淺談高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類(lèi)討論方法

柏楊

【摘要】隨著高中數(shù)學(xué)知識(shí)難度的提升，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中都遇到了問(wèn)題，尤其對(duì)于解題感到更加為難。這就需要教師提供正確的解題方法。分類(lèi)討論方法是一種重要的策略，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種數(shù)學(xué)邏輯方法，體現(xiàn)了化整為零的思想以及歸類(lèi)整理的方法?；诖?，文章分析了高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類(lèi)討論方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);解題教學(xué);分類(lèi)討論方法

分類(lèi)討論是一種重要的解題策略，但是當(dāng)前很多學(xué)生在這方面的應(yīng)用意識(shí)以及能力都較為不足，使得他們無(wú)法有效地應(yīng)用該方法解題。分類(lèi)討論思想一般體現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中，如數(shù)列、立體幾何、不等式以及函數(shù)等內(nèi)容。

學(xué)生在解高中數(shù)學(xué)題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些情況，如在解到某一步之后，問(wèn)題變得復(fù)雜，不能再用統(tǒng)一的方法、標(biāo)準(zhǔn)繼續(xù)解題，學(xué)生就會(huì)不知所措。這是由于解題方法中包含不止一種情況，而是有多種情況，這時(shí)需要列出已知的各種條件，合理地思考若干種可能的情形。

在這些情況下按照一定的標(biāo)準(zhǔn)解題，明確解題的思路和方法。這里就集中體現(xiàn)了問(wèn)題解決的方法是由大化小，由一般化特殊，由整體化為部分。在分類(lèi)解決問(wèn)題后，需要將這些問(wèn)題進(jìn)行整合。所以，分類(lèi)討論方法的解題過(guò)程就是“合-分-合”。

一、分類(lèi)討論方法的重要作用

分類(lèi)討論思想是以劃分概念和集合分類(lèi)為基礎(chǔ)的。在高中數(shù)學(xué)解題中使用該思想方法需要注意以下幾方面。

（一）清楚引起分類(lèi)討論的原因

在使用分類(lèi)討論思想方法時(shí)，為了更好地解決問(wèn)題，就需要明白分類(lèi)的原因，進(jìn)而明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上開(kāi)始解題。引起分類(lèi)的原因主要有幾方面，如：公式、定理、概念、法則、性質(zhì)等的定義;包含參數(shù)的不等式、方程以及函數(shù)等問(wèn)題，由參數(shù)值的“量變”引起結(jié)果的“質(zhì)變”;在對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行研究的過(guò)程中，因?yàn)閳D形的變化，不確定圖形的形狀而導(dǎo)致問(wèn)題結(jié)果出現(xiàn)變化，從而存在多種可能性;排列組合問(wèn)題的特殊情況;等等。

（二）學(xué)會(huì)正確分類(lèi)討論的方法

要科學(xué)地進(jìn)行分類(lèi)，就需要在分類(lèi)的過(guò)程中設(shè)立統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)現(xiàn)不重復(fù)，不遺漏。正確科學(xué)的分類(lèi)討論要堅(jiān)持幾種原則：第一，分類(lèi)討論的對(duì)象要做到?jīng)]有遺漏，不重復(fù);第二，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)需要清楚;第三，如果分類(lèi)討論的對(duì)象不止一種，那么就需要分層次進(jìn)行討論，每個(gè)層次需要分別有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。

（三）注意分類(lèi)討論結(jié)論的整合

分類(lèi)討論思想有一個(gè)顯著的特征，即邏輯性。在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，就需要具備一定的邏輯推理以及分析能力，還需要掌握一定的分類(lèi)技巧。除了要注重分類(lèi)討論思想的運(yùn)用之外，還需要注意“不要看見(jiàn)參數(shù)就想著分類(lèi)討論”。

要是能夠?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行整體的處理，那么自然就無(wú)需進(jìn)行分類(lèi)討論，不然只會(huì)讓問(wèn)題變得復(fù)雜，浪費(fèi)解題的時(shí)間。

二、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類(lèi)討論方法運(yùn)用

（一）利用數(shù)學(xué)概念分類(lèi)討論

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有很多的概念都是分類(lèi)給出的，例如函數(shù)圖像和直線的位置關(guān)系、直線斜率、分段函數(shù)等。如果數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)概念有關(guān)，那么在解題時(shí)就需要學(xué)生結(jié)合給出的概念展開(kāi)分類(lèi)討論，進(jìn)而完整、正確地解題[1]。

例1：如果函數(shù)（且）存在兩個(gè)零點(diǎn)，那么求實(shí)數(shù)的取值范圍（? ? ? ? ）。

這道題就是基于概念而產(chǎn)生的分類(lèi)討論，看起來(lái)好像是對(duì)指數(shù)函數(shù)圖像與直線的位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查，其實(shí)是考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與概念。所以，在解題的過(guò)程中就需要結(jié)合底數(shù)的不同取值情況分類(lèi)展開(kāi)討論。

設(shè)（且），，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，也就是和這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)有兩個(gè)。將函數(shù)圖像畫(huà)出來(lái)，就會(huì)出現(xiàn)：當(dāng)?shù)闹档姆秶?到1之間時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是一個(gè)，和題意不相符;當(dāng)?shù)闹荡笥?時(shí)，的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），而的圖像在點(diǎn)（0，1）的上方，這時(shí)可以判斷兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)數(shù)量是兩個(gè)，進(jìn)而能夠明確的取值范圍。

在解這道題時(shí)，就運(yùn)用了分類(lèi)討論的方法，求的是實(shí)數(shù)的取值范圍，通過(guò)分類(lèi)討論，結(jié)合圖像，就能夠解出這道題的答案。

（二）結(jié)合參數(shù)變化進(jìn)行分類(lèi)討論

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參數(shù)，因參數(shù)的取值是不固定的，因而可能有多種結(jié)果。在對(duì)這樣的問(wèn)題進(jìn)行求解或證明時(shí)，就需要依據(jù)參數(shù)的具體取值情況開(kāi)展相應(yīng)的分類(lèi)討論，在解題中需要思考全面，對(duì)每種情況進(jìn)行分類(lèi)討論。

例2：當(dāng)取什么值時(shí)，不等式的解是一切實(shí)數(shù)。

可以看到題目中的式子是一個(gè)不等式，但是并不明確是一元一次不等式還是一元二次不等式。所以，在解這道題的時(shí)候就需要針對(duì)參數(shù)開(kāi)展分類(lèi)討論，一共分為兩種情況：第一種是，第二種就是。分別討論之后再進(jìn)行整合歸納。

在第一種情況下，能夠解出的值為1或2：當(dāng)時(shí)，原不等式為2>0恒成立，因此這一取值和題意是相符的;當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?，解為，與題意不符。

在第二種情況下，要使不等式恒成立，必須使相應(yīng)的圖像開(kāi)口向上，且判別式小于0，因而得出，且，解得或。

最后綜合第一和第二兩種情況，就能夠得出的取值范圍為。

（三）在幾何中運(yùn)用分類(lèi)討論思想

例3：如圖1，在三角形中，，三角形內(nèi)有任意一點(diǎn)，且，求證。

要解這道題，教師要讓學(xué)生對(duì)三角形的各個(gè)角進(jìn)行假設(shè)，設(shè)，，，根據(jù)正弦定理可得，，已知進(jìn)而得出，又，即，且，從而能夠分別得出和的范圍：，。在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，是非單調(diào)函數(shù)，所以需要展開(kāi)分類(lèi)討論。

第一種情況是，∵，，∴，得出，且，，因而。

第二種情況是，∵，∴又，則，即，與第一種情況同理，最后得出。

綜合這兩種情況可以知道，∵，，∴，，因此。

（四）小組合作，提升論述深度

通常為了更好地顯示出分類(lèi)討論在解題中運(yùn)用的優(yōu)勢(shì)，一般都是以小組的方式進(jìn)行討論的，這樣可以避免一個(gè)人分類(lèi)討論時(shí)出現(xiàn)遺漏，也可以更加全面地對(duì)各種情況進(jìn)行討論。并且如果任務(wù)量增加，單靠一個(gè)人分類(lèi)討論解題，也會(huì)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。所以，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要注重對(duì)學(xué)生的分類(lèi)討論思考習(xí)慣進(jìn)行培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣，按照學(xué)生能力對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組。然后選擇一個(gè)題目，讓每個(gè)學(xué)生在小組內(nèi)討論溝通意見(jiàn)，也可以讓他們以同一處作為切入點(diǎn)，對(duì)分類(lèi)思路進(jìn)行查缺補(bǔ)漏。這樣能夠尊重學(xué)生在小組討論中的意見(jiàn)，還可以利用平等討論及實(shí)時(shí)討論的方法，增長(zhǎng)每個(gè)學(xué)生在不同分類(lèi)方法運(yùn)用中的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生如果可以在規(guī)律性較強(qiáng)的小組討論中保持十分鐘，那么大概就能夠得出正確的答案，參加小組分類(lèi)討論的學(xué)生得出的答案一般都準(zhǔn)確率較高[2]。

例4：已知數(shù)列的前項(xiàng)和是（1），（2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

教師可以讓學(xué)生在小組合作中對(duì)這道題進(jìn)行求解，開(kāi)展分類(lèi)討論。學(xué)生在小組內(nèi)觀察這道題目，會(huì)明確其涉及的知識(shí)點(diǎn)是和。

其中，（1）分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。也符合此式，綜合可得（1）的通項(xiàng)公式為。

（2）也分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。不符合此式，綜合可得（2）的通項(xiàng)公式為。

在小組合作中解這道題，學(xué)生可以全面地對(duì)各種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，不會(huì)出現(xiàn)遺漏的情況，從而更好地解題。

除了在實(shí)際數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用分類(lèi)討論思想，在預(yù)習(xí)或者復(fù)習(xí)中也可以運(yùn)用分類(lèi)討論思想。比如，在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，小組成員在學(xué)習(xí)中就可以分類(lèi)討論，劃分新知識(shí)以及舊知識(shí)，這樣能夠有效地提升學(xué)習(xí)效果。

綜上所述，要想讓學(xué)生能夠更好地解題，提升解題的速度以及準(zhǔn)確率，教師就需要注重教授學(xué)生解題的思想和方法。只有掌握正確的解題方法，學(xué)生才能在遇到問(wèn)題時(shí)不懼怕，正常地解題。

正確應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升，能夠讓學(xué)生運(yùn)算起來(lái)更加簡(jiǎn)捷，推理利用更靈活。分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想與解題方法。在解題教學(xué)中，教師需要注重對(duì)學(xué)生的分類(lèi)討論能力進(jìn)行培養(yǎng)，對(duì)思維縝密性、條理性進(jìn)行培養(yǎng)，訓(xùn)練他們的分類(lèi)討論思想，提升學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。這無(wú)論對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是對(duì)他們以后的發(fā)展都具有重要的影響。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李凌云.分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（11X）：37-38.

[2]王娟.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類(lèi)討論策略[J].理科考試研究（高中版），2016（09）：14.