正、 余弦定理與三角形面積結(jié)合的兩種題型

尚甜甜

【摘要】縱觀近些年來的高考題，正、余弦定理并不是單一地出現(xiàn)在高考題中，而是和函數(shù)、向量、三角形等結(jié)合起來，本文主要探究它和三角形面積結(jié)合出現(xiàn)的兩種題型.

【關(guān)鍵詞】正弦定理;余弦定理;三角形面積公式

一、已知邊長(zhǎng)和角度求三角形面積問題

例1 （2014·全國）已知a，b，c分別是△ABC的對(duì)應(yīng)邊，a=2，且（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，求△ABC面積的最大值是多少.

分析 三角形的面積公式：S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，分析已知條件知道：要想求出面積，必須從已知條件推出另外一條邊的長(zhǎng)度和一個(gè)角的正弦值，而要求三角形面積的最大值，很明顯看出與均值不等式有關(guān).

解 ∵（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，∴（a+b）（a-b）=（c-b）c即：a2=b2+c2-bc，又∵a=2，由均值不等式可以得到bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等式成立.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得cosA=12.又∵sin2A+cos2A=1，∠A為三角形的內(nèi)角，∴sinA=32，∴Smax=12bcsinA=3.

反思 在知道一條邊的長(zhǎng)度時(shí)要運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正余弦定理來進(jìn)行邊化角、角化邊來得到我們想要的條件，那如果已知的是三角形的一個(gè)角我們?cè)趺磥碛?jì)算呢？是不是和已知邊的算法一樣呢？接下來我們來看：

例2 （2014·山東）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a=3，cosA=63，B=A+π2.求：（1）b的值;（2）△ABC的面積.

分析 在解決第二問的時(shí)候，通常要用到第一問的結(jié)論為已知條件來解決第二問.

解 （1）由正弦定理很容易解得b=32.

（2）∵sinC=sin（A+B），∴asinA=csinC=csin（A+B），

又∵sinC=13，∴c=3，

∴S=12bcsinA=12·32·3·33=322.

（在求這個(gè)三角形面積的時(shí)候，重點(diǎn)是要注意隱藏條件：三角形的內(nèi)角和是180度，所以sinC=sin（A+B））

總結(jié) 對(duì)比例1和例2我們知道：要求三角形的面積，需要用誘導(dǎo)公式、正余弦定理來進(jìn)行邊化角、角化邊來得到想要的條件.邊角轉(zhuǎn)化一般有兩個(gè)途徑：一個(gè)是已知邊用正弦定理來化為角;另一個(gè)是已知角用余弦定理來化為邊;在選用三角形面積公式的時(shí)候，知道哪個(gè)角或者哪個(gè)角好求出來就用哪個(gè)公式.

二、已知面積求邊長(zhǎng)、角度和周長(zhǎng)

例3 （2017·全國）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a23sinA求：（1）sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng).

分析 當(dāng)已知的面積里有二次項(xiàng)的時(shí)候，通常要對(duì)其進(jìn)行降次處理，然后選擇合適的面積公式;要求三角形的邊長(zhǎng)，即要化角為邊，在已知條件很少的時(shí)候，要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用第一問的結(jié)論.

解 （1）很容易解得：sinBsinC=23.

（2）∵6cosBcosC-sinBsinC=1-23，

∴cosBcosC-sinBsinC=-12，即cos（B+C）=-12.

又∵∠B，∠C為三角形內(nèi)角，∴∠B+∠C=2π3，

∴∠A=π3.

又∵12bcsinA=a23sinA，其中a=3，解得bc=8，①

∴由a2=b2+c2-12bccosA，得b2+c2-bc=9.②

結(jié)合①②可得b+c=33，

∴三角形的周長(zhǎng)C=a+b+c=3+33.

反思 在求周長(zhǎng)的時(shí)候，我們運(yùn)用了設(shè)而不求，整體代換來求得最后的答案，設(shè)而不求是解三角形周長(zhǎng)常用的方法，那如果我們要求三角形的邊長(zhǎng)呢？我們可以用這個(gè)方法嗎？求邊長(zhǎng)和求周長(zhǎng)之間有聯(lián)系嗎？下面我們來看例4：

例4 △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2B2.

（1）求cosB;（2）若a+c=6，△ABC的面積為2，求b.

分析 要求邊長(zhǎng)，已知三角形的面積，運(yùn)用三角形面積公式，還要把第一問的答案當(dāng)作已知條件來運(yùn)用.

解 （1）進(jìn)行降冪處理后易得出：cosB=1517.

（2）由（1）知cosB=1517，所以sinB=817，

∴S=12acsinB=417ac=2，∴ac=172.

又∵b2=a2+c2-2accosB，

∴b2=（a+c）2-2ac（1+cosB），得b=2.

（在解答過程中，我們也用了設(shè)而不求的方法，把a(bǔ)c和a+c當(dāng)成一個(gè)整體代入余弦定理中，從而算出b的值）

總結(jié) 在求三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的時(shí)候都用到了設(shè)而不求、整體代換的方法;先用面積公式算出兩邊長(zhǎng)的乘積，再運(yùn)用余弦定理算出這兩條邊的和，再運(yùn)用條件和已知結(jié)論求得結(jié)果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張一.正、余弦定理在解決三角形問題中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2010（17）：76-77.

[2]代潤(rùn)達(dá).與三角形面積有關(guān)的最值問題的求解策略[J].傳播力研究，2018（3）：113-115.