一類帶有控制器失效的切換系統(tǒng)的模型參考自適應律的設計

羅俊玉，金朝永，陸詩敏

（廣東工業(yè)大學應用數(shù)學學院，廣東廣州510520）

在控制切換系統(tǒng)實際運行過程中，由于系統(tǒng)的執(zhí)行器受各種非人為因素的影響，往往會發(fā)生故障，從而導致系統(tǒng)的整體性能下降。針對這種情況，建立一個誤差系統(tǒng)，設計系統(tǒng)控制器的自適應律，使其滿足在出現(xiàn)執(zhí)行器失效時，系統(tǒng)仍然保持穩(wěn)定且達到一定的性能指標，這是一個值得深入研究的問題。而今現(xiàn)有的研究結(jié)果，主要是通過給自適應執(zhí)行器設計補償控制器來解決帶有執(zhí)行器失效的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題[1-5]?；谶@方面的探索，先假設當執(zhí)行器只有一部分不能正常工作，剩下的部分執(zhí)行器能繼續(xù)正常工作去實現(xiàn)目標控制?？纱蠖鄶?shù)時候，這種假設是不能被滿足的。比如，當系統(tǒng)為單輸入系統(tǒng)時，只具備單獨的執(zhí)行器，所以上述假設明顯不成立。因而我們必須去尋找新的方法，處理此類相關(guān)的問題。除此之外，在一些特定的情況下，讓執(zhí)行器在盡可能短的時間里停止運作是必然的[6]。由于現(xiàn)有的控制方法還不能很好地解決此類執(zhí)行器失效時所留下的弊端，故研究如何設計帶有執(zhí)行器失效在有限時間內(nèi)短暫失效的自適應控制器，無論在理論上還是實際應用中都能保證系統(tǒng)性能的穩(wěn)定，就具有很重要的實際意義。

1 問題提出

首先考慮如下一類非切換系統(tǒng)

其中，x（t）∈Rn和 u（t）∈Rm分別為系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入，A∈Rn×n和 B∈Rn×m分別為具有未知參數(shù)的矩陣。

參考模型為

其中，Am∈Rn×n為Hurwitz常矩陣，Bm∈Rn×m且（Am，Bm）是可控的，r（t）∈RM為持續(xù)激勵信號，xm（t）為參考模型的狀態(tài)。

一般情況下，通過自適應控制器 u（t）的設計，使得 x（t）能夠漸近跟蹤 xm（t），即狀態(tài)跟蹤誤差 e（t）=x（t）-xm（t），滿足。然而，在實際的系統(tǒng)控制運行中，由于受一些非人為因素的影響，導致所有執(zhí)行器失效而控制器傳遞信息失敗，在控制器傳遞信息失敗的相應時間段內(nèi)，系統(tǒng)（1）為開環(huán)狀態(tài)，即B=0n×m。在這種情況下，可以用如下切換系統(tǒng)來代替帶有執(zhí)行器失效的系統(tǒng)（1）

其中，σ（t）：[0，+∞）→M=｛1，2｝，B1=B，B2=0n×m。當 σ=1 時，激活正常子系統(tǒng)，即系統(tǒng)（1）執(zhí)行器正常運行，當σ=2時，激活失效子系統(tǒng)，即系統(tǒng)（1）中全部執(zhí)行器失效。

定義1對?T1，T2∈C，滿足T2＞T1≥0，定義Nf（T1，T2）為在時間段[T1，T2）上全部執(zhí)行器失效的次數(shù)，定義Ff（T1，T2）=Nf（T1，T2）（/T2-T1）為在時間段[T1，T2）上的全部執(zhí)行器失效的頻率。

定義2對?T1，T2∈C，滿足T2＞T1≥0，定義T+（T1，T2）為在時間段[T1，T2）上全部執(zhí)行器失效的時間，定義T+（T1，T2）（/T2-T1）為在時間段[T1，T2）上全部執(zhí)行器失效時間比。

假設1[7]存在常矩陣及非奇異常矩陣，使得下式（4）成立

假設2[7]存在常矩陣 S∈Rm×m，使得是正定矩陣，即

假設3[7]系統(tǒng)（1）中全部執(zhí)行器失效的最大時間間隔為Ts。

最后，給出本文的研究問題：考慮系統(tǒng)的全部執(zhí)行器在同一時間里同時失效，并且在相對短的時間里又一起恢復正常運作，則此時針對給定的控制器，設計相應的自適應律，使得系統(tǒng)（1）的狀態(tài)x（t）能夠跟蹤參考模型（2）的狀態(tài)xm（t）。

2 執(zhí)行器失效情況下的自適應控制器的設計

當σ=1時，正常子系統(tǒng)即切換系統(tǒng)（3）的正常子系統(tǒng)被激活，開始工作，此時，給定如下控制器[8]

由式（1）、（2）、（6）一起構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)為

3 自適應律的設計方案

由式（2）、（6）、（7），得執(zhí)行器被激活（σ=1時）的誤差為

對式（8），設計自適應律為

其中，S滿足假設2，P1是滿足不等式的正定矩陣。

考慮執(zhí)行器全部失效的情況（σ=2時），由式（1）可得失效誤差系統(tǒng)為

此時，設計自適應律為

定理1當自適應律（9）適用于切換系統(tǒng)（3）的正常子系統(tǒng)（σ=1時）和模型參考系統(tǒng)（2），在給定的執(zhí)行器（6）的反饋控制下，其狀態(tài)跟蹤誤差e（t）的軌跡是指數(shù)下降的，即

其中，β1≥1，λ1＞0，且有。

證明選取如下的Lyapunov函數(shù)[9]

對式V1（t）沿著時間t取導數(shù)，得

依據(jù)矩陣的跡的性質(zhì)

可得

令上式后兩項為零，得

而

又由假設2，得

故，設計自適應律為

其中，S滿足假設2，P1是滿足不等式的正定矩陣。

故可得

由于（rt）是持續(xù)激勵信號，且（Am，Bm）是可控的，根據(jù)文獻[10]可知和φm（t）?[xT（t），r（t）]是持續(xù)激勵信號，并通過式（13）不難看出，正常誤差系統(tǒng)（8）的狀態(tài)跟蹤誤差e（t）的軌跡是指數(shù)下降的，即

其中，β1≥1，λ1＞0，證畢。

考慮執(zhí)行器全部失效的情況（σ=2時），控制器參數(shù)Kx（t）和Kr（t）不影響狀態(tài)跟蹤誤差e（t），在這種情況下，通過自適應律（11）使得Kx（t）和Kr（t）的值保持不變；當執(zhí)行器恢復正常工作時，使自適應律（9）對控制器參數(shù)Kx（t）和Kr（t）進行更新。

4 誤差系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性分析

根據(jù)式（8）、（9），得到式（10）、（11）帶執(zhí)行器失效的誤差切換系統(tǒng)為

設計切換自適應律為

其中，F(xiàn)11=In×n，F(xiàn)12=0n×m，F(xiàn)21=Im×m，F(xiàn)22=0m×m。當 σ=1 時，激活了第 1 個子系統(tǒng)，系統(tǒng)（1）的執(zhí)行器全部正常工作，當σ=2時，激活了第2個子系統(tǒng)，系統(tǒng)（1）的執(zhí)行器均暫時失效。

定義3考慮系統(tǒng)（15），對給定常數(shù)r*＞0，若存在切換信號σ（t）和常數(shù)T*=T*（e（t0），r*）≥0，使得對t≥t0+T*，有 e（t：t0，e（t0））∈S（r*）?｛e│‖e‖≤r*｝成立，此時，稱系統(tǒng)（15）（相應于 r*）是全局實用穩(wěn)定的。

引理1[7]考慮失效誤差系統(tǒng)（10），對?r0＞0，令 S（r0）=｛e│‖e‖≤r0｝，如果 e（t0）∈Rn/S（r0），那么?λ2＞0 和 β2≥1，使得如下不等式成立

定理2考慮誤差切換系統(tǒng)（15），假設參考輸入（rt）是持續(xù)激勵信號，并且（Am，Bm）是可控的。對于任意偶數(shù) k 及 t＜tk，如果切換信號 σ（t）滿足：

（a）對 λ*∈（0，λ1），有下面不等式

（b）對 λ∈（0，λ*），有下面不等式

那么，對任意r0＞0，存在r*，使得誤差系統(tǒng)（15）是全局實用穩(wěn)定的。

證明對任意的r0＞0，令，其中，Λ 滿足 Λ≥‖（A-Am）xm（t）-Bmr（t）‖。對于任意的狀態(tài)跟蹤誤差初始值e（t0）∈Rn，證明若切換信號σ（t）滿足條件（a）：（c）時，存在T*=T*（e（t0），r*）≥0，使得當t≥t0+T*時，有

（1）先證明狀態(tài)跟蹤誤差e（t）軌跡的吸引性。

考慮 e（tk）∈Rn/S（r0）的情形。對任意偶數(shù) k，當 t＞tk時，存在 j∈｛k，k+2，k+4，…｝，使得 t∈[tj，tj+1）或者 t∈[tj+1，tj+2）成立。

當 t∈[tj，tj+1）時，由式（14）和式（17）得

當 t∈[tj+1，tj+2）時，基于同樣的方法，由式（14）和式（17）得

根據(jù)定義2，當t∈[tj，tj+1）時，有成立，當t∈[tj+1，tj+2）時，有成立。所以，當 t∈[tj，tj+2）時，由式（21）和式（22）得

由式（18）得

根據(jù)式（19）和定義1，有下面不等式成立

由式（23）～（25），可得

由式（26）可知，當 e（tk）∈Rn/S（r0）時，若切換信號 σ（t）滿足定理 2 的條件（a）～（b），那么一定存在 Tk=Tk（e（tk），r0）≥0，使得‖e（tk+Tk）‖=r0成立。顯然，｛Tk｝是一個有界序列，所以有T0=T0（e（t0），r0）≥Tk成立。得證對任意偶數(shù)k，如果當t=tk時，狀態(tài)跟蹤誤差e（t）的軌跡停留在球域S（r0）外，則在當t＞tk時，該軌跡最終必定會回到此球域的邊界。

（2）再證明狀態(tài)跟蹤誤差e（t）軌跡的有界性。

當 e（tk）∈S（r0）時，由式（14）得

由于式（20）保證了‖e（tk+1）‖≤‖e（tk）‖，因此 e（tk+1）∈S（r0）成立。當 t∈[tk+1，tk+2）時，第 2 個子系統(tǒng)被激活后，則誤差切換系統(tǒng)（15）的狀態(tài)跟蹤誤差e（t）的軌跡滿足

考慮到A，xm（t）和r（t）是有界的，且‖eA‖≤e‖A‖，因此得出下面的不等式

同時，由于 Ts=max｛tk+2-tk+1｝，有

因為式（20）保證了‖e（tk+1）‖≤r0，得到

根據(jù) r*＞r0，當 e（tk）∈S（r0）時，有 e（tk+2）∈S（r*）成立。故 e（t）的有界性得證。

（3）當 e（t0）∈Rn/S（r*）時，根據(jù)上述（1）和（2）的證明過程，如果切換信號 σ（t）滿足定理條件，必然?T*＞0，且T*=T*（e（t0），r*）＜T0，使得當t≥t0+T*時，有e（t：t0，e（tk））∈S（r*）成立。顯然，當e（t0）∈S（r*）時，上述結(jié)果仍然成立，此時T*=0，保證了其全局實用穩(wěn)定。

證畢。

5 仿真實例

設控制對象狀態(tài)方程為

該模型的狀態(tài)為x=（x1（t），x2（t））T，控制器的輸入為u=（u1（t），u2（t））T，其中

設參考模型狀態(tài)方程為

其中

參考模型輸入信號為 r（t）=sin（0.1πt）+sin（0.2πt）+sin（πt）。根據(jù)式 （9），選擇 P1=P2=自適應率增益矩陣為通過計算，令r0=0.5，r*=10。圖1給出了滿足定理條件的切換信號σ（t）。

圖1 切換信號

設定狀態(tài)跟蹤誤差的初始值分別為 e（t0）=（1，1）T及 e（t0）=（12，12）T，即‖e（t0）‖=1.414＜r*和‖e（t0）‖=16.97＞r*。圖2和圖3分別描述了上述兩種初始值的誤差切換系統(tǒng)（15）的狀態(tài)跟蹤誤差軌跡。從圖2 和圖3 可以得出，無論是否滿足 e（t0）∈Rn/S（r*），在切換信號 σ（t）的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)（7）的狀態(tài)能夠跟蹤參考模型（2）的狀態(tài)，并且狀態(tài)跟蹤誤差‖e（t）‖的軌跡最終會停留在以r*為半徑的球域內(nèi)，即 e（t：t0，e（t0））∈S（r*）。

圖2 狀態(tài)跟蹤誤差（e（t0）=（1，1）T）

圖3 狀態(tài)跟蹤誤差（e（t0）=（12，12）T）

6 結(jié)語

本文在給定的自適應控制器的條件下，設計其自適應律，解決了一類帶有執(zhí)行器失效的切換系統(tǒng)的模型參考自適應狀態(tài)跟蹤控制的問題。該方法更進一步處理了全部執(zhí)行器在一個相對較短時間內(nèi)失效的嚴重情況。通過用一類具有兩個子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)來實現(xiàn)帶有執(zhí)行器失效非切換系統(tǒng)的目標控制，并且設計適當?shù)淖赃m應律，讓系統(tǒng)可在選定的自適應控制器的作用下實現(xiàn)目標的跟蹤控制[11]。