二維保修裝備可用度優(yōu)化模型

程中華， 王 謙,2， 白永生， 趙汝東， 郭尚昆

(1. 陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)裝備指揮與管理系， 河北 石家莊 050003； 2. 陸軍第九綜合訓(xùn)練基地教研部，河北 張家口 075000)

當(dāng)前,在裝備保修服務(wù)中，一般通過實(shí)施預(yù)防性維修來提高裝備保修期內(nèi)的可用度和部隊(duì)的滿意度。因?yàn)橥ㄟ^預(yù)防性維修可降低裝備發(fā)生故障的概率，提高裝備性能，達(dá)到減少保修期內(nèi)裝備故障次數(shù)、縮短停機(jī)時(shí)間、提高可用度的目的。目前，諸多學(xué)者均對預(yù)防性維修進(jìn)行了研究報(bào)道[1-3]。相對而言，一維保修期內(nèi)的預(yù)防性維修研究成果較多，二維保修期內(nèi)的預(yù)防性維修研究成果相對較少，且多數(shù)研究是從裝備保修合同商的角度進(jìn)行分析，對保修費(fèi)用的相關(guān)研究較多，而對裝備使用方關(guān)注的可用度研究不足。二維保修是指同時(shí)采用使用時(shí)間和使用程度2個(gè)維度來決定保修終止期限的保修服務(wù)。二維保修裝備具有隨2個(gè)維度同時(shí)退化的特性。在裝備使用過程中，當(dāng)達(dá)到任一維度的閾值時(shí)，保修服務(wù)都將終止。如：某軍用車輛的保修期為3 a、5×104km，即當(dāng)使用時(shí)間達(dá)到3 a或行駛里程達(dá)到5×104km，保修服務(wù)均將結(jié)束。

二維保修裝備具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜、維修難度大等特點(diǎn)。保修期內(nèi)通常不輕易更換整個(gè)裝備，只進(jìn)行局部的維修或保養(yǎng)，可在一定程度上降低裝備故障率。為了滿足日常維修保養(yǎng)的需要，通常要求裝備所在部隊(duì)具備一定的維修保障能力，預(yù)防性維修工作通常由部隊(duì)自身來完成。但針對在保修期內(nèi)的二維保修裝備，部隊(duì)很難快速形成較高的維修能力,與裝備生產(chǎn)廠家相比，對裝備的維修效果還存在一定的差距。因此，在二維保修期內(nèi)，若只由部隊(duì)實(shí)施預(yù)防性維修，可能會(huì)存在裝備故障率恢復(fù)程度不高、故障頻發(fā)、停機(jī)時(shí)間長等問題。

按照預(yù)防性維修對裝備故障率λ的恢復(fù)程度，通常將預(yù)防性維修程度分為最小預(yù)防性維修、不完全預(yù)防性維修和完全預(yù)防性維修3種，并采用修復(fù)因子δ(0≤δ≤1)來表示不同維修程度對裝備故障率恢復(fù)程度的影響。在最小預(yù)防性維修情況下，維修后僅僅使裝備恢復(fù)到維修之前的水平(修復(fù)如舊)，則修復(fù)因子δ=1。在完全預(yù)防性維修情況下，維修后可使裝備恢復(fù)到如同新品一樣(修復(fù)如新)，則修復(fù)因子δ=0。在不完全預(yù)防性維修情況下，裝備恢復(fù)情況介于修復(fù)如新和修復(fù)如舊之間[4]，則修復(fù)因子0<δ<1。假設(shè)在時(shí)刻T對裝備進(jìn)行了不同程度的維修，其對裝備故障率的影響如圖1所示。

圖1 不同維修程度對裝備故障率的影響

對于大型的軍用裝備，通常實(shí)施不完全預(yù)防性維修,因此不可能通過預(yù)防性維修使裝備恢復(fù)到與新裝備一樣。研究表明[5]：通過維修可以將裝備當(dāng)前時(shí)刻的故障率降低到實(shí)際使用工齡前某一工齡的故障率，則之前的這一時(shí)刻稱為虛擬工齡。如:某汽車在使用100 d后，廠家對其進(jìn)行了1次不完全預(yù)防性維修，維修后的汽車故障率恢復(fù)到與使用了80 d時(shí)的故障率一樣，則80 d為其虛擬工齡。通過對裝備實(shí)施不完全預(yù)防性維修，可假設(shè)按照一定比例縮減了此次維修之前的虛擬工齡，通常采用比例年齡倒退模型來表示不完全預(yù)防性維修對裝備虛擬工齡的影響[6-8]。不完全預(yù)防性維修對裝備虛擬工齡的影響程度不同，維修程度越高，維修所需時(shí)間越長，這與維修的實(shí)際情況相符。如：某軍用裝備若由廠家實(shí)施不完全預(yù)防性維修后，其虛擬工齡要比由部隊(duì)實(shí)施后的虛擬工齡更短。因此，對于這類二維保修裝備，筆者提出了新的保修策略：在保修期內(nèi)，由廠家和部隊(duì)分別對裝備實(shí)施預(yù)防性維修，且廠家實(shí)施預(yù)防性維修的維修程度高于部隊(duì)的維修程度。

但在當(dāng)前有關(guān)保修策略的文獻(xiàn)報(bào)道中，所實(shí)施的預(yù)防性維修多是單一維修程度，在進(jìn)行預(yù)防性維修間隔期決策時(shí)鮮有相關(guān)模型可以借鑒。如：WANG等[9]從制造商的角度提出了對保修裝備實(shí)施周期性不完全預(yù)防性維修，研究不同使用率下裝備的最優(yōu)保修策略；HUANG等[10]假設(shè)在保修期內(nèi)實(shí)施不完全預(yù)防性維修，建立了保修費(fèi)用模型，并給出最優(yōu)保修方案；PARK等[3]提出在保修期內(nèi)執(zhí)行維修程度恒定的不完全預(yù)防性維修，對預(yù)防性維修期間的故障進(jìn)行最小預(yù)防性維修或更換維修，確定了使保修成本最低的預(yù)防性維修間隔期;僅有LIAO[11]提到了將保修期內(nèi)的預(yù)防性維修分為完全維修、不完全維修和預(yù)測性維修3種類型。且目前文獻(xiàn)報(bào)道的保修策略中預(yù)防性維修很少包涵2種或2種以上的維修程度。而這樣的保修策略，在二維保修服務(wù)中會(huì)有很大的應(yīng)用價(jià)值。本文提出保修期內(nèi)廠家和部隊(duì)分別對裝備實(shí)施不同維修程度的不完全預(yù)防性維修，并建立裝備可用度模型。

1 二維保修可用度模型

1.1 問題描述

設(shè)Tw、Uw分別為保修時(shí)間期限和使用度期限，(Tw,Uw)為裝備的二維保修期，rw=Uw/Tw，為裝備的設(shè)計(jì)使用率。保修期內(nèi)以間隔期(T0,U0)實(shí)施周期性的不完全預(yù)防性維修，T0和U0分別為預(yù)防性維修的時(shí)間間隔期和使用度間隔期，即每當(dāng)裝備使用時(shí)間間隔達(dá)到T0或使用程度間隔達(dá)到U0，就實(shí)施1次預(yù)防性維修，r0=U0/T0。實(shí)施預(yù)防性維修后，裝備的虛擬工齡會(huì)降低。當(dāng)裝備出現(xiàn)故障后，由廠家負(fù)責(zé)維修，維修程度為最小預(yù)防性維修，由最小預(yù)防性維修導(dǎo)致的平均停機(jī)時(shí)間為TF。目前二維保修裝備的故障率表示方法主要有雙因素變量法、復(fù)合尺度法和使用率法3種，其中，使用率法應(yīng)用比較廣泛，筆者采用該種表示方法。對于某一給定的用戶，假設(shè)裝備使用率r為定值[12-13]，則裝備故障率[14]

λ(t|r)=θ0+θ1r+θ2t2+θ3rt2，

(1)

式中：參數(shù)θ0、θ1、θ2、θ3的值可根據(jù)裝備歷史故障數(shù)據(jù)估算得到。但是，不同用戶其裝備的使用率不同。對于批次裝備而言，不同用戶的裝備使用率為服從某一分布的隨機(jī)變量。假設(shè)G(r)、g(r)分別為裝備使用率的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，裝備使用率服從雙參數(shù)威布爾分布，其概率密度函數(shù)為

g(r)=(β/α)×(r/α)β-1×e-(r/α)β，

(2)

式中:α為尺度參數(shù)；β為形狀參數(shù)。

當(dāng)采用廠家和部隊(duì)分別實(shí)施預(yù)防性維修保修策略時(shí)，保修期內(nèi)共執(zhí)行Nw次預(yù)防性維修。為研究方便，筆者僅討論廠家實(shí)施1次預(yù)防性維修的情況，且假設(shè)廠家實(shí)施預(yù)防性維修后對裝備故障率的恢復(fù)效果更好。設(shè)m為不完全維修程度，其與修復(fù)因子的關(guān)系為[15-16]

δ(m)=(1+m)e-m，

(3)

m1和m2(m1

T+=δ(m)×T-，

(4)

相應(yīng)的故障率

λ(T+)=λ(δ(m)×T-)。

(5)

在Nw次預(yù)防性維修中，假設(shè)第N(N∈[1,Nw])次維修由廠家實(shí)施，剩余Nw-1次全部由部隊(duì)實(shí)施。當(dāng)廠家預(yù)防性維修的時(shí)機(jī)N發(fā)生變化時(shí)，裝備故障率的變化趨勢也隨之改變，進(jìn)而影響保修期內(nèi)故障發(fā)生的次數(shù)和停機(jī)時(shí)間。在保修期內(nèi)，裝備停機(jī)時(shí)間由預(yù)防性維修造成的停機(jī)時(shí)間和修復(fù)性維修造成的停機(jī)時(shí)間2部分組成。

1.2 模型建立

設(shè)λk(t|r)為第k(k∈[0,Nw])次預(yù)防性維修后裝備的故障率。筆者將可用度模型分為r0≤rw和r0>rw兩種情況進(jìn)行分析。在保修期內(nèi)，隨著裝備使用率r取值范圍的變化，預(yù)防性維修間隔期和保修期限也隨之發(fā)生改變，一般分為6種情況，如表1所示。

當(dāng)r0≤rw時(shí)，r0和rw的相對關(guān)系如圖2所示。

圖2 r0和rw的相對關(guān)系

筆者詳細(xì)地分析r≤r0時(shí)，裝備的停機(jī)時(shí)間和可用度計(jì)算過程。

由表1可以看出：

當(dāng)r≤r0時(shí)，為表1中第1種情況，預(yù)防性維修總次數(shù)Nw=?Tw/T0」。在每次預(yù)防性維修后，裝備故障率λk(t|r)的變化如下：

1) 當(dāng)k=0時(shí)，

λk(t|r)=λ(t|r)；

(6)

2) 當(dāng)1≤k≤N-1時(shí)，

λk(t|r)=λ(t-kT0+(δ(m1)T0+

δ2(m1)T0+…+δk(m1)T0)|r)=

(7)

3) 當(dāng)k=N時(shí)，

λk(t|r)=λ(t-kT0+(δ(m2)T0+

δ(m2)δ(m1)T0+…+

δ(m2)δk-1(m1)T0)|r)=

(8)

4) 當(dāng)N+1≤k≤Nw時(shí)，

λk(t|r)=λ(t-kT0+((δ(m1)T0+

δ2(m1)T0+…+δk-N(m1)T0)+

(δ(m2)δk-N(m1)T0+

δ(m2)δk-N+1(m1)T0+…+

δ(m2)δk-1(m1)T0))|r)=

(9)

當(dāng)廠家和部隊(duì)分別實(shí)施預(yù)防性維修保修策略，裝備故障后進(jìn)行最小預(yù)防性維修時(shí)，則在2個(gè)相鄰預(yù)防性維修間隔期內(nèi),裝備故障服從非齊次泊松過程[17]。因此，在相鄰的預(yù)防性維修間隔期[Tl,Tu]內(nèi)，最小預(yù)防性維修次數(shù)

(10)

式中：Tl和Tu分別為2個(gè)相鄰預(yù)防性維修的時(shí)間。

由此可知：保修期中修復(fù)性維修造成的總停機(jī)時(shí)間

(11)

預(yù)防性維修造成的總停機(jī)時(shí)間

DP=Tp1(Nw-1)+Tp2。

(12)

因此，保修期內(nèi)總停機(jī)時(shí)間

D=DP+DF=Tp1(Nw-1)+Tp2+

(13)

裝備的期望可用度

(Tp1(Nw-1)+Tp2+

(14)

同理，可得其他5種情況下的裝備停機(jī)時(shí)間和可用度，具體計(jì)算公式分別如下：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

對于使用率服從分布函數(shù)為G(r)的二維保修裝備，當(dāng)r0≤rw時(shí)，由式(14)-(16)可得保修期內(nèi)裝備可用度

(20)

當(dāng)r0>rw時(shí)，由式(17)-(19)可得保修期內(nèi)裝備可用度

(21)

2 模型求解與算例

2.1 模型求解

1) 在二維保修期(Tw,Uw)內(nèi)，T0以ΔT0為步長在[0,Tw]內(nèi)取值，U0以ΔU0為步長在[0,Uw]內(nèi)取值，生成有限組(T0,U0)。

2) 在每組(T0,U0)中，確定預(yù)防性維修總次數(shù)Nw，并使N在[1,Nw]內(nèi)遍歷取值，得到不同的組合(T0,U0,N)。

2.2 算例分析

2.2.1 算例

已知某新型裝甲運(yùn)輸車為二維保修裝備，保修期Tw=5 a，Uw=16×104km。為減少該型裝備的故障次數(shù)、降低停運(yùn)時(shí)間、提高可用度，采用廠家和部隊(duì)分別實(shí)施預(yù)防性維修的保修策略。經(jīng)專家評估，部隊(duì)和廠家對該型裝備實(shí)施預(yù)防性維修的程度分別為1級和3級，其對應(yīng)的修復(fù)因子δ(m1)=0.74，δ(m2)=0.2。其他參數(shù)TF=1.5 d，Tp1=7.5 d，Tp2=10 d，α=3，β=0.72，θ0=0.7，θ1=0.5，θ2=0.6,θ3=1.0。

T0以步長ΔT0=0.03Tw在[0,Tw]內(nèi)取值，U0以步長ΔU0=0.03Uw在[0,Uw]內(nèi)取值，共生成1 089組(T0,U0)。計(jì)算每組(T0,U0)中N取不同值時(shí)，裝備最大可用度A(T0,U0)。不同T0、U0的最大可用度A(T0,U0)如圖3所示。

圖3 不同T0,U0的最大可用度A(T0,U0)

在新保修策略下，二維保修裝備可用度具有如下規(guī)律：

1) 當(dāng)U0較小時(shí)，裝備可用度受T0變化的影響較大；當(dāng)U0較大時(shí)，裝備可用度受T0變化的影響較??；當(dāng)U0=0.13Uw、0.4Uw時(shí)，可用度受T0變化的影響如表2所示。由表2可知：當(dāng)U0=0.13Uw時(shí)，裝備可用度隨T0的變化較大。因此，在預(yù)防性維修使用度間隔期確定的情況下，可根據(jù)U0的大小，并結(jié)合裝備可用度的需求情況來調(diào)整預(yù)防性維修間隔期的長短。

表2 U0固定、T0變化時(shí)裝備最大可用度 %

2) 當(dāng)T0較小時(shí)，裝備可用度受U0變化的影響較?。划?dāng)T0較大時(shí)，裝備可用度受U0變化的影響較大。因此，在預(yù)防性維修間隔期確定的情況下，可根據(jù)U0的大小，并結(jié)合部隊(duì)對裝備可用度的需求情況調(diào)整預(yù)防性維修使用度間隔期。

由此可知：當(dāng)廠家和部隊(duì)分別實(shí)施預(yù)防性維修的保修策略時(shí)，T0、U0和N中任一參數(shù)的變化均影響保修期內(nèi)裝備的可用度。

2.2.2 敏感性分析

由于新保修策略提出了保修期內(nèi)由廠家和部隊(duì)分別實(shí)施不同維修程度的預(yù)防性維修，則2種程度預(yù)防性維修的修復(fù)因子之比δ(m1)/δ(m2)直接影響裝備可用度。為了分析δ(m1)/δ(m2)對裝備可用度的影響，將δ(m2)作為變量進(jìn)行敏感性分析，其他參數(shù)保持不變。當(dāng)0.2≤δ(m2)≤0.6時(shí)，對比分析新保修策略和傳統(tǒng)保修策略對裝備可用度的影響，結(jié)果如表3所示。

表3 不同δ(m2)下2種保修策略對裝備可用度的影響對比

3 結(jié)論

筆者以二維保修裝備保修期內(nèi)可用度為研究對象，提出了包含2種維修程度的不完全預(yù)防性維修保修策略，建立了相應(yīng)的裝備可用度模型。通過算例表明：該保修策略可提高二維保修裝備的可用度，滿足部隊(duì)對裝備具有更高可用度的需求，也為廠家和部隊(duì)制定保修決策方案提供了依據(jù)。通過敏感性分析可知：廠家實(shí)施預(yù)防性維修的程度越高，該策略的優(yōu)勢越明顯。但是，筆者只考慮了保修期內(nèi)廠家實(shí)施1次預(yù)防性維修的情況，下一步研究中一方面考慮廠家實(shí)施多次預(yù)防性維修；另一方面，由于在新保修策略中，裝備可用度越高，保修費(fèi)用也會(huì)隨之升高，因此進(jìn)行保修決策時(shí)，需要將裝備可用度和保修費(fèi)用進(jìn)行綜合權(quán)衡。