差分方程在經濟中的應用舉例

萬祥蘭

【摘 要】差分方程是經濟數(shù)學中的重要組成部分，為離散取值的變量研究提供了有力工具。本文介紹了差分方程在經濟中的三個應用案例。

【關鍵詞】差分;差分方程;貸款模型;存款模型;蛛網(wǎng)模型

中圖分類號： F224 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）31-0104-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.31.048

1 差分

差分：設函數(shù)y=f（x），記為yx。當x取遍非負整數(shù)時函數(shù)值可以排成一個數(shù)列：y0，y1，…，yx…，則稱yx+1-yx稱為函數(shù)yx的差分，也稱為一階差分，記為Δyx，即Δyx=yx+1-yx。Δ（Δyx）記為Δ2yx，稱為函數(shù)yx的二階差分。即Δ（Δyx）=Δyx+1-Δyx=（yx+2-yx+1）-（yx+1-yx）=yx+2-2yx+1+yx，同樣可定義三階、四階差分。二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分。

2 差分方程

差分方程：含有未知函數(shù)差分或表示未知函數(shù)幾個時期值的符號的方程稱為差分方程。方程中未知函數(shù)附標的最大值與最小值的差稱為差分方程的階。n階差分方程形式為F（x，yx，yx+1，…yx+n）=0或G（x，yx，yx-1，…yx-n）=0或H（x，yx，Δyx，Δ2yx，…，Δnyx）=0

一階常系數(shù)線性差分方程：形如yx+1-ayx=f（x）（a≠0，a是常數(shù)）的方程稱為一階常系數(shù)線性差分方程。其中f（x）為已知函數(shù)，yx為未知函數(shù)。

3 差分方程的應用舉例

3.1 貸款模型

例1：小周夫婦為買房需要向銀行貸款100萬元，月利率0.5%，貸款期限25年（300月），試建立數(shù)學模型并計算小周夫婦每月的還款金額。如果小周夫婦每月節(jié)余8000元，是否可以去貸款買房呢？

分析：在整個還款過程中，每月還款金額是固定的，而待還款數(shù)是變化的，找出這個變化規(guī)律是解決問題的關鍵。為此，我們可以如下進行求解。

解：設n月還欠款為an元，每月還款x元，月利率為r，則可建立如下差分方程

a■=（1+r）a■-x（k=1，2，…）a■=1000000

這是關于ak的一階常系數(shù)線性差分方程，通解為ak=c（1+r）k+■（c為任意常數(shù)），滿足初始條件a■=1000000的特解為ak=（1000000-■）（1+r）k+■，將a300=0，k=300，r=0.005代入上式，得x=■≈6401.76（元），說明小周夫婦可以去貸款買房。

3.2 存款模型

例2：小李夫婦打算小孩出生后，每年向銀行存入x元作為家庭教育基金，若銀行的年復利率為r，試寫出第n年后家庭教育基金總額的表達式。如果預估小孩18歲入大學時所需費用為10萬元，按年利率8%計算，小李夫婦每年應向銀行存入多少元？

解：設n年后教育基金總額為an，按復利公式，可得出如下差分方程：

a■=（1+r）a■-x（k=1，2，…）a■=x

這是關于ak的一階常系數(shù)線性差分方程，通解為ak=c（1+r）k-■（c為任意常數(shù)），滿足初始條件為a0=x的特解為ak=■[（1+r）k+1-1]，將a18=100000，k=18，r=0.08代入，得x=■≈2412.76（元）

說明小李夫婦每年向銀行存入2412.76元，小孩18歲入大學時可攢得基金總額10萬元。

3.3 蛛網(wǎng)模型

背景與問題：在市場經濟中，有些產品的生產、銷售呈現(xiàn)周期性，農產品就是其中典型的一種。農產品的投資、銷售價格、生產量、銷售量往往是有周期性的，但在一定的周期內是穩(wěn)定的。因此，對于一定時期內這些經濟指標可以用離散型變量形式表示。對于農業(yè)生產，種植先于產出和銷售一個時期，要想效益取得良好的收益，必須把握好這些因素的規(guī)律并提前做好計劃，下面建立數(shù)學模型來分析市場趨勢。

模型建立：當期的銷售量Qt影響當期的價格Pt，假設有Pt=f（Qt），f是減函數(shù);t時期該產品的價格Pt決定生產者在下一時期愿意供應市場的銷售量（生產量）Qt+1，假設有Qt+1=g（Pt），g是增函數(shù);Pt還決定本期消費者對該產品的需求量Dt，Dt=h（Pt），h是減函數(shù)，又假設達到供需平衡，即Qt=D（t）。因此可以分別建立關于Qt，Pt的差分方程：

Qt+1=g[f（Qt）]，Pt+1=f[g（Pt）]

模型分析：通過上述的對應關系把點列（Q1，P1），（Q2，P1），（Q3，P3），（Q4，P3），…在坐標系中進行描繪，進而發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律和穩(wěn)定點。

將點（Q1，P1），（Q2，P1），（Q3，P3），（Q4，P3），…連接起來就會形成類似蛛網(wǎng)一樣的折線，這個圖形被稱為蛛網(wǎng)模型。如果點列（Q1，P1），（Q2，P1），（Q3，P3），（Q4，P3），…收斂于兩曲線的交點（Q0，P0）稱達到穩(wěn)定狀態(tài)，說明市場在長期運行之后，可能會達到平衡。

模型的求解：用一階線性差分方程作近似計算，是實際問題的近似模擬。

假設銷售量是關于價格的單調遞增的線性函數(shù)，需求量是關于價格單調遞減的線性函數(shù)，因此有Qt=-？酌+δPt-1，Dt=α-βPt，（α，β，？酌，δ均為正常數(shù)）求價格隨時間變動的規(guī)律。

解：假設在每個時期中價格總是確定在市場售完的基礎上，即達到穩(wěn)定平衡狀態(tài)，因此可得到-？酌+δPt-1=α-βPt

整理可得βPt+δPt-1=α+？酌

這是一個一階常系數(shù)線性差分方程，通解為Pt=■+c-■■（c為任意常數(shù)）滿足t=0時，Pt=P0的特解為Pt=■+（P0-■）-■■

4 結語

差分方程在經濟學中有著廣泛的應用。很多經濟量的變化問題，常?？梢赞D化為差分方程的求解問題。解決這些問題，一般應根據(jù)某個經濟規(guī)律或某種經濟假設建立一個數(shù)學模型，即以所研究的經濟變量為未知函數(shù)，時間為自變量的差分方程模型;然后求解;再通過所求的解，來解釋相應的經濟變量的意義;最后還可以作出預測或決策。

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