軟正合序列的若干性質

吳 越,馬 晶

(吉林大學 數(shù)學學院,長春 130012)

目前，關于軟集的研究已有很多結果[1-5],關于軟模的研究也取得了豐富的成果[6-18].例如：Sun等[6]定義了軟模并且討論了軟模的基本性質;Atagün等[7]給出了環(huán)和模的軟結構;Xiang[8]討論了軟模的性質;Ozturk等[9]討論了軟模的正向系統(tǒng)和反向系統(tǒng);Türkmen等[10]引入了軟子模的和與直和、小軟子模、軟模的根,并討論了軟模的根與軟模的小軟子模及極大軟子模之間的聯(lián)系；Shah等[11]給出了軟環(huán)和軟模的準素分解；Celep等[12]定義了軟模的本質軟子模和軟子模的補,并討論了其基本性質；文獻[13]定義了軟子模的socle,給出了與文獻[12]不同的本質軟子模的又一個定義,討論了本質軟子模和軟模socle的基本性質,并分別給出了本質軟子模、軟模的 socle和根的若干等價定義.本文利用模論知識[19-20]和軟模的基本性質,討論軟同態(tài)的分解性質以及軟正合序列的若干性質,證明軟同態(tài)都可以分解為一個滿的軟同態(tài)和一個單的軟同態(tài)的復合,并利用兩個軟正合序列構造一個新的軟正合序列.

1 預備知識

定義1[1]設U是一個集合,E是一個參數(shù)集,P(U)為U的冪集,并且A?E.一個有序對(F,A)稱為U上的軟集,其中F:A→P(U)是一個取值為集合的映射.

其中H(x)=F(x)∩G(x),x∈A∩B.

本文若無特別說明,總設R是一個有單位元的結合環(huán),所有模都是R-模.設M和N都是R-模,如果N是M的子模,則記為N≤M.

定義4[6]設M是一個R-模,(F,A)是M上的軟集.如果對任意的a∈A總有F(a)≤M,則稱(F,A)是M上的一個軟模.

定義6[7]如果對任意的a∈A總有F(a)={0},則M上的軟模(F,A)稱為平凡的,記為(F,A) =0.

定義7[10]設(F,A)是M上的軟模,{(Fi,Ai)}i∈I是(F,A)的一族軟子模,其中I是一個非空集合.(F,A)的軟子模{(Fi,Ai)}i∈I之和定義為

其中

定義8[6]設M,N為R-模,(F,A)和(G,B)分別是M和N上的軟模.如果f:M→N是一個模同態(tài),并且映射g:A→B使得對任意的a∈A都有f(F(a))=G(g(a)), 則稱有序對(f,g)為軟同態(tài),記為(f,g): (F,A)→(G,B).

定義10設(F,A)和(G,B)分別是模M和模N上的軟模,(f,g): (F,A)→(G,B)是軟同態(tài).對a∈A,令K(a)=Kerf∩F(a),則(K,A)為M上的軟模,稱為軟同態(tài)(f,g)的核,記為Ker(f,g).

定義11設M和N是左R-模,(F,A)和(G,B)分別是模M和模N上的軟模.(f,g): (F,A)→(G,B)是軟同態(tài), 如果g:A→B是滿的,則稱(f,g): (F,A)→(G,B)為滿的軟同態(tài).

2 主要結果

定義12設M和N是左R-模,(F,A)和(G,B)分別是模M和模N上的軟模,(f,g): (F,A)→(G,B)是軟同態(tài).如果g:A→B是單的,則稱(f,g): (F,A)→(G,B)為單的軟同態(tài).

定理1軟同態(tài)都可以分解為一個滿的軟同態(tài)和一個單的軟同態(tài)的復合.

證明: 設M和N是R-模,(F,A)和(G,B)分別是模M和模N上的軟模,(f,g): (F,A)→(G,B)是軟同態(tài).令g′:A→g(A)使得g′(a)=g(a),a∈A.則映射g′是滿的,所以(f,g′): (F,A)→(Gg(A),g(A))是滿的軟同態(tài).令g″是g(A)到B的嵌入,顯然g″是單射.取f″=1N,則軟同態(tài)(f″,g″): (G,g(A))→(G,B)是單的軟同態(tài),并且(f,g)=(f″,g″)(f,g′),即軟同態(tài)都可以分解為一個滿的軟同態(tài)和一個單的軟同態(tài)的復合.證畢.

定義13設

在每個(Fn,An)處都是軟正合的,即對每對連續(xù)的軟同態(tài)(fn,gn)和(fn+1,gn+1)總有Im(fn,gn)=Ker(fn+1,gn+1),則稱其為一個軟正合序列.

定理2設M和N是左R-模,(F,A)與(G,B)分別是模M和模N上的軟模,(f,g),(f′,g′),(f″,g″)是軟同態(tài),則：

3) 由結論1)和2)立即可得.證畢.

定理3設M,N,M′是左R-模,(F,A),(G,B),(H,C)分別是模M,N,M′上的軟模.如果序列

(1)

在(G,B)處是軟正合的,則A=B,并且(f2,g2)(f1,g1)=0.

證明：因為Im(f1,g1)=(f1F,A),Ker(f2,g2)=(K,B),其中K(b)=Kerf2∩F(b),b∈B，則由軟正合的定義可知軟模序列(1)在(G,B)處是軟正合的當且僅當A=B，并且Im(f1,g1)=Ker(f2,g2),即A=B并且f1F(a)=Kerf2∩F(a),a∈A.此時,對a∈A總有f1F(a)?Kerf2,于是f2f1F(a)=0,故軟同態(tài)(f2,g2)和(f1,g1)的復合(f2,g2)(f1,g1)是零映射.證畢.

定理4設(Fi,Ai)(i=1,2,3,4,5)分別是模Mi上的軟模,如果序列

(2)

和序列

(3)

都是軟正合列,則序列

(4)

也是軟正合列.

證明：因為序列(2)和(3)都是軟正合的,所以序列(4)在(F1,A1)和(F5,A5)處是軟正合的.下面只需證明序列(4)在(F2,A2)和(F4,A4)處是正合的.

首先,驗證序列(4)在(F2,A2)處是正合的.由于軟模序列(2)和(3)都是軟正合的,由定理2可知Ai(i=1,2,3,4,5)均相等,記為A,

f2F2=F3,

(5)

并且對a∈A總有

Kerf3∩F3(a)=0.

(6)

由序列(2)正合可知

Im(f1,g1)=Ker(f2,g2)=(K,A),

其中K(a)=Kerf2∩F2(a),a∈A.記Ker(f3f2,g3g2)=(H,A),其中H(a)=Ker(f3f2)∩F2(a),a∈A.由軟模序列軟正合的定義,序列(4)在(F2,A2)處是正合的當且僅當Im(f1,g1)=Ker(f3f2,g3g2),即對a∈A總有

Kerf2∩F2(a)=Ker(f3f2)∩F2(a).

一方面,易見Kerf2?Ker(f3f2),所以

Kerf2∩F2(a)?Ker(f3f2)∩F2(a),a∈A.

(7)

另一方面,由式(6)可知,若有x∈F3(a)使得f3(x)=0,則必有x=0.又因為對任意的a∈A及m∈F2(a),由式(5)可知f2(m)∈f2F2(a)=F3(a).如果f3f2(m)=f3(f2(m))=0,必有f2(m)=0,從而Ker(f3f2)?Kerf2,進而Ker(f3f2)∩F2(a)?Kerf2∩F2(a).結合式(7)可得Ker(f3f2)∩F2(a)= Kerf2∩F2(a),于是Im(f1,g1)=Ker(f3f2,g3g2).因此,序列(4)在(F2,A2)處是正合的.

其次,驗證序列(4)在(F4,A4)處是正合的.因為序列(3)在(F4,A4)處軟正合,所以Im(f3,g3)=Ker(f4,g4).又因為由式(5)可知

Im(f2,g2)=(f2,g2)(F2,A2)=(f2F2,A2)=(F3,A3),

從而

Im(f3,g3)=(f3,g3)(F3,A3)=(f3,g3)(f2F2,A2)=(f3f2F2,A2)=Im(f3f2,g3g2).

于是

Im(f3f2,g3g2)=Im(f3,g3)=Ker(f4,g4),

所以序列(4)在(F4,A4)處軟正合.

綜上可知，序列(4)在每個(Fi,Ai)(i=1,2,3,4,5)處都是軟正合的,所以是一個軟正合列.證畢.