由一道“賽題”談投影法求四邊形面積的應用*

江西省萍鄉(xiāng)中學(337000) 黃賢鋒 王 嬌

一、賽題呈現(xiàn)

圖1

賽題如圖1,在平面直角坐標系中,橢圓方程為1,A,B分別為上頂點和右頂點,過原點O的直線與線段AB交于點D,與橢圓交于E,F兩點,求四邊形AEBF面積的最大值.

這是文[1]作者在一次“說題比賽”中的“賽題”,作者展示了該題的五種解法,視角多樣,解法巧妙,筆者讀后感覺受益匪淺,不忍釋卷,于是把它作為我校的月考試題.閱卷發(fā)現(xiàn)該題的得分率很低.絕大部分同學是按照文[1]中的解法1的思路進行求解,但大多又半途而廢.為了敘述的方便,現(xiàn)將解法1摘錄于下：

解設點E,F到直線AB的距離分別為h1,h2,則SAEBF=S△AEB+S△AFB=即求h1+h2的最大值.EF的方程是y=kx,代入橢圓方程得所以

點E在直線AB的上方,點F在直線AB的下方,所以由線性規(guī)劃知識：

學生在解題過程中出現(xiàn)的問題主要有以下兩個方面：(1)不會借助線性規(guī)劃知識化簡①式,使得解題半途而廢.(2)對于②式,能力要求較高,涉及到系數(shù)的配湊,基本不等式的靈活運用,使得最終無法求出最值.

二、賽題另解

經過認真的思考,筆者發(fā)現(xiàn)可以將h1+h2視為一個整體,通過計算在AB的方向向量上的正投影得到h1+h2的表達式,最終解決本題,解法如下：

解由已知易得記AB的法向量設則,所以

當且僅當θ=時取等號,又則SAEBF=

評注利用向量的正投影解決四邊形的面積問題不需要單獨處理h1,h2,再進行整合,大大的縮減了運算過程,使得解題變得更加快捷、準確.

三、方法總結

在利用向量正投影解決賽題中的四邊形面積最值問題后,筆者發(fā)現(xiàn),該方法可以求任意四邊形ABCD的面積,現(xiàn)將其一般步驟總結如下(如圖2)：

圖2

(1)以四邊形ABCD的一條對角線(不妨設為AC)為底,計算其長度;

(2)求直線AC的法向量n,一般,若AC的一般方程為：ax+by+c=0(a,b,c∈R),則n=(a,b);

(4)計算四邊形ABCD的面積S,即.

利用向量正投影求四邊形的面積時,不需要進行分割求和,尤其在求不規(guī)則四邊形面積時,更能凸顯其優(yōu)勢.下面舉例說明.

四、應用舉例

例 1(2019年高考全國 ⅠⅠⅠ卷第 21題)已知曲線為直線上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.

(1)證明：直線AB過定點;

解(1)設求導得y′=x,所以切線AD的斜率為x1,則整理得

同理可得

由①②可知AB的方程為2mx-2y+1=0,故直線AB過定點

(2)將直線AB的方程代入拋物線

整理得：x2-2mx-1=0.則x1+x2=2m,x1x2=-1.所以

取直線AB的一個法向量n=(m,-1),又則在n上的正投影故四邊形ADBE的面積設AB的中點為P,則取AB的一個方向向量n=(1,m),則,整理得m(m2-1)=0,解得m=0或m=±1.當m=0時,S=3;當m=±1時,

圖3

例2(2014年高考湖南卷理科第21題)如圖3,O為坐標原點,橢圓C1:的左、右焦點分別為F1、F2,離心率為e1;雙曲線的左、右焦點分別為F3、F4,離心率為e2.已知e1e2=,|F2F4|=.

(1)求C1,C2的方程;

(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點.當直線OM與C2交于P,Q兩點時,求四邊形APBQ面積的最小值.

解(1)橢圓C1方程為雙曲線C2的方程為(過程略).

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(-x3,-y3),M(xM,yM),由(1)可得F2(-1,0),因為直線AB不垂直于y軸,所以設直線AB:x=my-1,則y1)=(m(y2-y1),y2-y1),由消x,可得(m2+2)y2-2my-1=0,其中Δ=8m2+1)＞0,

則

yM=因為點M在直線AB上,所以xM=所以.則直線PQ的方程為y=由消去y,整理得=,其中0＜2-m2≤2.又(2x3,-mx3),取直線AB的法向量v=(1,-m),則點P,Q到AB的距離之和d==.所以四邊形APBQ的面積

因為0＜2-m2≤2,故當m=0時,Smin=2.綜上,四邊形APBQ的面積的最小值為2.