高階線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的研究

梁國(guó)俊

（廣東江門中醫(yī)藥職業(yè)學(xué)院文化基礎(chǔ)系，廣東江門529000）

高階線性遞推數(shù)列是組合數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，求通項(xiàng)公式是解高階線性遞推數(shù)列的關(guān)鍵，常用的解題方法多種多樣，主要有：特征方程法[1]、矩陣法、迭代法、導(dǎo)數(shù)法、生成函數(shù)法和“齊次通解+特解”法[2]等等，其求解過程復(fù)雜，必須每道題都要根據(jù)題目的已知系數(shù)值來求解通項(xiàng)公式，并且，其系數(shù)要求是特定的值，否則便無法求解[3]。而所求出的通項(xiàng)公式均屬于數(shù)值解的通項(xiàng)公式，只適用于原題的計(jì)算。對(duì)于任意常系數(shù)的高階線性遞推數(shù)列公式解的通項(xiàng)公式，國(guó)內(nèi)外未見有文獻(xiàn)報(bào)道。如:已知數(shù)列｛an｝中，a0、a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，從第 8 項(xiàng)起（n≥8 且 n∈z，A、B、C、D、E、F、G、H、k、b、d、f、g、h 均為任意常數(shù)），求通項(xiàng)表達(dá)公式 an。原有的各種方法就不能求解此題，因此，突破原有的解題方法，探索高階線性遞推數(shù)列公式解的通項(xiàng)公式具有非常重要的理論意義和實(shí)用意義。

1 研究策略

1.1 以遞推數(shù)列關(guān)系式為依據(jù)

原有的解題方法中，均是以題目的系數(shù)值為依據(jù)來求解的，故求出的通項(xiàng)公式均是數(shù)值解的通項(xiàng)公式，只適用于原題的計(jì)算[4]。為探索公式解的通項(xiàng)公式，在研究探索過程中，是以遞推數(shù)列關(guān)系式為依據(jù)，其系數(shù)均為任意常數(shù)而不是采用具體數(shù)值。

1.2 使用簡(jiǎn)易的數(shù)學(xué)符號(hào)和運(yùn)算法

為便于計(jì)算，提高解題效率，使用簡(jiǎn)易的數(shù)學(xué)符號(hào)和運(yùn)算法，既可用于計(jì)算機(jī)的編程計(jì)算，也可以適用于筆算解題。

1.3 有明確的通項(xiàng)表達(dá)公式，可直接計(jì)算an的值

原有方法中，還可用逐項(xiàng)累計(jì)法推算an的值，也可利用計(jì)算機(jī)編程來求解，但對(duì)于任意常系數(shù)的高階線性遞推數(shù)列，則只能求出各項(xiàng)的an值，而不能求出明確的通項(xiàng)表達(dá)公式。因此，需有明確的公式解的通項(xiàng)表達(dá)公式，才能適用于各階各項(xiàng)的計(jì)算，以達(dá)到一式通解的目的。當(dāng)代入題目的已知數(shù)和n的值時(shí)，便可直接計(jì)算出an項(xiàng)的值。

1.4 避免采用解高次方程的傳統(tǒng)方法

原有的解題方法中，多是采用特征方程法或變換后再利用特征方程法，但高次方程難解，如出現(xiàn)超越方程就更難解，會(huì)直接影響通項(xiàng)公式的求解，甚至是無法求出通項(xiàng)公式，因此，必須突破原有的解題方法，避免出現(xiàn)解高次方程。

1.5 通項(xiàng)公式適用于各階齊次與非齊次的高階線性遞推數(shù)列

原有方法中，生成函數(shù)法或“齊次通解+特解”法等雖能求解非齊次的線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，但均屬于數(shù)值解，只適用于特定系數(shù)的原題計(jì)算。因此，需以各階的非齊次線性遞推數(shù)列的關(guān)系式為依據(jù)，進(jìn)行探索研究，尋求出其公式解的通項(xiàng)公式，才能適用于任意常系數(shù)的各階齊次或與非齊次的高階線性遞推數(shù)列的計(jì)算。

2 公式推導(dǎo)與結(jié)果

參考一階齊次線性遞推數(shù)列，并對(duì)各階非齊次線性遞推數(shù)列進(jìn)行逐項(xiàng)展開，尋找其變化規(guī)律，從而總結(jié)歸納出通項(xiàng)公式。

2.1 一階非齊次線性遞推數(shù)列

已知 a1，且 an=qan-1+k×bn+f×n2+g×n（n≥2 且 n∈z，q、k、b、f、g 均為常數(shù)），展開得

從中可發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，并利用累加符號(hào)表示，歸納得出上述情形從第1項(xiàng)起的一階非齊次線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式為

2.2 二階非齊次線性遞推數(shù)列

已知 a1、a2，且 an=Aan-1+Ban-2+k×bn+f×n2+g×n（式中 n≥3 且 n∈z，A、B、k、b、f、g 均為常數(shù)），展開得

根據(jù)其規(guī)律性并參照一階的通項(xiàng)公式的形式，可歸納出上述情形從第1項(xiàng)起的二階非齊次線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式為

2.3 三階非齊次線性遞推數(shù)列

已知 a1、a2、a3，且 an=Aan-1+Ban-2+Can-3+k×bn+f×n2+g×n（式中 n≥4 且 n∈z，A、B、C、k、b、f、g 均為常數(shù)），展開得

根據(jù)其規(guī)律性并參照二階的通項(xiàng)公式的形式，可歸納出上述情形從第1項(xiàng)起的三階非齊次線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式為

以此類推。

2.4 推導(dǎo)結(jié)果

根據(jù)前面各階線性遞推數(shù)列展開的規(guī)律性，并參照其通項(xiàng)公式的形式，歸納得出：

從W項(xiàng)起的M階（M≤8）非齊次線性遞推數(shù)列，形如：an=Aan-1+Ban-2+Can-3+Dan-4+Ean-5+Fan-6+Gan-7+Han-8+ψ（n）（式中 n≥W+M），其公式解的通項(xiàng)公式為

2.5 公式證明

已知 a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8、a9，且從第 10 項(xiàng)起 an=Aan-1+Ban-2+Can-3+Dan-4+Ean-5+Fan-6+Gan-7+Han-8+k×bn+f×n2+g×n（ 式中 n ≥10 且 n∈z，A、B、C、D、E、F、G、H、k、b、f、g均為常數(shù)），對(duì)照上式（4），本例是從第2 項(xiàng)起的八階線性遞推數(shù)列（W=2，M=8），ψ（n）=k×bn+f×n2+g×n，并代入式（4）得

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

當(dāng) n=10時(shí)，代入式（5）得

與原例的遞推關(guān)系a10的展開式相等，所以等式成立。

當(dāng) n=11時(shí)，代入式（5）得

與原例的遞推關(guān)系a11的展開式相等，所以等式成立。

當(dāng) n=16時(shí)，代入式（5）得

與原例的遞推關(guān)系a16的展開式相等，所以等式成立。

當(dāng) n=17時(shí)，代入式（5）得

與原例的遞推關(guān)系a17的展開式相等，所以等式成立。

假設(shè) n=k（k≥10）時(shí)，代入式（5）成立，即有

當(dāng) n=k+1（k≥10）時(shí)，代入式（5）得

因?yàn)橛胣=k+1代入式（5）時(shí)，其右邊的關(guān)系式與用n=k時(shí)右邊的關(guān)系式的形式是相同的，所以n=k+1也成立。

因?yàn)槭剑?）成立，即式（4）成立。證畢。

3 例題與公式應(yīng)用

例1已知數(shù)列｛an｝中，a1=a2=2，a3=a4=1，a5=a6=3，a7=a8=4，從第 9 項(xiàng)起 an=an-1+an-3-3an-5+5an-8，求通項(xiàng)表達(dá)公式an。

解本例是從第 1項(xiàng)起的八階齊次線性遞推數(shù)列（M=8，W=1），沒有 B、D、F、G 項(xiàng)（即 v=0，t=0，x=0，y=0），A=1，C=1，E=-3，H=5，且 ψ（n）=0，代入式（4）得本題數(shù)值解的通項(xiàng)公式為

分別用n=9、10、11、12代入上式，便可計(jì)算出相應(yīng)各項(xiàng)的值為

例2已知數(shù)列｛an｝中，a0=2，a1=1，a2=1，a3=0，a4=2，a5=0，a6=2，a7=1 且 an=an-1+an-3-3an-7+7an-8+2×3(n-5)+n2-7n+11（n≥8 且 n∈z），求通項(xiàng)表達(dá)公式 an。

解本例是從第0項(xiàng)起的八階非齊次線性遞推數(shù)列（W=0，M=8），沒有B、D、E、F項(xiàng)（即v=0、t=0、r=0、x=0），A=1、C=1、G=-3、H=7，且 ψ（n）=2×3(n-5)+n2-7n+11，代入式（4）得本題數(shù)值解的通項(xiàng)公式為

分別用n=8、9、10、11代入上式，便可計(jì)算出相應(yīng)各項(xiàng)的值為

例3已知數(shù)列｛an｝中，a0=5，a1=2且an=an-1+6an-2+3n（n≥2且n∈z），求通項(xiàng)表達(dá)公式an。

解本題是從第0項(xiàng)起的二階非齊次線性遞推數(shù)列（W=0，M=2），對(duì)照式（4），沒有H、G、F、E、D和C 項(xiàng)（即 z=y=x=r=t=u=0），并將 A=1、B=6、ψ（n）=3n代入通項(xiàng)公式（4）得本題數(shù)值解的通項(xiàng)公式為

分別用n=2、3、4代入上式，便可計(jì)算出相應(yīng)各項(xiàng)的值為

例4在數(shù)列｛an｝中，a0=-1，a1=1，a2=0，a3=2，a4=1，從第 5 項(xiàng)起（式中n≥5且n∈z），求通項(xiàng)表達(dá)公式an。

解本例是從第 1項(xiàng)起的四階非齊次線性遞推數(shù)列（W=1，M=4），B=C=1，D=-3，沒有 E、F、G、H 項(xiàng)，即 r=x=y=z=0，同時(shí)沒有 A 項(xiàng)，即，代入上述式（4）得本題數(shù)值解的通項(xiàng)公式為

分別用n=5、6、7、8代入上式，便可計(jì)算出相應(yīng)各項(xiàng)的值為

例5斐波那契數(shù)列，已知｛an｝中，a1=1，a2=1，從第3項(xiàng)起an=an-1+an-2（n≥3且n∈z），求an的通項(xiàng)表達(dá)式。

解本題是從第1項(xiàng)起的二階遞推數(shù)列，即 W=1，M=2，對(duì)照式（4），沒有H、G、F、E、D、C項(xiàng)，即 z=y=x=r=t=u=0，A=1，B=1，且 ψ（n）=0，n≥3，代入通項(xiàng)公式（4）得本題數(shù)值解的通項(xiàng)公式為

分別用n=3、4、5、6代入上式，便可計(jì)算出相應(yīng)各項(xiàng)的值為

4 結(jié)論

本文通過逐階逐項(xiàng)展開推導(dǎo)，找出其變化規(guī)律，歸納得出了一條高階線性遞推數(shù)列公式解的通項(xiàng)公式，該通項(xiàng)公式表達(dá)簡(jiǎn)單，算法簡(jiǎn)易，計(jì)算結(jié)果正確，且能通解任意常系數(shù)的八階之內(nèi)各階線性遞推數(shù)列，達(dá)到了快速求解的效果。用本通項(xiàng)公式計(jì)算與傳統(tǒng)方法比較，有如下優(yōu)點(diǎn)：

（1）容易掌握，適用范圍廣。適用于任意常系數(shù)的各階線性遞推數(shù)列，使用的符號(hào)和運(yùn)算方法簡(jiǎn)單。

（2）有明確的通項(xiàng)表達(dá)公式，一式通用。是公式解的通項(xiàng)公式，適用于八階以內(nèi)的各階任意常系數(shù)高階齊次或非齊次線性遞推數(shù)列的計(jì)算。

（3）可直接計(jì)算第n項(xiàng)的值an，還可以根據(jù)題目中的已知條件，求解初始項(xiàng)中各項(xiàng)的值或關(guān)系式中g(shù)（n）中的系數(shù)。

（4）不需解高次方程。避免解高次方程出現(xiàn)的無理根、復(fù)數(shù)根等難解現(xiàn)象。

（5）不存在“特解”的假設(shè)判斷問題和難解現(xiàn)象。

（6）根據(jù)其規(guī)律性，還可擴(kuò)展到九階、十階、…等的高階線性遞推數(shù)列的計(jì)算。

經(jīng)過對(duì)高階線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的研究，得出一條公式解的通項(xiàng)公式，能通解任意常系數(shù)的高階線性遞推數(shù)列。但公式解的通項(xiàng)公式較長(zhǎng)，參數(shù)較多，難以記憶，計(jì)算時(shí)容易漏項(xiàng)。