中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的直覺思維

余耕峰

摘? ?要：直覺思維有別于直覺主義，它是在邏輯基礎(chǔ)上的一種思維方式，是直接的洞察領(lǐng)悟，在中學(xué)解題中起著非常重要的作用.數(shù)學(xué)直覺是從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)所必須的與邏輯不同的東西，高度的直覺又來自不斷積累的知識(shí)和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)，在解決問題中簡(jiǎn)縮思維過程，同時(shí)還要鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行大膽地推測(cè)、猜想，依據(jù)線索做出直接判斷.

關(guān)鍵詞：原解題;直覺思維;培養(yǎng);判斷

1? 直覺有別于邏輯的特征

結(jié)果突如其來，出乎意料.

【例題1】分解因式a2+（a+1）2+（a2+a）2

分析：按學(xué)生即有的分解因式的概念和方法只能夠去括號(hào)，但難以解決.在困惑中，中等學(xué)生會(huì)突然發(fā)現(xiàn)（a2+a）2=a2（a+1）2+（a+1）2，于是猜想：可能在分出的因式中含有因式，于是試探原式=a2+a2+2a+1+（a2+a）2=2a2+2a+1，其中想出的a（a+1）剎那，就是一種直覺思維，可見準(zhǔn)確的概念和熟練的技巧方法，還必須以解題的策略和邏輯思維做為它的前奏.直覺并非憑空滋生，幸運(yùn)并不垂青于那些毫無準(zhǔn)備的人，牛頓可以從蘋果落地這件事，而領(lǐng)悟萬有引力，所以說直覺是發(fā)現(xiàn)工具，但直覺的產(chǎn)生必須賴以不斷積累知識(shí)和邏輯分析.從阿基米德的浮體定律來說，他為什么能從浴盆溢水這樣的普通事件中找到王冠之謎的答案，這與邏輯活動(dòng)是分不開的.阿基米德接受海羅王的任務(wù)，并向國王借來一塊與王冠所用金磚一樣大小的金磚.他想，金的比重比其他金屬大，如果王冠是假，它的體積必然比借來的金磚大，所以，他自然就想到通過對(duì)比王冠和金磚的體積來判斷王冠是否慘假.但是王冠體積不好算，它有花紋，凹凸不平，彎彎曲曲，怎樣算體積呢？連阿基米德這樣的大數(shù)學(xué)家也被弄得束手無策.前面這段都是邏輯分析，阿基米德分析到這里被卡住了，他無時(shí)無刻不在思考解決方法，正是在這樣的前提下，當(dāng)他進(jìn)入盆浴時(shí)，看到自己身體沒入浴盆的深度與盆里逸出的水的體積有著某種關(guān)系.由人體而想到王冠，這樣王冠體積也就可求了.在這里，阿基米德自然地運(yùn)用了一系列的邏輯方法.雖然思維活動(dòng)是產(chǎn)生直覺的準(zhǔn)備，但直覺往往不是在冥思苦想中產(chǎn)生，很多事例表明，直覺常常是在原有習(xí)慣思路中斷后才發(fā)生的.固定思路的沉思停止，就較容易更換思路，在某種啟發(fā)下而導(dǎo)向科學(xué)的發(fā)現(xiàn)[ 1 ].這種某種啟發(fā)下而猛然頓悟的過程，只能心領(lǐng)神會(huì)而難于言傳，但也不是從天而降，它的偶然發(fā)現(xiàn)是不畏困難，苦心求索的必然。那么如何捕捉這種靈光一閃的某種啟發(fā)呢？

2? 直覺力培養(yǎng)

眼明手快，發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的好念頭立即捉住它，否則就消失.

看到題目，你先沉迷、追求、探索，始終不得其解.突然間，你注意到，求證之式恰巧是已知式中A、B互換，這種發(fā)現(xiàn)與你過去的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，腦子中猶如電光一閃，一個(gè)想法“便猶如黑暗里透出的亮光” [ 2 ].

【分析】代換：用公式cos2A=1-sin2A去括號(hào)、化簡(jiǎn)cosA，sinA，cosB，sinB≠0，去分母有sin4A+sin4B-2sin2Asin2B=0，大功告成！

有sin4A+sin4B-2sin2Asin2B=0，解題就需要眼明手快，逮住“好念頭”，讓它生根、發(fā)芽、結(jié)果.

2.1? 尋找誘因

靈感的迸發(fā)幾乎都以通過某一信息或偶然事件的刺激誘發(fā)，可以自由的想象，科學(xué)的幻想、教的聯(lián)想、大膽的懷疑，多向的反思考[ 3 ].如適才這題，若對(duì)于這一種方法仍不滿足，又會(huì)思索，尋找妙法.這時(shí)，你突然發(fā)覺兩式都可化為（? ? ? ?）2+（? ? ? ?）2=1，結(jié)合過去的經(jīng)驗(yàn)，作如下安排：令cosX=cos2A÷cosB，

代入即可得之.多向反思，你會(huì)得到許多以前意想不到的妙法，這時(shí)，一種征服困難的愉快便會(huì)激發(fā)你探索神妙數(shù)學(xué)的好奇心和強(qiáng)烈的興趣.另外激發(fā)靈感，發(fā)展直覺力，還可以通過以下幾個(gè)好辦法.

2.2? 暗示頭腦

右腦通常是主管人的潛思維即孕育著靈感的潛意識(shí)，同時(shí)調(diào)動(dòng)左、右腦的積極性，激發(fā)右腦可以事半功倍.

2.3? 問題暫擱

一時(shí)想不出來的，別急燥，先放下，去弄點(diǎn)別的東西，因?yàn)榭赡艽藭r(shí)，你已“定勢(shì)”，這就很需要轉(zhuǎn)換思維，也許，在某一天的早上，你突然會(huì)再回到這個(gè)問題上來，并且一眼看出它的解決方向！也許在某個(gè)晚上，你竟會(huì)在夢(mèng)中把它一五一十地演算出來了呢.這便是格林博士認(rèn)為的“西托”，做夢(mèng)也會(huì)激發(fā)靈感.

2.4? 跟蹤沉錄

前頭，我們已說過，靈感像個(gè)小精靈，稍縱即逝，好好跟蹤，當(dāng)她出現(xiàn)，你便馬上記錄下來.據(jù)說愛迪生的一千多項(xiàng)的發(fā)明中多半來自他的小冊(cè)子.掌握了這些“小竅門”你會(huì)發(fā)現(xiàn)直覺有許多的“無窮妙用”.

3? 直覺判斷

對(duì)于某些典型的選擇題，讓學(xué)生按步就班地計(jì)算結(jié)果，“對(duì)號(hào)”選擇就失去了選擇題的真正意義，完全可以憑直覺作出正確的選擇.

3.1? 直接挑選

【例題3】已知f（x）為有理整函數(shù)，且f（2x）+f（3x+1）=3x2+6x+1，則f[f（x）]=_____

A.x2-2x+1? ?B.x2-1? ? ?C.x2-2x? ? ? D.x4

由條件知f（x）的解析式當(dāng)然可以算出f[f（x）]的次數(shù)不會(huì)低于4。故而一下便可找到正確選項(xiàng)D.

3.2? 篩選

有時(shí)，我們面臨的問題不易從正面入手得到答案，那么可以從反面考慮.對(duì)于某些問題，可以仔細(xì)觀察，憑直覺迅速篩選.

【例題4】在下面給出的函數(shù)中，哪一個(gè)函數(shù)既是在區(qū)間（0，π/2）上的增函數(shù)，又是以π為周期的偶函數(shù)（? ? ? ）

直接驗(yàn)證各函數(shù)是否滿足條件不易，從條件著手：周期函數(shù)A不符合，偶函數(shù)D不符合，必須在（0，π/2）上遞增C不符合，最后，剩下B為正確答案.

3.3? 考察特征

【例題5】若相異非零實(shí)數(shù)（y-x），y（y-x），y（x-y）構(gòu)成公比為r的等比數(shù)列，則r滿足______.

（A）r2+r+1=0? ? ? ? ? ? ? ?（B）r2-r+1=0

（C）（r+1）2+1=0? ? ? ? ? ?（D）以上都對(duì)

分析：考察特征，r∈R，而A，B，C都無實(shí)數(shù)根，故選D

3.4? 數(shù)形結(jié)合

【例題6】兩直線l與m關(guān)于y=x對(duì)稱，若l的方程為y=ax+b（a不等于0，b不等于0）那么m的方程為__________.

分析：依題意畫草圖，可得l和m關(guān)系，它們?cè)趛軸上的截距符號(hào)相反，斜率同號(hào)，故選（B）.

3.5? 整體把握

【例題7】設(shè)ΔABC的邊長為10，24，26，那么它的內(nèi)切圓半徑r為________________.

A? 6? ? ?B? 10? ? ?C? 8? ? ? D? 4

【分析】整體上觀察三邊之長，發(fā)現(xiàn)102+242=262，

∴△ABC為Rt△.

直覺知Rt△內(nèi)切圓直徑d不大于任一邊長，∴2r<10 ， r<5，故而選D.

直覺的洞察力在處理選擇題中的作用顯然是舉足輕重的.一眼看穿，這是數(shù)學(xué)的眼力，利用數(shù)學(xué)的直覺發(fā)現(xiàn)并能預(yù)見它的結(jié)果，再加以數(shù)學(xué)推理，便無懈可擊了.

4? 直覺發(fā)現(xiàn)

4.1? 解題中的發(fā)現(xiàn)

直覺在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中有著非同尋常的靈話性，不可思議的簡(jiǎn)單性，且明捷性.

【例題8】對(duì)于35241這5位數(shù)，能否通過改變各個(gè)數(shù)字的位置把它變成一個(gè)5位素?cái)?shù)？

分析：許多同學(xué)的做法如下，先排除個(gè)位是2，5，4的情況，再考察剩下的48種情況.但直覺明銳的同學(xué)則不然，很快發(fā)現(xiàn)3+5+2+4+1=15，所以不管如何排列，它都不是素?cái)?shù).

4.2? 直覺的證明

你的直覺明銳，獲得一系列直覺結(jié)果，你感到自信，但這不是說可以取消邏輯加工和證實(shí).我們來看一個(gè)簡(jiǎn)單的問題：商人出售一對(duì)蘋果5美分，3只橙子5美分.商人虧本，決定把2兩種水果合起來，按5只10美分出售.

另外，直覺與邏輯方法，相得益章，相輔相成，體現(xiàn)了人類思維的最大的敏捷性.培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺力是培養(yǎng)和發(fā)展思維力的有力的工具.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬克萊田.數(shù)學(xué)真理論[M].廣州：廣東教育出版社， 1999： 45-47.

[2]劉元章，馬復(fù).數(shù)學(xué)直覺與發(fā)覺[M].合肥：安微教育出版社，2002： 57-60.

[3]呂傳漢.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法[M].北京：高等教育出版社，2013：103-106.