基于ARIMA模型和殘差自回歸模型的安徽省城鄉(xiāng)居民PCDI分析與預(yù)測

宋 亮吳 楊

（1.安慶師范大學(xué)，安徽 安慶 246133；2.銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244000）

一、引言

為了了解安徽省城鄉(xiāng)居民人均可支配收入的發(fā)展成果和發(fā)展趨勢，本文獲取了近38年以來安徽省城鎮(zhèn)和農(nóng)村PCDI數(shù)據(jù)。在我省改革開放以來經(jīng)濟的長足發(fā)展的背景下，預(yù)防收入差距的擴大也是社會越來越關(guān)注的話題。從歷年數(shù)據(jù)上來看，安徽省城鄉(xiāng)收入差距已然亟待有效的控制，如果把實物性收入和補貼都算入個人收入的一部分，那么實際上的城鄉(xiāng)收入差距問題將更為突出（李實，2003）[1]。保障城鄉(xiāng)居民收入持續(xù)增長趨勢的同時，政府應(yīng)當(dāng)避免城鄉(xiāng)收入差距進(jìn)一步擴大，以此實現(xiàn)安徽省城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)可持續(xù)發(fā)展。本文為了研究安徽省城鄉(xiāng)居民人均可支配收入的發(fā)展，采用縱向的時間序列視角觀察了安徽省城鄉(xiāng)居民收入的差距的動態(tài)變化數(shù)據(jù)，并用兩種一元時間序列分析方法對PCDI數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，對數(shù)據(jù)的模型擬合進(jìn)行了優(yōu)化，以達(dá)到更好的預(yù)測效果。

二、安徽省城鄉(xiāng)居民收入差距現(xiàn)狀分析

我們根據(jù)政府工作網(wǎng)站所獲取的數(shù)據(jù)統(tǒng)計了1981-2018年以來的安徽省城鄉(xiāng)居民收入情況，我們嘗試基于R3.6.0軟件對38年安徽省城鄉(xiāng)居民人均可支配收入情況進(jìn)行繪制，以判斷安徽省城鄉(xiāng)均衡發(fā)展?fàn)顩r，如圖1所示。

圖1 1981-2018年安徽省城鄉(xiāng)人均可支配收入情況

從圖1可以明顯看出，安徽省城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民人均可支配收入（PCDI）均呈逐年上升趨勢，圖表清晰地反映了改革開放以來安徽省城鄉(xiāng)居民生活水平有了長足的提高。

但以2002年為節(jié)點來看，農(nóng)村居民的PCDI在增長速度上相較于城市居民有一定程度的落后。原因在于城市居民得益于所在區(qū)域經(jīng)濟的更快速發(fā)展，人均可支配收入每年的增長率大部分時間都高于農(nóng)村居民；而且從02年以后我們可以明顯地看到農(nóng)村居民人均可支配收入絕對值與城市居民之間存在較大差距。我們需要解決的是如何在保障城鄉(xiāng)居民收入持續(xù)增長趨勢的同時避免城鄉(xiāng)收入差距進(jìn)一步擴大、從而實現(xiàn)更高水平的城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，并據(jù)此分析了三十八年間安徽省城鄉(xiāng)居民人均收入比的變化情況，見圖2。

從圖2中我們可以得出結(jié)論，近22年來城鄉(xiāng)居民人均收入比在2007年以前呈擴大趨勢，這一現(xiàn)象在07年以后顯著扭轉(zhuǎn)，似乎說明政府更加重視城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，致力于縮小城鄉(xiāng)收入差距[2]。結(jié)合圖1和圖2我們可以發(fā)現(xiàn)在維持城鄉(xiāng)居民收入增長的同時，07年以來安徽省城鄉(xiāng)收入差距的縮小主要歸因于農(nóng)村收入的持續(xù)增長。

圖2 1981-2018年安徽省城鄉(xiāng)人均可支配收入比

三、基于ARIMA模型對安徽省城鄉(xiāng)收入比的預(yù)測

（一）模型的建立

首先我們對安徽城鄉(xiāng)收入比序列做出平穩(wěn)性的判斷。根據(jù)圖2我們發(fā)現(xiàn)安徽省城鄉(xiāng)收入比序列具有一定的趨勢性，經(jīng)過測試我們對序列做二階差分運算，效果如下：

圖3 1981-2018年安徽省城鄉(xiāng)收入比2階差分序時序圖

我們對二階差分后的序列通過自相關(guān)圖和ADF檢驗判斷其平穩(wěn)性。自相關(guān)圖如下方左側(cè)所示，Dickey-Fuller值為-4.204,7，結(jié)果顯示序列平穩(wěn)性顯著（p-value=0.013,14）。偏自相關(guān)圖如下方右側(cè)所示，根據(jù)平穩(wěn)后的二階差分序列時序特征顯示，可以進(jìn)行時間序列模型的擬合和分析。

圖4

（二）模型的檢驗與預(yù)測

經(jīng)過平穩(wěn)后的二階差分序列時序特征判斷，我們選定二階差分進(jìn)行時間序列模型的擬合和分析。根據(jù)差分運算之前的序列建立安徽省城鄉(xiāng)收入比序列 ARIMA（0，2，1）模型，檢驗效果顯示，所建立 ARIMA模型AIC值很低，各項指標(biāo)顯示模型有效。

表1

所建立的模型如下：

接下來我們對據(jù)此建立的模型進(jìn)行殘差白噪聲檢驗。得到白噪聲序列，就說明時間序列中有價值的信息已被充分提取，剩下的信息均為無法預(yù)測和使用的隨機擾動。殘差序列如果通過了白噪聲檢驗，則建模終止；如果殘差不是白噪聲，就說明殘差中還有有用的信息，需要修改模型或者進(jìn)一步提取。我們根據(jù)Box-Pierce test檢驗顯示：X2=13.641，P值高度顯著（p-value=0.0002214）判斷模型通過檢驗。接下來我們用R3.6.0軟件對模型進(jìn)行預(yù)測：

圖4

上圖左側(cè)為安徽省城鄉(xiāng)收入比序列預(yù)測圖，右側(cè)為對應(yīng)未來十年安徽省城鄉(xiāng)收入比預(yù)測。根據(jù)預(yù)測的結(jié)果我們可以看出安徽省城鄉(xiāng)居民收入比將進(jìn)一步下降，城鄉(xiāng)發(fā)展趨于均衡，但是城鄉(xiāng)居民人均可支配收入之間仍有一定差距。

四、基于殘差自回歸模型對安徽省城鄉(xiāng)收入比的預(yù)測

（一）擬合關(guān)于時間的線性回歸模型

殘差自回歸（auto-regressive）模型是首先通過確定性因素分解方法提取序列中重要的確定性信息，觀察殘差序列的自相關(guān)性，以彌補ARIMA模型在差分過程中提取確定性信息時再模型直觀解釋上的缺憾[3]。在之前的觀測中我們發(fā)現(xiàn)安徽省城鄉(xiāng)收入比序列疑似具有確定性趨勢，我們可以通過殘差自回歸模型來對其進(jìn)行進(jìn)一步的解釋[4]。首先我們擬合關(guān)于時間的安徽省城鄉(xiāng)收入比線性回歸模型，并對其進(jìn)行效果檢驗，觀察發(fā)現(xiàn)模型對時間的敏感性很小，回歸模型具有固定效應(yīng)。

（二）殘差自相關(guān)性模型的檢驗和擬合

在R3.6.0中我們加載LMTEST程序包以對殘差自回歸模型進(jìn)行檢驗，在Durbin-Watson檢驗中備擇假設(shè)為“模型的真實自相關(guān)程度大于零”，檢測結(jié)果顯示DW值為0.2193,P值非常顯著（p-value=2.827e-16）。

接下來我們對模型的自相關(guān)性和偏自相關(guān)性進(jìn)行繪制，同時比較殘差自回歸模型的統(tǒng)計特征圖，我們得出結(jié)論，模型符合正態(tài)分布的假設(shè)。為了進(jìn)一步提取模型殘差的充分信息，我們根據(jù)殘差自回歸模型的偏自相關(guān)特征建立 ARIMA（1，0，0）模型，檢驗效果顯示，所建立的ARIMA模型AIC值很低，各項指標(biāo)顯示模型有效。

表2

圖6

表3

所建立的模型如下：

綜合前面的分析，對1981-2018年安徽省城鄉(xiāng)收入比序列我們可以用如下殘差自回歸模型進(jìn)行擬合：

最后我們對殘差自相關(guān)模型進(jìn)行顯著性的檢驗，Box-Pierce檢驗效果顯示=26.897,P值非常顯著（p-value=2.146e-07）。據(jù)此可以表明我們對原序列的殘差自回歸模型信息已作出充分的提取。

五、結(jié)語

結(jié)合上文對近38年安徽省城鄉(xiāng)居民人均可支配收入分析，利用ARIMA模型建立的時間序列模型擬合了安徽省城鄉(xiāng)居民收入差距的發(fā)展趨勢，模型通過博克斯-皮爾斯檢驗；并對城鄉(xiāng)收入比序列的殘差進(jìn)行了自回歸模型的分析。通過模型的預(yù)測我們得出結(jié)論：未來十年安徽省城鄉(xiāng)居民收入比將進(jìn)一步下降，城鄉(xiāng)發(fā)展趨于均衡，但是城鄉(xiāng)居民PCDI仍有一定差距，未來較長時間內(nèi)安徽省城鎮(zhèn)居民仍將高出農(nóng)村居民的人均可支配收入兩倍左右。通過以上的模型我們更易于直接解釋安徽省城鄉(xiāng)收入比的波動趨勢：在07年以前不斷擴大，07年年以后，安徽省城鄉(xiāng)居民收入差距得到一定的控制，并從11年以后快速下滑；14年城鄉(xiāng)收入比趨于平穩(wěn)，未來將穩(wěn)定下滑至2倍差距附近。同時，模型還受到諸多隨機因素的影響，導(dǎo)致隨機波動序列有不明顯的短期自相關(guān)性。