關(guān)于“乘法公式”的幾點(diǎn)教學(xué)建議

楊玲

[摘 ?要] 文章提出關(guān)于“乘法公式”的幾點(diǎn)教學(xué)建議：重視公式的生成教學(xué);重視公式的直接應(yīng)用;重視公式的創(chuàng)新應(yīng)用. 并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性與創(chuàng)造性.

[關(guān)鍵詞] 乘法公式;教學(xué)建議;初中數(shù)學(xué)

乘法公式主要包括完全平方公式和平方差公式，這兩個(gè)公式是學(xué)生進(jìn)行多項(xiàng)式運(yùn)算的基礎(chǔ)，在初中數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位. 通過教學(xué)，教師不僅要教會(huì)學(xué)生靈活應(yīng)用完全平方公式和平方差公式解決實(shí)際問題，還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)的遷移與轉(zhuǎn)化解決其他相關(guān)問題，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性與創(chuàng)造性. 正是因?yàn)椤俺朔ü健钡闹匾?，所以教師在教學(xué)中不可掉以輕心. 下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出幾點(diǎn)建議，供大家參考.

重視公式的生成教學(xué)

教學(xué)，不僅要讓學(xué)生知其然，更要讓學(xué)生知其所以然. 所以教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)公式、定理的生成教學(xué). 在應(yīng)試教學(xué)的背景下，有的教師往往會(huì)忽視這一點(diǎn)，其誤以為學(xué)生只要能記住公式，會(huì)用公式解題就可以了，沒有必要花很多時(shí)間去推導(dǎo)公式，這種急功近利的做法違背了教學(xué)規(guī)律，也脫離了以人為本的教學(xué)原則，把學(xué)生當(dāng)成了解題機(jī)器，忽略了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的感悟與情感，從而促使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的厭惡心理. 其實(shí)，數(shù)學(xué)公式的生成是一個(gè)讓人十分愉快的過程，完全平方公式和平方差公式的生成就是如此. 教師可以針對(duì)學(xué)生的年齡特征，設(shè)計(jì)問題情境，聆聽學(xué)生的心聲，把握學(xué)生智慧的閃光點(diǎn)來促進(jìn)生成 [1].

1. 完全平方公式的生成教學(xué)

創(chuàng)設(shè)問題情境：有一位大學(xué)生帶領(lǐng)村民推廣農(nóng)業(yè)科技，走共同致富的道路. 第一年，他在一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形農(nóng)田里種上了優(yōu)質(zhì)的雜交水稻，秋收時(shí)收獲很大. 他的成功使老農(nóng)深受感染，老農(nóng)下決心也要走科技興農(nóng)的道路. 他把自家的一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形農(nóng)田，邊長(zhǎng)增加b米，形成如圖1所示的四塊試驗(yàn)田，種植了不同的新品種. 大家想一想，老農(nóng)能實(shí)現(xiàn)他的富裕之夢(mèng)嗎？

由圖生成公式：如圖1所示，改造后的試驗(yàn)田，可以種植四種不同的新品種.

法1：老農(nóng)原來的正方形農(nóng)田的邊長(zhǎng)為a，改造后的正方形農(nóng)田的邊長(zhǎng)為（a+b），這時(shí)這塊農(nóng)田的面積為（a+b）2.

法2：也可以把大正方形農(nóng)田看成四塊農(nóng)田面積之和，它們的面積分別是ab，b2，a2，ab，所以改造后的農(nóng)田的總面積為a2+2ab+b2.

上面兩種方法看似形式不同，卻都表示同一塊農(nóng)田的面積，所以它們是相等的，于是有（a+b）2=a2+2ab+b2成立[2] .

2. 平方差公式的生成教學(xué)

探究公式：如圖2，將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，從一角剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，再把剩下的部分剪成兩個(gè)長(zhǎng)方形并拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，請(qǐng)用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關(guān)系.

剖析公式：在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，其結(jié)構(gòu)：（1）兩個(gè)二項(xiàng)式相乘位于公式的左邊，其中兩個(gè)因式的前一項(xiàng)相同，后一項(xiàng)互為相反數(shù);（2）右邊是相同項(xiàng)與互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方差，即a2-b2.

從上述公式的生成過程可以看出數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)能讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，應(yīng)引起教師的重視.

重視公式的直接應(yīng)用

學(xué)以致用，是新課標(biāo)的理念. 學(xué)了公式，目的就在于利用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算，解決問題. 初學(xué)公式的運(yùn)用時(shí)，不宜步子邁得太大，應(yīng)首先學(xué)會(huì)公式的直接應(yīng)用，主要包含利用公式化簡(jiǎn)與求值，可以是數(shù)字運(yùn)算，也可以是字母運(yùn)算. 設(shè)計(jì)的題目難度要有梯度，且能讓學(xué)生經(jīng)過練習(xí)之后，獲得一些直接經(jīng)驗(yàn)與解題感悟.

1. 對(duì)公式的認(rèn)識(shí)與直接應(yīng)用

例1 ?（1）下列各多項(xiàng)式相乘，可以用平方差公式的有（ ? ? ?）

①（-2ab+5x）（5x+2ab）;②（ax-y）·（-ax-y）;③（-ab-c）（ab-c）;④（m+n）·（-m-n）.

A. 4個(gè) ? ?B. 3個(gè) ? ?C. 2個(gè) ? ?D. 1個(gè)

（2）利用完全平方公式計(jì)算： ①（2x-3）2; ② （4x+5y）2; ③ （mn-a）2.

分析 ?（1）從公式的特征看，①②③可用平方差公式.

（2）先觀察，選定運(yùn)用哪個(gè)完全平方公式，再搞清楚哪個(gè)是完全平方公式中的a，哪個(gè)是完全平方公式中的b，然后準(zhǔn)確代入公式，最后化簡(jiǎn).

2. 對(duì)公式的靈活應(yīng)用

例2 ?（1）計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）·（28+1）（216+1）（232+1）+1;

（2）計(jì)算：（a+2b-3）2.

分析 ?（1）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)2+1與2-1，22+1與22-1，24+1與24-1等可以使用平方差公式，所以只需在前面添上因式（2-1），即可利用平方差公式逐步計(jì)算.

（2）三項(xiàng)式的平方，不能直接運(yùn)用完全平方公式，所以可以用加法結(jié)合律將a+2b-3化成a+（2b-3），即看成a與（2b-3）的和的平方再應(yīng)用公式.

在教學(xué)中，教師應(yīng)重視公式的直接應(yīng)用. 直接應(yīng)用看似簡(jiǎn)單，其實(shí)在應(yīng)用的過程中學(xué)生也會(huì)暴露一些問題，比如對(duì)兩個(gè)公式混淆，應(yīng)用時(shí)忽視符號(hào)，甚至看不出如何應(yīng)用公式解題. 這些都是教師教學(xué)中不可忽視的著力點(diǎn)，因?yàn)橹挥凶寣W(xué)生學(xué)會(huì)了對(duì)公式的直接應(yīng)用，才能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式進(jìn)行創(chuàng)新應(yīng)用，從而進(jìn)一步提高他們的探究能力和創(chuàng)新能力.

重視公式的創(chuàng)新應(yīng)用

引導(dǎo)學(xué)生掌握乘法公式的直接應(yīng)用后，教師應(yīng)著力于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)乘法公式進(jìn)行創(chuàng)新應(yīng)用，尤其是完全平方公式，它是數(shù)學(xué)重要解題方法之一的配方法的源泉，在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用. 教師不僅要讓學(xué)生知道兩個(gè)完全平方公式之間的重要關(guān)系，還要掌握利用這種關(guān)系解題.

例如，兩個(gè)完全平方公式之間的重要關(guān)系：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab;（2）（a+b）2-（a-b）2=4ab.

解題功能：知二推四，即在a，b，a+b，a-b，ab，a2+b2中，只要能夠知道其中兩個(gè)式子的值，就能根據(jù)完全平方公式求出另外四個(gè)式子的值！

例3 ?已知a+b=7，ab=12，求下列各式的值：（1）a2-ab+b2;（2）（a-b）2.

此外，教師在教學(xué)中還要引入有關(guān)乘法公式創(chuàng)新應(yīng)用的相關(guān)問題，以鍛煉學(xué)生的思維，開闊學(xué)生的眼界，讓他們感受數(shù)學(xué)的神秘與樂趣. 如下面幾道題：

題1 ?有些數(shù)字看起來非常神秘，比如某些正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，如4=22-02，12=42-22，20=62-42，我們暫且把它們叫作“神秘?cái)?shù)”. 請(qǐng)問：

（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？試說明理由.

（2）試說明“神秘?cái)?shù)”能被4整除.

（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是神秘?cái)?shù)嗎？試說明理由.

題2 ?圖3是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中的虛線用剪刀平均分成4個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖4的方式拼成一個(gè)正方形.

（1）圖4中陰影部分的面積為______.

（2）觀察圖4，代數(shù)式（m+n）2，（m-n）2， mn之間的等量關(guān)系是______.

（3）觀察圖5，你能得到怎樣的代數(shù)等式呢？

（4）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示為（m+n）（m+3n）.

（5）若x+y=-6，xy=2.75，求x-y的值.

題1和題2的問題情境新穎，又具有趣味性，能喚起學(xué)生的探究意識(shí). 通過探究與問題的解決，學(xué)生不僅能進(jìn)一步掌握乘法公式的應(yīng)用，而且能感悟知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

總而言之，在教學(xué)中，公式教學(xué)不可等閑視之，必須講究教法與學(xué)法，應(yīng)注重提高學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，重視基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值. 因?yàn)樗翘岣邔W(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最基本的途徑之一.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉燁. 讓學(xué)生在生成教學(xué)中有效成長(zhǎng)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（18）：22-23.

[2]談兵. 乘法公式單元教學(xué)起始課教學(xué)研究[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（20）：10-11.