數(shù)學核心素養(yǎng)三面觀：語言、思維、眼光

張望發(fā)

【摘要】中學數(shù)學核心素養(yǎng)，作者認為可以歸結(jié)為三個方面，即數(shù)學語言、思維、眼光，從而對數(shù)學核心素養(yǎng)的表述進行歸類與簡化。文章對于中學數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)進行了一些思考，以期對今后進一步抓好數(shù)學教學中的核心素養(yǎng)培養(yǎng)工作有一定的促進作用。

【關(guān)鍵詞】中學數(shù)學;核心素養(yǎng);語言;思維;眼光

數(shù)學的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，目前普遍認為包含六大素養(yǎng)，也有學者認為，還要加上實踐能力、創(chuàng)新意識，構(gòu)成八大素養(yǎng)。也有學者提出數(shù)學核心素養(yǎng)包含數(shù)學文化在內(nèi)共17種成分。結(jié)合中學數(shù)學教學實踐，通過認真思考，我認為中學數(shù)學核心素養(yǎng)主要包含三個方面，即數(shù)學的語言、思維和眼光。下面，本人結(jié)合多年在一線的教學實踐，通過數(shù)學語言、思維、眼光這三方面重新審視數(shù)學核心素養(yǎng)及其培養(yǎng)。

一、掌握數(shù)學語言，是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)

數(shù)學語言有其自身的符號系統(tǒng)，是其從現(xiàn)實中抽象出來的可以自成體系的表達模式。語言是數(shù)學知識的載體。如何培養(yǎng)學生的數(shù)學語言素養(yǎng)呢？

1.重視數(shù)學語言中三種語言的互相轉(zhuǎn)化

對于數(shù)學知識，我們除了采用日常語言表達，更主要的還是符號語言和圖形語言。這三者之間還可以相互轉(zhuǎn)化。三者互化中，其實是我們思維方式在不斷地轉(zhuǎn)換。

這在平面幾何中體現(xiàn)得尤其明顯。如最簡單的“對頂角相等”，這是日常語言。畫出相交兩條直線，得到兩對對頂角，這是圖形語言。在推理論證中寫成：“∵∠1和∠2是對頂角 ∴∠1=∠2（對頂角相等）”這就是符號語言。

2.加強符號語言的訓練

日常語言方便大眾化的交流，是人人都聽得懂的語言。數(shù)學中的符號語言也是通用語言，但卻需要懂數(shù)學的人之間方可自由地交流與溝通。因此，重視符號語言的訓練對學習好數(shù)學具有重要的意義。我國古代數(shù)學雖然在直觀解題中占有優(yōu)勢，但始終沒有獲得突破，很關(guān)鍵的一個因素是我們沒有和西方歐美國家一樣，有數(shù)學的符號優(yōu)勢。不要小看“字母代替數(shù)”，它產(chǎn)生的效應(yīng)不僅僅是代數(shù)學的誕生，更是一個新的思維世界的誕生。符號語言訓練在代數(shù)中最直接的就是字母代替數(shù)，在幾何學中就是步步有據(jù)的證明過程。

3.重視數(shù)形結(jié)合

圖形語言相對直觀，形象，有助于問題的迅速直觀解決。不少數(shù)學題利用數(shù)形結(jié)合可以更加迅速的解決。如求|x-1|+|x-2|的最小值。常規(guī)的想法，就是分類討論。但如果我們注意到絕對值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸，可以知道，|x-1|表示x到1的距離，|x-2|表示x到2的距離。這樣，我們就直觀地看出1≤x≤2時，有最小值1。

總的來說，三種語言各有優(yōu)勢，熟練掌握三種語言之間的互化、翻譯，有利于迅速解決一些數(shù)學題。

我們說，語言是交流與溝通的工具，數(shù)學語言也是如此。因此，它是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)。我們?nèi)祟悶榱藢ふ矣钪嬷械钠渌腔凵?，在人造衛(wèi)星或者宇宙飛船上張貼了勾股定理的圖案，希望用數(shù)學語言和外星人溝通。因此，我們教學中對數(shù)學語言要給予足夠的重視，要培養(yǎng)學生規(guī)范和嚴謹?shù)臄?shù)學語言。

二、重視數(shù)學思維，是形成數(shù)學核心素養(yǎng)的前提

數(shù)學的核心就在思維，三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化、互譯也是思維。思維是靠問題推動的，沒有問題就沒有思維。

1.明確數(shù)學知識其實就是思維結(jié)構(gòu)

數(shù)學思維最具有代表性的當然是邏輯思維。歐幾里得的平面幾何就是建立在嚴格的邏輯推理上的思維大廈。它通過有限的五個公理，再通過嚴密的邏輯推導就把整個幾何的大廈建立起來了。這成為后世人們學習邏輯思維的典范。兩千多年來，人們一直沿著歐幾里得建立的這一體系研究幾何學，其開創(chuàng)的公理體系散發(fā)著迷人的魅力。代數(shù)學也是沿著字母代替數(shù)，進而產(chǎn)生方程、函數(shù)等符號推演系統(tǒng)，形成自己的完整的思維結(jié)構(gòu)?？梢哉f，沒有思維結(jié)構(gòu)，就沒有數(shù)學。

2.重視步步有據(jù)的邏輯推理

對于平面幾何的推理書寫，我們要不遺余力地提倡寫好每一步的推導過程，而不提倡一開始就簡略書寫。如三角形內(nèi)角和為180°，很多老師認為學生會直接用這個結(jié)論就好，我卻堅持這樣書寫：∵△ABC ∴∠A+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和為180°）

這對養(yǎng)成良好的推理習慣是很有幫助的，一開始就強調(diào)步步有據(jù)，學生不容易產(chǎn)生學習的困惑。只有到后續(xù)學生熟練了這一推理形式，才能把∠A+∠B+∠C=180°直接作為前提條件。又如在學習直角三角形兩個內(nèi)角互余的推理書寫時，要寫成：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°（直角三角形兩個內(nèi)角互余）

讓學生明白，原因中還有一個隱含的原因∠A+∠B+∠C= 180°。這樣，在今后書寫推理過程時，學生就會明白，有些結(jié)論成為定理后隱含條件可以省略不寫，但不寫并不是可以不要。這樣逐步訓練能培養(yǎng)學生嚴密思考的能力，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。

3.問題懸而未決也有魅力

數(shù)學思維的目的在于解決問題，但也不一定要徹底解決。目前，數(shù)學界就還有不少猜想沒有徹底解決。最典型的就是陳景潤為之傾注一生心血的哥德巴赫猜想。這個猜想本身并不難，表述出來就是：大于6的偶數(shù)都可以寫成2個質(zhì)數(shù)的和。如24=19+5或者17+7或者13+11。這就是著名的“1+1”。陳景潤已經(jīng)證明了“1+2”，但“1+1”還是沒有徹底攻克。存在沒有解決的問題，就會有動力讓人去鉆研。今天，很多民間數(shù)學家還在鉆研“1+1”，雖然中科院說今后不再接受和論證這些民間數(shù)學家的論文，但也從另一個側(cè)面說明了其巨大的魅力。

還有一個著名的“費馬猜想”，認為xn+yn=zn在n=2時有整數(shù)解，就是勾股數(shù)，但n≥3時則沒有整數(shù)解。費馬在其筆記側(cè)頁寫道：“我已經(jīng)找到一種絕妙的證明方法，可惜這里空間太小了，寫不下。”因此，這個猜想也被稱為“費馬大定理”。這個定理一直未得到證明，但人們在試圖證明的過程中又有了新的發(fā)現(xiàn)，因此，這個“費馬大定理”也就被稱作是會下蛋的“母雞”。因此，我們認為思維過程比結(jié)果更重要，有思維就會有發(fā)現(xiàn)，就會有突破。我們教學中也應(yīng)該允許存在一些懸而未決的問題，這可以引發(fā)大家的探索興趣。

4.要重視非邏輯思維的引入和訓練

當然，邏輯思維并不是萬能的，它的作用在于驗證猜想的正確性。因此，現(xiàn)在講數(shù)學思維，我們應(yīng)該有更廣泛的外延，應(yīng)該包括靈感、猜想、嘗試等各種非邏輯思維。其實，邏輯思維是歐美等西方人擅長的思考方式，我們東方人更擅長的是非邏輯的跳躍性思維、整體思維、靈感思維。在東西方文化交流與融合過程中，我們實現(xiàn)了文化的互鑒與互補。很多數(shù)學題，如果單純用邏輯思維，解決起來就很煩瑣，而用我們東方人的非邏輯思維卻可以迅速得到解決。

另外，對教學內(nèi)容中一些抽象概念，也一樣可以通過形象化處理。如對于二次函數(shù)的學習，我把其圖像看著一條魚的魚頭：二次函數(shù)拋物線，網(wǎng)只大魚沉甸甸。對于二次函數(shù)開口，我又讓學生進行形象化記憶：a正雙手伸向天，a負海底去探險。雙曲線和數(shù)軸無限接近卻永不相交，我把它稱作“悲傷的雙曲線”。

所以，數(shù)學思維也不一定就是冷冰冰的邏輯思維，也一樣可以有形象化的處理模式，可以有我們東方人獨特的解決辦法。我們教師在課堂上作出示范，學生就容易模仿，進而學會各種有趣的思維模式與解決問題的手段，提升其數(shù)學核心素養(yǎng)。

三、涵養(yǎng)數(shù)學眼光，是鞏固數(shù)學核心素養(yǎng)的歸宿

數(shù)學的眼光，是指對數(shù)學結(jié)論的直覺能力。

三百多年前，高斯在小學學習時，就秒殺了當時老師布置的一道“難題”，從1依次加到100。他直覺感到一定有快速計算方法，然后迅速想到1+100，2+99，…，50+51。發(fā)現(xiàn)有50個101，結(jié)果為5050。這就是數(shù)感，也是高斯對數(shù)字獨到的眼光。

著名數(shù)學家陳省身，曾經(jīng)指出我們看待三角形的方式不對。我們認為觀察三角形就是觀察其內(nèi)部，得出內(nèi)角和為180°。陳教授是把三角形每條邊延長成為射線，觀察其三個外角。發(fā)現(xiàn)這三個外角其實是頂點不同，但都是繞一圈回到原處。因而，很容易想到外角和為360°。進而一樣知道，所有封閉圖形外角和都是360°。這是數(shù)學家獨到的觀察圖形的眼光。

如何培養(yǎng)數(shù)學的眼光呢？

首先，數(shù)學的眼光也是建立在扎實基礎(chǔ)上的。沒有一定的基礎(chǔ)積累，也是不會憑空產(chǎn)生整體的、全局的、靈感的思維。因此，我們不應(yīng)該好高騖遠，放棄平時的基礎(chǔ)訓練。其實，基礎(chǔ)性的訓練也能給學生留下深刻的印象。

其次，練習要強調(diào)少而精。我們也不能因為數(shù)學需要扎實的基礎(chǔ)，就埋頭進入題海中，一味地強調(diào)強化訓練，那樣更是費時費力，而且效果也是不太好。我們要樹立“題不在多，但求精彩”的理念，講求一題多變，一題多解。練好一題，帶動一片。如，幾何學習中，通過對圖形的平移或者旋轉(zhuǎn)，一道題就由靜態(tài)變成動態(tài)，形成各種情況下的變化，而我們解題則需要在“變”中抓住“不變”的東西。

再次，要重視有“母題”和基本題型的訓練。簡單的東西也需要反復訓練，深入學生的思維，最后，變成學生的思維模塊。如角平分線和平行線組合，就會得到等腰三角形。抓住基本的模塊，有助于學生迅速找到解題方向。

最后，要在復習中提升學生的能力。復習不是炒舊飯，是對學過知識的融會貫通，是在一個新的角度重新梳理知識。復習做得好，可以讓學過的知識“活”起來，可以讓學生感到學習的樂趣。我在復習中比較喜歡設(shè)計“步步高”的題組訓練，學生練習起來感覺每做一次都有新的收獲。

綜上所述，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一朝一夕就能夠完成的，需要我們數(shù)學教師做很多精細艱辛的工作。本文只是筆者按自己的理解對六大核心素養(yǎng)作出的新的理解與梳理，以期對自己今后教學會有一些幫助和促進。同時，希望起到拋磚引玉作用，讓數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)引發(fā)更多的討論與爭鳴，進而讓數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)更好地落地于每一個課堂。