì)4種不同形式的混合線路模型進(jìn)行了研究，其幾何尺寸如圖3所示。對(duì)于每一種單相交流和雙極性直流線路混合模型，其每條線路均包含兩條外徑相同的導(dǎo)線束，直流電壓和交流電壓的有效值分別為±40kV和28kV。

利用所提的方法對(duì)4類混合線路模型的地面電場(chǎng)和離子流密度分別進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖4和圖5所示。通過比較這些數(shù)據(jù)，對(duì)混合線路模型電場(chǎng)分布的一般規(guī)律總結(jié)如下：

（1）隨著直流導(dǎo)線位置的變高，合成電場(chǎng)強(qiáng)度的最大值逐漸變小。同時(shí)當(dāng)交流線路位于直流線路和地平面之間時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度將顯著減小，其減小的原因主要為交流導(dǎo)線的屏蔽效應(yīng)。

（2）當(dāng)交流導(dǎo)線位于直流導(dǎo)線的上方或一側(cè)時(shí)，交流導(dǎo)線施加電壓的大小對(duì)于整個(gè)電場(chǎng)分布和離子流密度的影響非常小。

（3）當(dāng)交流導(dǎo)線位于直流導(dǎo)線下方時(shí)，交流導(dǎo)線上施加電壓的幅值對(duì)混合電場(chǎng)分布有較大的影響。當(dāng)交流導(dǎo)線的電壓低于電暈起始電壓時(shí)，其對(duì)于整個(gè)電場(chǎng)分布的影響很小;而當(dāng)交流導(dǎo)線的電壓大于電暈起始電壓時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度的幅值變小以及整個(gè)電場(chǎng)分布曲線向負(fù)半軸移動(dòng)。

（4）在相同幅值的導(dǎo)線電壓下，負(fù)極性電暈強(qiáng)于正極性電暈，在圖中表現(xiàn)為負(fù)半軸電場(chǎng)曲線和離子流密度曲線的最大值大于正半軸的。

（5）當(dāng)負(fù)極性（或正極性）導(dǎo)線位于正極性（或負(fù)極性）下方時(shí)，電場(chǎng)曲線和離子流密度曲線輪廓的大部分位于負(fù)半軸側(cè)（或正半軸側(cè)）。

（6）在一般情況下，離子流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度曲線具有相同的趨勢(shì)。

4應(yīng)用

同走廊全尺寸混合輸電線路主要包括兩種混合線路模型：交流和直流線路分別位于相鄰的兩級(jí)桿塔上如圖6（a）所示;標(biāo)準(zhǔn)的雙回路交流線路系統(tǒng)中一回路被直流線路代替如圖7（a）所示。兩種模型直流電壓為±800kV，交流電壓有效值為500kV，利用所提的方法對(duì)其進(jìn)行對(duì)比分析研究。該混合線路模型的交直流導(dǎo)線分別采用如下規(guī)格：分裂間距為40cm的6×LGJ-500/35型導(dǎo)線和分裂間距為45cm的6×ACSR-720/50型導(dǎo)線;地線分別采用：JLB1A-185和JLB1A-150型導(dǎo)線。

分別計(jì)算兩種混合線路模型的地面電場(chǎng)和離子流密度，計(jì)算結(jié)果如圖6和7所示。對(duì)比計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，同塔混合線路模型的地面電場(chǎng)和離子流密度的最大值較并行混合線路模型分別減少了40%和36%，但是對(duì)比圖6（a）和7（a），我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于同塔混合線路模型桿塔的橫向較并行混合線路模型大了將近一倍。因此實(shí)際中采用哪種混合線路模型要根據(jù)具體的情況來決定。

5結(jié)論

對(duì)于高壓交直流輸電線路的混合離子流場(chǎng)的數(shù)值分析技術(shù)已經(jīng)研究了許多年。本文的目標(biāo)是開發(fā)一種新的模擬計(jì)算方法從而達(dá)到降低計(jì)算成本、提高精確度和穩(wěn)定性的目的。因此，泊松方程通過混合有限元法求解，電流連續(xù)性方程在空間域通過離散有限元法求解，在時(shí)域通過顯示TVD RK3方法求解。通過與現(xiàn)有的方法相比，本文發(fā)展的新方法實(shí)現(xiàn)了這一目標(biāo)。

通過與縮小規(guī)?；旌暇€路模型的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相比較，證明了本文所提方法的有效性。通過計(jì)算不同配置的交直流混合場(chǎng)的地面電場(chǎng)和離子流密度分布，總結(jié)了其一般規(guī)律，并推導(dǎo)出最優(yōu)的混合線路配置，從而為全尺寸混合輸電線路的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。分析典型的兩種全尺寸混合線路模型，從而得出同塔混合線路模型的地面電場(chǎng)強(qiáng)度和離子流密度的最大值較并行混合線路模型分別減少了40%和36%，但是同塔混合線路模型桿塔的橫向較并行混合線路模型大了將近一倍。因此實(shí)際中采用哪種混合線路模型要根據(jù)具體的地理環(huán)境來確定。