蔣振剛
(山東省廣饒縣實(shí)驗(yàn)中學(xué),山東東營(yíng) 257300)
推理一般是指從一個(gè)或多個(gè)已知條件推導(dǎo)一個(gè)或多個(gè)新的判斷的思維過(guò)程。當(dāng)提起推理時(shí),人們通常會(huì)想到幾何推理,而這里所說(shuō)的幾何推理一般是指幾何形式的邏輯推理,又被人們稱為幾何證明。實(shí)際上,推理這一詞有著非常廣泛的意義,數(shù)學(xué)是一種以現(xiàn)實(shí)世界抽象為基礎(chǔ)的推理學(xué)科,所以與解決數(shù)學(xué)問題有關(guān)的判斷和分析都涉及推理,由此可見,幾何推理能力對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)十分重要。
幾何推理是新課程改革中的關(guān)鍵概念。很多人認(rèn)為幾何推理其實(shí)就是幾何證明,實(shí)際上兩者并不相同,幾何證明主要指嚴(yán)密的邏輯演繹推理,必須有充足的理論依據(jù)和已知條件才能求解問題[1]。而幾何推理在解決相關(guān)問題的過(guò)程中對(duì)于條件的要求較低,其主要指在少量已知條件的情況下對(duì)最終結(jié)果進(jìn)行大膽的猜想,再小心求證。由于現(xiàn)實(shí)問題的條件較少,因此新課程改革中大力提倡幾何推理的一般性,其對(duì)于學(xué)生思維品質(zhì)的提升以及思維方法的學(xué)習(xí)作用重大。
范希爾幾何分類理論將幾何思維劃分成不同的水平。層次0,視覺。這一階段的兒童能夠通過(guò)大致的輪廓分辨圖形,能夠簡(jiǎn)單地操作幾何構(gòu)圖元素,通過(guò)對(duì)形狀的操作進(jìn)行幾何問題的解決。層次1,分析。這一階段的兒童能夠分析圖形的特征及其組成要素,能以此建立圖形的相關(guān)特征,靈活地應(yīng)用這些特性解決幾何問題,但不能很好地解釋其中性質(zhì)之間的關(guān)系。層次2,非形式化的演繹[2]。這一階段的兒童能夠建立圖形及其性質(zhì)之間的關(guān)系,同時(shí)還能提出非形式化的推論,認(rèn)清圖形建構(gòu)的各個(gè)要素。層次3,形式演繹。這一階段的學(xué)生能夠清楚地了解定理、公理等的意義,明白證明的重要性,知道幾何定理必須有著形式邏輯推演才能夠建立。層次4,嚴(yán)密性。這一層次的學(xué)生可以在不同系統(tǒng)下創(chuàng)建定理,以此來(lái)比較和分析不同的幾何系統(tǒng)。
本文對(duì)八年級(jí)學(xué)生幾何推理能力的分析研究具體包括類比推理、邏輯演繹推理、推行推理以及歸納推理等能力。根據(jù)范希爾幾何層次合理地編制了相應(yīng)的試題,共有七十五道題,每一道題的分?jǐn)?shù)為五分,題型都為選擇題,測(cè)試的時(shí)間為兩個(gè)小時(shí)[3]。該試題是由相關(guān)專家和一線教師共同商討后最終確定的。幾何思維水平劃分的方式主要如下:每個(gè)層次有三道題,如果學(xué)生在一個(gè)層次上答對(duì)兩道及兩道以上題目,就可以判定學(xué)生在這一層次是合格的;如果學(xué)生只能夠做對(duì)一道或一道都不對(duì),就可以直接將該生的幾何推理能力劃分至下一個(gè)層次。
本次調(diào)查挑選了本學(xué)校八年級(jí)14個(gè)班級(jí)95%的學(xué)生參與調(diào)查測(cè)試。參與調(diào)查的學(xué)生一共有630人,其中無(wú)法歸屬幾何推理能力的共有46人,也就是說(shuō),在第二層次沒能答對(duì)兩道題,但在第三層次卻能夠解答兩道或兩道以上題目。將這些樣本去除后,最終有效的試卷一共有571份,有效率為90.6%。
從最終的調(diào)查結(jié)果來(lái)看,八年級(jí)學(xué)生的幾何推理能力和范希爾幾何思維水平呈現(xiàn)一種正相關(guān)。也就是說(shuō),八年級(jí)學(xué)生的結(jié)合推理能力越強(qiáng),其幾何思維水平就越高。從八年級(jí)學(xué)生幾何推理能力的各因素來(lái)看,其相互之間有著非常明顯的相關(guān)性,這也進(jìn)一步說(shuō)明了八年級(jí)學(xué)生的推理能力是相互促進(jìn)和影響的。要想使學(xué)生的幾何推理能力更好地發(fā)展,還必須進(jìn)行整體考量。
在本次調(diào)查研究中,對(duì)于學(xué)生幾何推理能力劃分的重要標(biāo)準(zhǔn)是,如果學(xué)生在五個(gè)因素的測(cè)試中,有三個(gè)或三個(gè)以下達(dá)成,那其幾何推理能力需要?dú)w屬至下一等級(jí)的水平;如果達(dá)成四個(gè)或五個(gè),則可以歸屬至該水平。如果學(xué)生在該次測(cè)驗(yàn)中,其圖形推理、歸納推理以及類比推理都?xì)w屬于范希爾幾何思維的理論2層次,那該學(xué)生的形式邏輯推理和自然推理能力則可以歸屬于3層次的水平。從這次的調(diào)查結(jié)果來(lái)看,我國(guó)八年級(jí)學(xué)生的幾何推理能力大都集中在范希爾幾何思維的2、3兩個(gè)層次。這也就是說(shuō),我國(guó)大部分八年級(jí)學(xué)生具備較好的圖形識(shí)別能力,但幾何推理的規(guī)范性和嚴(yán)密性相對(duì)較差[4]。造成這一問題的主要原因是當(dāng)前青少年的思維品質(zhì)受到學(xué)生身心發(fā)展程度的限制,導(dǎo)致學(xué)生在解答幾何問題時(shí)常出現(xiàn)片面性觀察的情況,嚴(yán)密性較差。此外,幾何教育的方式和課程內(nèi)容嚴(yán)重限制了學(xué)生的思維,學(xué)生在解決幾何問題的過(guò)程中思路狹隘,解答方法死板,無(wú)法有效運(yùn)用各種條件。在傳統(tǒng)教學(xué)模式下,教師大多采用題海戰(zhàn)術(shù)開展教學(xué),與新課程改革的要求完全相違背,嚴(yán)重阻礙了學(xué)生各方面能力的發(fā)展。
該次調(diào)查研究結(jié)果顯示,八年級(jí)學(xué)生的推理能力與范希爾幾何思維水平呈現(xiàn)出正相關(guān),同時(shí)兩者之間存在顯著的交互影響作用。當(dāng)前我國(guó)八年級(jí)學(xué)生的幾何思維水平大多集中在范希爾幾何思維水平的2、3層次。不同層次水平在學(xué)生的幾何推理能力測(cè)試上有著極為明顯的差異。在實(shí)際的初中幾何教學(xué)中,教師必須重視學(xué)生的幾何推理能力和思維水平的并行發(fā)展。
教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握?qǐng)D形之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。在幾何教學(xué)中,教師需要加強(qiáng)在學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)基礎(chǔ)上,強(qiáng)化其對(duì)圖形的辨識(shí)和感知,要求學(xué)生自主探尋幾何圖形結(jié)構(gòu)的性質(zhì)及其之間的關(guān)系。初中數(shù)學(xué)教師不僅要注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),還需要重視學(xué)生思維發(fā)展水平之間的差異性,在不同圖形的教學(xué)過(guò)程中,充分考慮學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律以及認(rèn)知特點(diǎn),合理應(yīng)用分層教學(xué)法,實(shí)現(xiàn)學(xué)生幾何推理能力的不斷提升。
綜上所述,八年級(jí)學(xué)生的幾何思維水平直接反映出他們獨(dú)立解決問題以及分析問題的能力,而幾何推理能力與他們對(duì)數(shù)學(xué)信息的捕捉能力直接相關(guān),這一能力是八年級(jí)學(xué)生形成良好數(shù)學(xué)習(xí)慣和行為的關(guān)鍵所在。對(duì)八年級(jí)學(xué)生開展幾何思維訓(xùn)練不僅能有效幫助學(xué)生發(fā)展推理能力,同時(shí)還能提升其幾何思維層次。這兩種能力對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)生涯有著非常重要的影響,因此八年級(jí)數(shù)學(xué)教師必須對(duì)此加強(qiáng)重視。