方向引領方法

沈妍雋

[摘 ?要] 在數(shù)學教學中，或許教師在教給學生解題方法的時候，應該更多地幫助他們指明解題方向，讓他們擁有解題之路的指南針. 所以教師的作用就是要通過平時的不斷訓練和經驗總結，培養(yǎng)學生的直覺思維，讓思維有一定的指向性，使學生的解題能力得到提高.

[關鍵詞] 學科價值;方向性;直覺思維

數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中寫到：“是的，這個解答看起來是行的，它似乎是正確的，但怎樣才能想到這個解答呢？是的，這個實驗看起來可行，這似乎是事實，但是人們怎么發(fā)現(xiàn)這個事實的？而我自己如何才能想到或發(fā)現(xiàn)它們呢？”一語驚醒夢中人！這不正是我們初中數(shù)學教師在教學中的難點且需要突破的嗎？我們經常面臨這樣的場景：當老師給學生講解習題，尤其是略有難度的題目時，有時候可能只需要老師點一下，學生就茅塞頓開，驚呼：“我當時怎么沒想到呢？這么簡單！”學生真的是笨嗎？真的是數(shù)學知識儲備不足嗎？做的題目還不夠多嗎？我們教師不應該反思嗎……為什么我們給了學生這么多方法，這么多“武林秘籍”，他們就是不會用呢？

下面以一個初三習題為例，來說明解題方向對解題方法的影響.

在平面直角坐標系中，已知A（4，0），B（-6，0）兩點，點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，點C的坐標是多少？

題目背景 ?此題是出現(xiàn)在初三學生的一次周末家庭作業(yè)中，第一輪復習已經結束，第二輪專題復習正在進行中，主要就是想強化學生的方法性思考，從而培養(yǎng)其數(shù)學直覺和能力. 筆者在周一的批改過程中，發(fā)現(xiàn)好幾位同學都對了，所以在課堂上就嘗試讓學生上黑板講解，尤其要求學生講出他是怎么想到這種方法的. 結果發(fā)現(xiàn)，學生的思路真的很開闊，而且突破口抓得既巧妙又合情合理，甚至有的方法筆者自己都未曾想到. 這說明學生在第一輪復習中，已經很好地自我修復和構建了多種數(shù)學模型或者說思想方法. 課后，筆者將學生的思路提煉出了四種較經典的代表，整理如下.

思考方向1 ?學生甲提供，他是我們班級的學霸，很多時候，他總能透過現(xiàn)象看本質，從而巧解各類難題. 他的思考方向是由定邊加定角想到構建隱圓. 根據(jù)動點C在動的過程中，保證∠BCA不變，所以聯(lián)想到圓中同弧所對的圓周角都相等，且等于所對圓心角度數(shù)的一半，從而想到建立圓來解決問題，找到解題方法. 即建立隱圓如下：如圖1，以P（-1，5）為圓心，PB=5 為半徑的圓，交y軸于點C，結合△PCF用勾股定理求得CF=7，從而求得點C坐標（0，12）以及其對稱點（0，-12）.

思考方向2 ?學生乙提供，他從初一到初三的數(shù)學都是由筆者任教，所以對于筆者平時在教學中用到的模型，應用起來比其他同學更得心應手. 他的思考方向是由“一線三等角”模型展開. 所謂一線三等角模型即三個等角頂點在同一直線上，如圖2所示，則總可以證明兩側兩個三角形相似. 在學生熟知這個模型的基礎上，確立了構建45°一線三等角模型的思考方向. 解題分析如圖3所示.

解題思路如下：構建圖3，∠D和∠E都等于45°，可證得△BCD∽△CAE，從而得到 = ，即 = ，可求得CO=12，即得點C（0，12）或對稱點（0，-12）.

思考方向3 ?由學生丙提供，此學生的數(shù)學成績并不是非常突出，所以他能解決這個問題，確實讓筆者比較驚喜. 他沒有用什么模型，只是由45°角直覺想到構建等腰直角三角形，且充分利用已知數(shù)據(jù)6和4，從而得到一些新數(shù)據(jù)，并在構建等腰直角三角形的同時，用45°角觀察到產生的一些相似三角形，由此可嘗試解決. （其實此法也是上題一線三等角的變式）

解題思路如下：如圖4，構建等腰直角三角形△BOE和△AOD，得到新數(shù)據(jù)BO=OE=6，BE=6 ，AO=DO=4，AD=4 ，DE=2，可證得△BCE∽△CAD，得到 = ，即 = ，可求得CE=6，故CO=12，即得點C（0，12）或對稱點（0，-12）.

思考方向4 ?由學生丁提供，該生記憶力比較好，曾經做過的題目，他都會有較深印象. 他的思路是由第一輪復習中的一個旋轉題拓展而來. 他想到將兩個獨立小三角形分別往兩側旋轉，從而構建出一個正方形，再借助勾股定理解決.

解題思路如下：旋轉△AOC、△BOC得△BEC和△ADC，延長EB，DA交于點F，可證得正方形CEFD，CE=CD=EF=DF=CO，在△ABF中，由勾股定理：BF2+AF2=AB2，通過等量代換可得：（CO-4）2+（CO-6）2=102，解得CO=12，即得點C（0，12）或對稱點（0，-12）.

通過一道小小的練習題，學生們就根據(jù)自己的思考方向不同，得出來這么多精彩的方法，這不得不讓筆者感到欣慰和感嘆！數(shù)學的解題方法千千萬萬，我們要做的并不是讓學生掌握每一種方法，而是要他們學會自己去思考、分析、解決. 這更堅定了筆者對“方向比方法更重要”這句話的認識，只有正確的思考方向才能引領好的解題方法. 這就需要我們教師在平時教學中引導學生多問為什么，如“這個題目為什么可以這么解？”“為什么他會想到這種方法？”教他們學會從條件和結論中，最大限度地提取有用信息，將顯性、隱性信息和不同數(shù)學知識聯(lián)系起來，再聯(lián)系最近發(fā)展區(qū)中的數(shù)學知識結構，推動信息的延續(xù)，產生解題方向. 手握“指南針”，構建成已有數(shù)學模型，形成方法，最終化為行動.

這也正是學科教學根本價值的體現(xiàn)，讓學生學會思維、形成習慣、積累教養(yǎng)，將學習中的思維過程、方法策略內化為學生走向社會解決具體問題的基本技能、基本思想、基本態(tài)度和基本素質. 這何嘗不是我們生活的智慧呢？只有明確了人生努力的方向，才有可能盡最大力量去尋找最佳方法來實現(xiàn)它！