核權(quán)平滑波動(dòng)率估計(jì)的幾乎處處收斂性 *

許學(xué)艷

（廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引言

假設(shè)Xt服從以下復(fù)合poisson跳躍-擴(kuò)散模型過程

Wt是標(biāo)準(zhǔn)brown運(yùn)動(dòng)，μt和σt分別稱為方程的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)，其中擴(kuò)散項(xiàng)亦為價(jià)格過程的瞬時(shí)波動(dòng)率。是一個(gè)強(qiáng)度為λ的poisson過程，表示[0，T]上發(fā)生跳躍的次數(shù)，τi表示第i次發(fā)生跳躍的時(shí)間，Cτi表示在τi處跳躍的大小。

在有限區(qū)間[0，T]上獲得n+1個(gè)Xt的離散等距觀察值Xt0，Xt1，…，Xtn-1，Xtn，其中0=t0

而Kristensen（2010）［1］給出了核權(quán)積分波動(dòng)率的估計(jì)

這里Kh(x)=K(x/h)/h，K(x)是核函數(shù)，h為窗寬。當(dāng)h→0時(shí)，有

Lu（2010）［2］利用鞍點(diǎn)逼近方法對(duì)Black-Scholes模型的積分波動(dòng)率的二階變差估計(jì)量的估計(jì)誤差進(jìn)行分析，得到了相對(duì)于中心極限定理更為精細(xì)的結(jié)果。而對(duì)跳躍-擴(kuò)散模型，為了估計(jì)核權(quán)平滑波動(dòng)率，利用二次冪變差方法定義一種核權(quán)平滑波動(dòng)率估計(jì)（Kernel-weighted-Smoothing-Volatility-Estimation）

Ying（2019）［3］證明了核權(quán)平滑波動(dòng)率估計(jì)的弱相合性和漸近正態(tài)性，并得到了弱相和性的收斂速度，且核權(quán)平滑波動(dòng)率估計(jì)的弱相合性的收斂速度快于核權(quán)瞬時(shí)波動(dòng)率估計(jì)的弱相合性的收斂速度。本文繼續(xù)在Ying（2019）［3］提出的條件下，對(duì)核權(quán)平滑波動(dòng)率估計(jì)的強(qiáng)相合性進(jìn)行研究，利用矩不等式的方法證明了此估計(jì)量的強(qiáng)相合性。

1 主要結(jié)果與證明

為了給出本文的結(jié)論，我們有如下基本假設(shè)條件：

假設(shè)A.1 {μt，σt}與{Wt，Jt}相互獨(dú)立，且{Wt}與{Jt}獨(dú)立。

假設(shè)A.2 μt和σt在[0，T]上有界且可積，{σt}有非零下界，且滿足 E|σs2-σt2|≤C|s-t|r，其中r>0。

假設(shè)A.3 核函數(shù)K(u)滿足∫K(u)du=1，∫|K(u)|du<∞，且 |K(u)-K(υ)|≤L|u-υ|，u，υ∈R，其中L>0是常數(shù)。

定理 假設(shè)（A.1）~（A.3）成立，若σt2在τ連續(xù)，則有

在證明定理之前，我們先引進(jìn)一些記號(hào)和引理。記

引 理1（矩 不 等 式）［4］假 設(shè){Xj：j≥1}是 獨(dú) 立 隨 機(jī) 變 量 序 列，且E(Xj)=0，E|Xj|r<∞(? j≥1)，其 中>0。則存在一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，使得

引理2［3］假設(shè)（A.1）~（A.3）成立，則對(duì)h→0有

引理3［3］假設(shè)（A.1）~（A.3）成立，則對(duì)h → 0有

定理的證明：顯然

由引理3知，為了證明（1）式，我們只需要證明

而

對(duì)A(x)，由中值定理，存在

對(duì)B(x)，我們有

利用核函數(shù)的條件

因?yàn)閧Ui，i≥1}是獨(dú)立同分布和U1~N(0，1)，我們有所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)r≥2，我們有

因?yàn)閚h2→∞，因此我們有h-1≤n12，所以當(dāng)n充分大時(shí)，可得

對(duì)給定的ε>0，r>2，由Markov不等式和矩不等式有

取r>4，知

從而完成了定理的證明。