關(guān)于高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的實(shí)例探究

黃雄偉

（福建省明溪縣第一中學(xué)，福建明溪 365200）

引言

函數(shù)和方程思想是數(shù)學(xué)解題必備的思想方法，也是高中數(shù)學(xué)的精華。當(dāng)學(xué)生掌握函數(shù)和方程解題的思想方法后，原本困難的題目將會迎刃而解，通過函數(shù)與方程思想，學(xué)生能迅速找到其中答題的技巧和方法，從而更好地提升數(shù)學(xué)能力。

一、數(shù)學(xué)函數(shù)及思想方法探究

數(shù)學(xué)函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段是較為實(shí)用的思想方法[1]，如一些方程題目、不等式題目可將其轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)思想后進(jìn)行解答，一些函數(shù)的解題思想可以為問題的解答提供相應(yīng)的支撐。數(shù)學(xué)解題思想是解答題目的標(biāo)準(zhǔn)，其具有易掌握的優(yōu)點(diǎn)，可為數(shù)學(xué)教育教學(xué)提供支撐點(diǎn)，解題思想是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，但要依據(jù)數(shù)學(xué)方法才能展現(xiàn)其核心性質(zhì)。

（一）函數(shù)模型的一般呈現(xiàn)模型

高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型多種多樣，其中最常見的有“對鉤函數(shù)”、二次函數(shù)、分段函數(shù)等。函數(shù)方程思想的實(shí)踐操作可以根據(jù)以下步驟逐漸深入：解函數(shù)方程、參數(shù)方程的解答、對方程的解題探究、構(gòu)造方程的解答。

（二）數(shù)學(xué)方程的一般解題思想

在解決一道數(shù)學(xué)問題時，運(yùn)用方程的特性進(jìn)行思考、改變、破解的過程就是運(yùn)用方程思想的過程[2]。方程思想是將其運(yùn)動中的邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)換為公式的方式來解決。然而其主旨是方程聯(lián)系函數(shù)，將兩者相結(jié)合解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)函數(shù)與方程兩者一般在解題過程中相互結(jié)合、相互聯(lián)系，若能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，掌握運(yùn)用技巧，那么就能提高解題效率。方程與函數(shù)的結(jié)合運(yùn)用一般先分析函數(shù)問題，然后建立兩者之間的聯(lián)系，得出方程式，問題自然迎刃而解。

二、函數(shù)與方程思想結(jié)合的實(shí)例

首先，建立函數(shù)之間的聯(lián)系；其次，從建立的函數(shù)模型

結(jié)語

的特點(diǎn)入手，將方程與函數(shù)模型相結(jié)合，得出兩者之間的聯(lián)系；最后，輕松解決問題。下面筆者列舉一些實(shí)例進(jìn)行講解。

【方法1】函數(shù)與方程思想在平面向量問題中的應(yīng)用

【案例1】已知e1，e2是單位向量，，若平面向量b滿足b·e1＝2，，且對于任意x，y∈R，|b-(xe1＋ye2)|≥|b-(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，則x0＝____________，y0＝__________，|b|＝___________。

【解析】由條件可知，當(dāng)且僅當(dāng)x＝x0，y＝y(tǒng)0時，|b-(xe1＋ye2)|取到最小值1，

即|b-(xe1＋ye2)|2＝b2＋x2e21＋y2e22-2xb·e1-2yb·e2＋2xye1·e2＝|b|2＋x2＋y2-4x-5y＋xy在x＝x0，y＝y(tǒng)0時取到最小值1。(向量代數(shù)化)

又|b|2＋x2＋y2-4x-5y＋xy＝x2＋(y-4)x＋。(代數(shù)式函數(shù)化)

【反思】解決有關(guān)向量的模的問題時，常利用平方的方法把模問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題，進(jìn)而利用函數(shù)與方程思想，結(jié)合相關(guān)條件達(dá)到解決問題的目的。

【方法2】函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用

【案例2】若a，b是函數(shù)f(x)＝x2-px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點(diǎn)，且a，b，-2這三個數(shù)適當(dāng)排序后可成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于 _________________。

不妨設(shè)a＞b＞0，則a，b，-2成等差數(shù)列，a，-2，b成等比數(shù)列，故，

可得q＝ab＝4。(數(shù)列代數(shù)化)

把a(bǔ)＝2b＋2代入ab＝4，整理可得b2＋b-2＝0，解得b＝1(負(fù)值舍去)，(函數(shù)、方程應(yīng)用)

則有a＝4，那么p＝a＋b＝5，可得p＋q＝9，故填9。(得出結(jié)論)

【反思】將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的關(guān)系，結(jié)合已知條件，抓住三個數(shù)成等差數(shù)列或成等比數(shù)列的中間項(xiàng)進(jìn)行分析討論，把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為方程（函數(shù)）問題來解決，邏輯推理是解題的關(guān)鍵。

【方法3】函數(shù)與方程思想在解析幾何問題中的應(yīng)用

【案例3】設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓C：(x-5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)。若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是( )。

A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)

【解析】設(shè)直線l的方程為x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直線l的方程代入拋物線方程y2＝4x,整理得y2-4ty-4m＝0，(解幾代數(shù)化)

則Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝-4m，

那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，

則線段AB的中點(diǎn)M(2t2＋m，2t)。

由題意可得直線AB與直線MC垂直，且C(5,0)。

當(dāng)t≠0時，有kMC·kAB＝-1，

把m＝3-2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3-t2＞0，即0＜t2＜3。

由于圓心C到直線AB的距離等于半徑，

所以2＜r＜4，此時滿足題意且不垂直于x軸的直線有兩條。(函數(shù)應(yīng)用)

當(dāng)t＝0時，這樣的直線l恰有2條，即x＝5±r，

所以0＜r＜5。

綜上可得，若這樣的直線恰有4條，則2＜r＜4，故選D。(得出結(jié)論)

【反思】利用函數(shù)與方程思想解決直線與圓錐曲線的綜合問題，通常借助一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解?！霸O(shè)而不求”（設(shè)直線、曲線方程、交點(diǎn)坐標(biāo)，而不求交點(diǎn)坐標(biāo)）是解析幾何問題求解的常用方法，通過含參數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、不等式的求解等方法解決解析幾何中的弦長、參數(shù)取值范圍、定值、定點(diǎn)等問題。

根據(jù)以上實(shí)例可知，將函數(shù)與方程思想應(yīng)用于解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段是較為實(shí)用的思想方法。函數(shù)的解題思想及對方程式進(jìn)行巧妙處理可以為問題的解答提供有效而便捷的途徑。

結(jié)語

總而言之，函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題部分的基本操作方法之一，數(shù)學(xué)本身也涉及這一方法，但是此方法不僅僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上被運(yùn)用，其中還包含考查學(xué)生的空間邏輯思維以及解題的認(rèn)知能力、將一種實(shí)例多重運(yùn)用的能力等。

數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想在高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中占比較大，在高考中也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)在函數(shù)這一部分內(nèi)容中融入多元化的教學(xué)方式，通過實(shí)踐或其他方式讓學(xué)生清楚掌握函數(shù)和方程思想的具體應(yīng)用，組織學(xué)生之間相互探討，交換解題思路，共同解決問題。當(dāng)然，也要使學(xué)生學(xué)會獨(dú)立思考，提高解決問題的能力，讓學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對函數(shù)方程的運(yùn)用能力，提高解題效率與準(zhǔn)確率。