電流功計算公式的嚴格推導(dǎo)

劉霽華

(常州市教育科學(xué)研究院，江蘇 常州 213002)

1 電流功計算公式的傳統(tǒng)推導(dǎo)

關(guān)于電流功公式的推導(dǎo),常見的國內(nèi)教材[1]以及國外教材[2]的推導(dǎo)都比較統(tǒng)一:某段電路左右兩端的電勢差為U,在電荷q從左端移到右端的過程中,靜電力做的功是W=qU.因為q=It,代入得W=IUt.這個證明視乎非常簡單.

2 電流功計算公式的傳統(tǒng)推導(dǎo)的不足

圖1

設(shè)導(dǎo)線中電荷定向移動的速率為v，導(dǎo)線橫截面積為S,q=It是處于長為vt橫截面積為S的圓柱體中自由電荷,即圖1中虛線部分的自由電荷.這部分電荷在t時間內(nèi)可進入電壓為U的電場區(qū)域,即圖1實線部分導(dǎo)體中,但這部分電荷只是受到或部分受到電壓U的電場加速.圖1實線部分導(dǎo)體中同時還有其他自由電荷被電場力做功,所以電量公式q=It中的q與公式W=qU中的q不是同一對象，推導(dǎo)用q=It直接代入似乎是在“套公式”,顯得不夠嚴謹.

3 電流功計算公式的分段法推導(dǎo)

t秒內(nèi)被電壓U的這段導(dǎo)體中電場做功的電荷為導(dǎo)體中本身已有的電荷以及緊鄰這段導(dǎo)體的長為vt的一段導(dǎo)體中q的電荷,它們在這段導(dǎo)體中通過的距離和是不同的,因而電勢差也不同.設(shè)該導(dǎo)體單位長度的自由電荷數(shù)為n、每個自由電荷的電荷量為q,電壓為U的這段導(dǎo)體長為L,這段導(dǎo)體本身的電荷量為nLq.

(1) 若vt>L, 這段導(dǎo)體本身的電荷nLq將全部通過這段導(dǎo)體,沿電流方向,t秒內(nèi)處于其最右端一層的電荷,電場沒有對其做功,處于其最左端一層的電荷(設(shè)電荷量為q0)完全經(jīng)過這段導(dǎo)體,所以電場做功為W=q0U,所以電壓為U的這段導(dǎo)體的電場對本身的電荷所做的功為

(1)

圖2

與其相鄰的vt長的導(dǎo)體中,如圖2只有(vt-L)的前部分的電荷全部經(jīng)過的電勢差為U電場做功,長為L后部分同(1),所以

(2)

這樣t秒內(nèi)電勢差為U的這段導(dǎo)體的電場對通過其中的電荷所做的功為

由于I=nqv,代入得W=IUt.

圖3

(3)

(4)

4 電流功計算公式的等效法推導(dǎo)

顯然這里的分段法推導(dǎo)是比較復(fù)雜的,大家應(yīng)該還是認為用書本上的推導(dǎo)方法簡單,但書本上用q=It代表W=qU中的陳述又是不準(zhǔn)確的,那么在平時教學(xué)或教材編寫中應(yīng)該如何處理呢?我們應(yīng)該通過比較嚴謹?shù)牡刃枷氲年愂鰜硗晟仆茖?dǎo):t秒流入導(dǎo)體的電量為q=It，流出這段導(dǎo)體的電量也為q=It,由于流入和流出的電量都為q,這樣“等效”于t秒有電量為q=It的電荷“通過”了電勢差為U的這段導(dǎo)體,代入W=qU得W=IUt.在這里的陳述中運用了等效思想,這樣的q才是通過L的全部經(jīng)過電壓U做功的電荷,符合W=qU中q的本意.當(dāng)然這里等效思想的正確性應(yīng)該有基礎(chǔ),這個基礎(chǔ)就是上面的分段法推導(dǎo).

有些物理本真的問題,我們需對其進行深刻的思考,才能發(fā)現(xiàn)其內(nèi)隱的真實過程,才能使得其研究過程符合物理本質(zhì),從而使學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)建立在科學(xué)過程的基礎(chǔ)上.