全國名校橢圓測試卷

■河南科技大學(xué)附屬高級中學(xué) 陳廣輝

一、選擇題

1.已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓+y2=1上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn),且橢圓的另外一個焦點(diǎn)在BC邊上,則△ABC的周長是( )。

2.已知橢圓x2sinα-y2cosα=1 (0≤α＜2π)的焦點(diǎn)在y軸上,則α的取值范圍是( )。

A.1 B.3 C.4 D.9

A.4 B.5 C.7 D.8

5.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn),過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若△ABF2是等邊三角形,則這個橢圓的離心率是( )。

A.3 B.5

C.10 D.以上答案都不對

7.(2019年佛山一模)若橢圓mx2+ny2=1的離心率為,則=( )。

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1、F2在x軸上,過F1的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長為16,△AF1F2的最大面積為8,那么橢圓C的方程為( )。

9.在直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓C：=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn),A、B分別左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),連接PB交y軸于點(diǎn)E,連接AE交PQ于點(diǎn)M,若M是線段PF的中點(diǎn),則橢圓C的離心率為( )。

14.設(shè)F1,F2為橢圓的兩個焦點(diǎn),以F2為圓心作圓,已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心,且與橢圓相交于點(diǎn)M,若直線MF1恰與圓F2相切,則該橢圓的離心率為( )。

16.(2018 年昆明質(zhì)檢)已知F是橢圓=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,則橢圓E的離心率為( )。

17.(2018年全國Ⅱ卷)已知F1、F2是橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn),A是橢圓C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則橢圓C的離心率為( )。

22.(2019年青海西寧復(fù)習(xí)檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是橢圓=1上的一個動點(diǎn),點(diǎn)A(1,1),B(0,-1),則|PA|+|PB|的最大值為( )。

A.5 B.4 C.3 D.2

23.已知F1、F2分別為橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn),過原點(diǎn)O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C的一個交點(diǎn)為A,若AF1⊥AF2,=2,則橢圓C的方程為( )。

24.過原點(diǎn)的直線l與橢圓=1相交,若直線被橢圓截得的線段長不大于,則直線l傾斜角α的取值范圍是( )。

A.[-2,3] B.[-3,-2]

C.[-3,2] D.[2,3]

26.已知直線y=x-1 與橢圓交于AB兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓過左焦點(diǎn)F,則實(shí)數(shù)m的值是( )。

二、填空題

29.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率為,且橢圓G上一點(diǎn)到G的兩個焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的方程為_____。

32.橢圓C與橢圓的焦點(diǎn)相同,且與直線x-y+9=0有公共點(diǎn),則橢圓C的短軸的取值范圍是____。

33.(2019年浙江名校聯(lián)盟)如果一個平面與一個圓柱的軸成α(0＜α＜90°)角,且該平面與圓柱的側(cè)面相交,則它們的交線是一個橢圓。當(dāng)α=30°時,橢圓的離心率是_____。

36.已知F1、F2是橢圓=1(a＞)的左、右焦點(diǎn),在橢圓C上存在點(diǎn)P,使得△PF1F2的面積為4,△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為,則橢圓C的離心率為____。

38.(2019年全國Ⅲ卷)設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點(diǎn),M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限。若△MF1F2為等腰三角形,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為____。

39.(2017年河北唐山統(tǒng)考)平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓,直線AB的斜率k1=1,則直線AD的斜率k2=____。

40.(2019 年上海虹口一模)一個底面半徑為2 的圓柱被與底面所成角是60°的平面所截,如圖1,截面是一個橢圓,則該橢圓的焦距等于_____。

圖1

43.已知點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓=1(a＞b＞0)上一點(diǎn),若PF1⊥PF2,tan∠PF1F2=,則此橢圓的離心率是____。

44.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+y2=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則|OP|2+|PF|2的取值范圍是_____。

46.圓x2+y2=r2(r＜3)的切線與橢圓=1 相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若AO⊥BO,則r=____。

三、解答題

49.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)。

(1)求橢圓C的方程。

(2)是否存在平行于OA的直線l,使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于4? 若存在,求出直線l的方程；若不存在,說明理由。

50.設(shè)F1、F2分別是橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn),M是橢圓C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與橢圓C的另一個交點(diǎn)為N。

(1)若直線MN的斜率為,求橢圓C的離心率；

(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b的值。

51.已知方向向量為v=(1)的直線l過點(diǎn)(0,-和橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn),且橢圓的離心率為。

(1)求橢圓C的方程。

(2)若已知點(diǎn)D(3,0),點(diǎn)M、N是橢圓C上不重合的兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。

52.(2018 年福建第二次質(zhì)檢)橢圓E：=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為,P為橢圓E的上頂點(diǎn),△F1PF2的內(nèi)切圓面積為。

(1)求橢圓E的方程；

(2)過F1的直線l1交E于點(diǎn)A、C,過F2的直線l2交橢圓E于點(diǎn)B、D,且l1⊥l2,求四邊形ABCD面積的取值范圍。

(1)求橢圓C的方程。

(2)過點(diǎn)M(0,1)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),試問y軸上是否存在點(diǎn)N,使得直線NA與直線NB關(guān)于y軸對稱。若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在,說明理由。

(1)求橢圓的方程。

圖2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)過點(diǎn)P且斜率大于的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)(|PM|＞|PN|),若S△PAM：S△PBN=λ,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。

(1)求橢圓C的方程。

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)M(0,2)的動直線與橢圓C交于P、Q兩 點(diǎn),求的取值范圍。

57.已知長為3的線段AB的兩端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上移動,且

(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程。

(2)過Q(0,1)作兩條互相垂直的直線分別與軌跡E交于A,B和C,D,設(shè)AB中點(diǎn)為M,CD中點(diǎn)為N,試問：直線MN是否過定點(diǎn)? 若過,求出該定點(diǎn)；若不過,說明理由。

圖3

(1)求橢圓E的方程。

(2)設(shè)C、D是橢圓E上不兩同點(diǎn),CD∥AB,直線CD與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn),且,求λ+μ的取值范圍。