《斐波那契數(shù)列與黃金分割》教學(xué)設(shè)計(jì)反思

周培紅

（福建省泉州第一中學(xué)，福建泉州 362200）

引 言

本節(jié)課是選修4-7 的內(nèi)容。主要是引導(dǎo)學(xué)生探究斐波那契數(shù)列的部分性質(zhì)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的奧妙，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。因?yàn)榻滩膬?nèi)容較少，筆者在課前精心準(zhǔn)備，并收集相關(guān)材料。如何讓這節(jié)課上得更加生動(dòng)有趣，關(guān)鍵在于引入環(huán)節(jié)。首先，筆者用猜數(shù)字的游戲調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲；其次，用斐波那契數(shù)列最經(jīng)典的例子——兔子問題；最后，結(jié)合PPT 中生動(dòng)的圖案引入。課堂中，筆者選取的例子極具代表性，與生活緊密結(jié)合。

一、教材內(nèi)容解析

教學(xué)內(nèi)容：這是人教A 版選修4-7 中的一篇拓展學(xué)習(xí)材料，以兔子繁殖問題創(chuàng)設(shè)情境，分析其中的數(shù)量關(guān)系，得出它的數(shù)學(xué)模型——斐波那契數(shù)列，并由具體到抽象，研究了這一數(shù)列中的遞推公式，最后引出這個(gè)數(shù)列可以產(chǎn)生黃金分割的近似分?jǐn)?shù)列[1]。本節(jié)教材安排的目的是拓展學(xué)生知識(shí)面，幫助學(xué)生了解斐波那契數(shù)列。

教學(xué)重點(diǎn)：斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)。

教學(xué)難點(diǎn)：斐波那契數(shù)列的性質(zhì)及其研究。

二、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在高中數(shù)學(xué)必修五中學(xué)習(xí)了等差數(shù)列與等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，對(duì)數(shù)列有一定的認(rèn)識(shí)，已經(jīng)掌握了數(shù)列的幾種常用分析方法，如遞推方法、迭加法、迭乘法、倒序相加法、錯(cuò)位相減、分組求和與裂項(xiàng)相消法等。

要達(dá)成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，要求學(xué)生敏銳地發(fā)現(xiàn)一串?dāng)?shù)字中隱含的關(guān)系，而且是深層次關(guān)系。同時(shí)，本節(jié)課對(duì)學(xué)生使用信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的能力有適當(dāng)要求，特別是運(yùn)用“互聯(lián)網(wǎng)+平板電腦”的操作，可能會(huì)受到網(wǎng)絡(luò)傳輸不流暢、反應(yīng)較慢、操作不熟練等因素的影響。

學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)扎實(shí)、思維較活躍，能夠熟練運(yùn)用平板電腦信息技術(shù)輔助學(xué)習(xí)，具有豐富的探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但在抽象概括能力和提煉總結(jié)意識(shí)上還有待進(jìn)一步提升。

三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（1）通過具體案例，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，探尋生活中隱含的數(shù)學(xué)美，從而對(duì)數(shù)學(xué)美有更新的認(rèn)識(shí)。

（2）通過為學(xué)生布置課后研究性學(xué)習(xí)課題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，特殊與一般、必然與偶然的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的核心素養(yǎng)。

四、教學(xué)策略分析

（1）從三個(gè)小游戲開始，設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的文化素養(yǎng)，通過數(shù)學(xué)文化立德樹人。（2）游戲之后提出兔子問題，介紹兔子問題的由來(lái)，正式提出斐波那契數(shù)列，開展問題探究，層層遞進(jìn)。（3）學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)，可在課前進(jìn)行充分的材料收集。將學(xué)生分為三個(gè)小組，由淺到深，逐步展示他們收集的生活中的斐波那契數(shù)列。三個(gè)小組的PPT 選材很有代表性。（4）突破難點(diǎn)的策略是：在教學(xué)時(shí)，先從介紹斐波那契數(shù)列開始，逐步找尋數(shù)列中的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)列是一種極具數(shù)學(xué)美的數(shù)列。

斐波那契數(shù)列有很多讓人驚訝的性質(zhì)結(jié)論，由于時(shí)間所限，只能介紹部分性質(zhì)。

五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

（一）游戲?qū)?/h3>

師：這節(jié)課開始前，我們先來(lái)做個(gè)游戲。(學(xué)生利用平板電腦，當(dāng)場(chǎng)答題)

（1）觀察下列兩行數(shù)，并填空。

①1，1，2，3，5，8，13，（ ），（ ）

②2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）

（2）請(qǐng)?jiān)诩埳先我鈱懗?2 個(gè)正整數(shù)，從第三個(gè)數(shù)開始每個(gè)數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)的和。

師：剛剛我們尋找規(guī)律，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們按規(guī)律來(lái)寫數(shù)字。你們的手中已有一張紙，上面已經(jīng)畫好十二個(gè)格，拿起你的彩筆按要求寫數(shù)字。（學(xué)生開始寫，教師巡視）

師：同學(xué)們只要告訴老師你的第十一個(gè)數(shù)字是什么，老師就可以猜出你的第十二個(gè)數(shù)。

（邀請(qǐng)兩位學(xué)生上臺(tái)展示，注意只展示給同學(xué)，老師當(dāng)場(chǎng)驗(yàn)證）

（設(shè)計(jì)意圖：以游戲?qū)肟梢允箤W(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，以激發(fā)學(xué)生的探究欲望，為下面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。）

（二）新課

1.兔子問題與斐波那契數(shù)列

師：剛才的游戲是不是很有趣呢？這是為什么呢？請(qǐng)回想剛才的幾個(gè)游戲中，填空時(shí)我們寫的12 個(gè)數(shù)字，這幾個(gè)數(shù)列有什么特點(diǎn)？（提問學(xué)生）

師：很好！從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和，這樣的數(shù)列跟斐波那契數(shù)列有關(guān)。什么是斐波那契數(shù)列呢？這就要從兔子問題談起了。

（1）介紹兔子問題與斐波那契。兔子問題是由幾個(gè)世紀(jì)前的一位叫作斐波那契的意大利數(shù)學(xué)家提出的，他在他寫的算盤書中提到這個(gè)問題。

兔子問題：假設(shè)一對(duì)初生的小兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對(duì)成熟的兔子每月會(huì)生一對(duì)兔子，那么，由一對(duì)初生兔子開始，12 個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？

（2）斐波那契數(shù)列。

②1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……

這就是斐波那契數(shù)列，其中的任何一個(gè)數(shù)都叫斐波那契數(shù)。

師：上課前同學(xué)們已經(jīng)提前收集了斐波那契數(shù)，下面我們就請(qǐng)三個(gè)小組分別派代表來(lái)分享他們的成果，展示PPT。

（設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生動(dòng)手展示斐波那契數(shù)列與生活方面的聯(lián)系，讓學(xué)生懂得互助合作，擴(kuò)展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。時(shí)間約5 分鐘。）

師：第一小組收集的是花，生活中的花，花瓣的數(shù)目是斐波那契數(shù)，而且圖片很漂亮。第二小組收集了斐波那契螺旋線，圖片很有趣，最后來(lái)了一張美國(guó)總統(tǒng)特朗普的照片。第三小組收集得更深入，他們找到了斐波那契數(shù)列中數(shù)與數(shù)之間更深層次的關(guān)系，符合他們組平時(shí)的風(fēng)格，很有深度。很感謝剛才三位同學(xué)的分享，說明他們很用心地準(zhǔn)備了。（教師可以適當(dāng)補(bǔ)充同學(xué)沒找到的有趣內(nèi)容，如樹杈的數(shù)目、蘋果手機(jī)的標(biāo)識(shí)等）

師：斐波那契數(shù)列被發(fā)現(xiàn)已經(jīng)有幾個(gè)世紀(jì)之久，為什么至今人們還在研究它，它究竟有多神奇呢？一起來(lái)看視頻。

(設(shè)計(jì)意圖：通過視頻，可以讓學(xué)生了解更多斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，拓展知識(shí)，視頻約5 分鐘。)

2.神奇的斐波那契數(shù)列

（2）其余部分性質(zhì)：第3，6，9 項(xiàng)的數(shù)字可以被2 整除；第4，8，12 項(xiàng)的數(shù)字可以被3 整除；第5，10 項(xiàng)的數(shù)字可以被5 整除……

師：通過視頻，老師列舉了幾個(gè)比較性質(zhì)出來(lái)。這確實(shí)是個(gè)美麗的數(shù)列，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)數(shù)列的不少性質(zhì)，也許它還有更多性質(zhì)在等待著在座的同學(xué)去發(fā)現(xiàn)，到時(shí)你們也會(huì)成為數(shù)學(xué)家。講了這么多性質(zhì)，下面就來(lái)看看與斐波那契數(shù)列有關(guān)的題目。

3.試題中的斐波那契數(shù)列

例1：有一列數(shù)1，2，3，5，8，13，21，34，……，從第三個(gè)數(shù)開始每個(gè)數(shù)是前兩項(xiàng)的和，那么前1000 個(gè)數(shù)中有多少個(gè)奇數(shù)？

4.相關(guān)問題

（1）跳格游戲。

（2）連分?jǐn)?shù)。

師：把連分?jǐn)?shù)一直寫下去，它的結(jié)果會(huì)是什么？

（3）斐波那契數(shù)列與黃金比。

師：我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)一直繞著0.618 擺動(dòng)，越來(lái)越趨近于0.618，即黃金分割常數(shù)

（設(shè)計(jì)意圖：通過逐層深入的問題，引導(dǎo)學(xué)生探索斐波那契數(shù)列的特性，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)斐波那契數(shù)列的了解，慢慢引出黃金分割比。）

5.黃金分割

師：為什么叫它黃金分割，黃金十分珍貴，黃金分割能夠體現(xiàn)和諧美。

（2）黃金分割的美：人體各部分的美、黃金矩形的寬長(zhǎng)比、美麗的葉子、美麗的正五角形中的比。

師：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派崇尚美，他們?cè)趯?duì)數(shù)學(xué)的研究中不斷發(fā)現(xiàn)美，他們認(rèn)為美表現(xiàn)在數(shù)量比例的對(duì)稱與和諧中。

師：這節(jié)課我們了解了部分斐波那契數(shù)列的性質(zhì)與它隱藏的美，下面我們來(lái)解密一開始的小游戲，如何知道前一個(gè)數(shù)推出后一個(gè)數(shù)。前一個(gè)數(shù)比后一個(gè)數(shù)，越來(lái)越趨近于黃金分割。

（三）小結(jié)

（1）學(xué)習(xí)斐波那契數(shù)列，并懂得利用部分性質(zhì)解題。

（2）學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)美。

（四）作業(yè)

（1）借助于網(wǎng)絡(luò)資源，探索斐波那契數(shù)列的其他特性。

（2）調(diào)查周圍的生物、藝術(shù)作品和建筑，能否找出其與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系。

結(jié) 語(yǔ)

整節(jié)課的設(shè)計(jì)流程始終以學(xué)生為主體，將智慧課堂的技術(shù)融入課堂教學(xué)，采取學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組交流討論、上臺(tái)交流展示等形式，師生配合默契，學(xué)習(xí)氛圍和諧融洽，實(shí)現(xiàn)了良好的教學(xué)預(yù)期。