基于數(shù)學(xué)文化的高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查水平分析

廖光及 林劍 張景信

摘 ? 要?數(shù)學(xué)文化作為中小學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、興趣、方法、習(xí)慣的養(yǎng)成與發(fā)展。在新的高考形式下，對學(xué)生“數(shù)學(xué)文化”素養(yǎng)的考查給予了更多的關(guān)注。本文以2019年全國卷為例，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，對高考數(shù)學(xué)文化試題的考查進(jìn)行分析，思考數(shù)學(xué)文化滲透于課程教學(xué)中的重要性與必要性，并給出的教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞?數(shù)學(xué)文化 ?數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) ?高考數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)文化是指與數(shù)學(xué)相關(guān)的教育、歷史、藝術(shù)、人文科學(xué)以及各種文化之間的聯(lián)系[1]。它作為中小學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)系著學(xué)生數(shù)學(xué)思想、興趣、方法、習(xí)慣的養(yǎng)成與發(fā)展，在新版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中已經(jīng)將其列為了教學(xué)目標(biāo)[2]，并且在2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱增加了對“數(shù)學(xué)文化”的考察，這使得數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)對學(xué)生而言愈加重要。本文以2019年高考全國卷試題為例，結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的包含六個方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其水平等級的劃分[3]，對數(shù)學(xué)文化試題的核心素養(yǎng)考查范圍及難度進(jìn)行分析與整理，為數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)的培養(yǎng)提供指導(dǎo)與幫助。

一、高考數(shù)學(xué)關(guān)于文化的試題統(tǒng)計與分析

在2019年的6套全國數(shù)學(xué)試卷中，選擇與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的試題，共6題，其中滲透了5個數(shù)學(xué)文化知識、故事，試題具體蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化背景、所考查的知識點和涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)見表1。

二、高考數(shù)學(xué)關(guān)于文化的試題呈現(xiàn)與分析

1.基于古希臘黃金分割文化背景的高考試題

（1）原題轉(zhuǎn)述

（全國Ⅰ卷理/文4）根據(jù)古希臘時期人們對黃金分割的兩種計算形式：人體頭頂?shù)蕉悄毜拈L度與肚臍到足底的長度之比和人體的頭頂?shù)窖屎淼拈L度與咽喉到肚臍的長度之比均為（約等于0.618）。結(jié)合著名的“斷臂維納斯”雕像的實例，創(chuàng)設(shè)某人滿足以上兩個比例時求出其身高。（該人頭頂?shù)讲弊酉露碎L26cm，腿長105cm）

A.165cm ?B.175cm ?C.185cm ?D.190cm

（2）選題立意與目的及核心素養(yǎng)的考查水平分析

選題的文化背景簡介：此題涉及了兩個數(shù)學(xué)文化背景：第一個，黃金分割。黃金分割是指按照比值約為0.618的比例將某整體分為兩部分，在美學(xué)上認(rèn)為按照此比例劃分的物體是最具美感的，因此稱為黃金分割[4]。第二個，維納斯雕像?！皵啾劬S納斯”是古希臘著名的雕刻家阿歷山德羅斯在公元前150年左右根據(jù)黃金分割比例打造的大理石雕塑，雖然雕塑不完整，但仍然給人一種完美感。

選題立意與目的：通過黃金分割的介紹及具體舉例，增加學(xué)生對黃金分割數(shù)學(xué)文化的了解，并將黃金分割引入具體的應(yīng)用中，考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運算的能力。

情境任務(wù)：利用黃金分割解決問題。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及水平：數(shù)學(xué)建模水平二：能夠確定參數(shù)，將情境問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型并求解。數(shù)學(xué)運算水平一：掌握算法和應(yīng)用范圍并正確運算。

解題分析：在解題之初，通過數(shù)學(xué)建模水平二的能力明確題中的問題及數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化情境中的問題為數(shù)學(xué)模型。將頭頂至脖子下端近似看作是頭頂至咽喉的長度為26cm（實際略短），進(jìn)而確定參數(shù)：將腿長近似看作肚臍至足底的長度設(shè)為xcm，設(shè)咽喉至肚臍的長度為ycm，接著建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型：=0.618，=0.618，最后根據(jù)數(shù)學(xué)運算水平一的能力正確進(jìn)行運算求出結(jié)果得此人身高約178cm（實際略矮），故選B。此題在求解過程中，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平要求較高，能否根據(jù)現(xiàn)實問題正確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并建立模型至關(guān)重要，其所需素養(yǎng)達(dá)到高考水平二的要求;而在正確轉(zhuǎn)化問題并建立數(shù)學(xué)模型之后，只需要基本的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)即可解決問題，即只需水平一的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)即可，此題為中等難度。

2.基于《周易》卦象文化背景的高考試題

（1）原題轉(zhuǎn)述

（全國Ⅰ卷理/文6）《周易》中的每一卦象從下到上由6個爻位組成，而每個爻位為陰爻“——”或陽爻“- -”，如圖1所示是一重卦，求解隨機(jī)選取一個重卦中恰好有3個陽爻的概率。

（2）選題立意與目的及核心素養(yǎng)考查水平分析

選題的文化背景簡介：《周易》卦象。在周易卦象中，每一掛由六個爻位組成，每個爻位可以是陰爻或陽爻，六個爻位上的陰爻或陽爻按照特定的順序排列可以組成不同的卦象。

選題立意與目的：通過對《周易》卦象組成的簡單介紹，考查學(xué)生對組合及概率知識的掌握情況。

情境任務(wù)：利用組合與概率的知識解決問題。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及水平：數(shù)據(jù)分析水平二：能夠使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計或概率模型解決問題。數(shù)學(xué)運算水平一：掌握算法和應(yīng)用范圍并正確運算。

3.基于嫦娥奔月與牛郎織女鵲橋相會文化背景的高考試題

（1）原題轉(zhuǎn)述

（全國Ⅱ卷理4）此題以嫦娥奔月為引子，引出我國實現(xiàn)月球背面軟著陸的夢想，其中技術(shù)突破的關(guān)鍵在于“鵲橋”的中介通訊，類似于牛郎織女相會的橋梁。求r的近似值。公式及變量間的關(guān)系：

（2）選題立意與目的及核心素養(yǎng)考查水平分析

選題的文化背景簡介：第一，嫦娥奔月。中國流傳的神話傳說嫦娥奔月，源自古人對星辰的崇拜，據(jù)現(xiàn)存文字記載最早出現(xiàn)于戰(zhàn)國時[5]。故事講述了嫦娥被逢蒙所逼迫，吃掉了西王母賜給后羿的不死仙丹之后飛升到月宮之中。第二，牛郎織女鵲橋相會。中國民間傳說仙女織女偷偷與凡人牛郎相愛并結(jié)為夫妻，被天庭發(fā)現(xiàn)后懲罰他們分開，只能在每年陰歷七月初七的晚上，通過喜鵲在銀河上搭橋，才能得以相會[6]。鵲橋相會的故事歌頌了中國勞動人民堅貞的愛情，以及對追求美好生活的強(qiáng)烈愿望。

選題立意與目的：自古人們就對星辰無比崇拜，各種奇思妙想的“飛天”“升天”的夢想不曾斷絕，題中通過“嫦娥奔月”的文化歷史背景，引出我國探月工程取得了重大成就;再通過“牛郎織女鵲橋相會”的故事點出“鵲橋”是工程中重大難題的突破點。因這些故事在民間家喻戶曉，故題意易于理解。

情境任務(wù)：利用題中所給信息（公式）解決問題。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及水平：數(shù)學(xué)運算水平二：能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê瓦\算程序解答問題。數(shù)學(xué)運算水平三：具備程序化思想，并依此理解和表達(dá)的問題，最后進(jìn)行正確運算。

4.基于獨孤信的“半正多面體”印信文化背景的高考試題

（1）原題轉(zhuǎn)述

（全國Ⅱ卷理/文16）此題以南北朝官員獨孤信的半正多面體印信為背景，構(gòu)建圖2（2）所示棱長為1的半正多面體模型，其棱數(shù)為48，并且每個頂點都在同個正方體的表面上，求其面數(shù)與棱長。

（2）選題立意與目的及核心素養(yǎng)考查水平分析

選題的文化背景簡介：根據(jù)相關(guān)記載，獨孤信是西魏大統(tǒng)六年隴右十一州大都督，身兼多職。為將，奮戰(zhàn)沙場、英勇殺敵;為官，兩袖清風(fēng)、鐵面無私，是忠義為先、取信于民的好官。他的印信是26面體的煤精印，其中有14個印面鐫刻陰文楷書印文，每個面的印文都不相同，可根據(jù)不同的場合使用不同的印面[7]。

選題立意與目的：通過對我國金石文化典故，南北朝時期官員獨孤信的半正多面體印信的介紹，弘揚獨孤信忠義為先、取信于民的精神與美德，并從數(shù)學(xué)審美的角度賞析印信，凸顯該印信的對稱美。

情境任務(wù)：考查學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)建模的能力，通過直觀想象與數(shù)學(xué)建模構(gòu)建印信的數(shù)學(xué)模型，從而得出印信面數(shù)及棱長的計算方法。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及水平：數(shù)學(xué)建模水平二：能夠確定參數(shù)，將情境問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型并求解。直觀想象水平二：運用直觀想象的能力及數(shù)形結(jié)合的思想正確解決問題。數(shù)學(xué)運算水平二：能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê瓦\算程序解答問題。

求面數(shù)較為簡單，解答時可通過數(shù)學(xué)建模與直觀想象的水平一，構(gòu)建出印信的數(shù)學(xué)模型，即可數(shù)出印信的面數(shù)為26面。接著再根據(jù)數(shù)學(xué)建模與直觀想象的水平二，將構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型放入半徑為1的正方體中（見圖3）。

5.基于四大名著文化背景的高考試題

（1）原題轉(zhuǎn)述

（全國Ⅲ卷理3/文4）以四大名著為文化背景，構(gòu)建經(jīng)典的概率統(tǒng)計試題。從學(xué)校中選取100名學(xué)生作為調(diào)查對象，讀過《紅樓夢》或《西游記》的有90人，讀過《紅樓夢》的有80人，同時讀過《紅樓夢》和《西游記》的有60人，求該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)占總學(xué)生數(shù)的比值。

A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8

（2）選題立意與目的及核心素養(yǎng)考查水平分析

選題的文化背景簡介：《水滸傳》《三國演義》《西游記》和《紅樓夢》是中國的四大經(jīng)典名著，也是世界寶貴的文化遺產(chǎn)。這四部文化巨著都有著極高的文學(xué)水平和藝術(shù)成就，每部名著所蘊(yùn)含的深刻思想和對人物、故事、場景刻畫的細(xì)致都深深地影響了我國人民的思想觀念和價值取向。

選題立意與目的：通過創(chuàng)設(shè)某校四大名著借閱情況的情境，弘揚我國四大名著寶貴文化財富的同時，考查學(xué)生解決現(xiàn)實生活情境問題的能力。

情境任務(wù)：從以名著文化為背景的情境中抽象出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，運用恰當(dāng)?shù)倪壿嬐评硪约皵?shù)學(xué)語言表達(dá)并正確求解問題。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及水平：數(shù)學(xué)抽象水平二：運用恰當(dāng)?shù)姆椒◤那榫持谐橄蟪鰯?shù)學(xué)問題并正確解決問題。邏輯推理水平二：用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出從情境發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題，并用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計算或證明。數(shù)學(xué)運算水平一：掌握算法和應(yīng)用范圍并正確運算。

解題分析：此題要求學(xué)生具備數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的水平二，用數(shù)學(xué)語言提取、表達(dá)情境問題。根據(jù)讀過《紅樓夢》的人數(shù)和讀過《紅樓夢》或《西游記》的人數(shù)可知，有10人只讀過《西游記》。再結(jié)合同時讀過《紅樓夢》和《西游記》的人數(shù)，可知有70人只讀過《西游記》人。再根據(jù)邏輯推理水平一：歸納推理、類比推理等?？傻米詈蟊戎禐?.7，C選項正確。此題考查較為簡單，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng)達(dá)到水平二之后即可簡單求解。

三、結(jié)論與建議

1.高考數(shù)學(xué)文化試題分析的結(jié)論

（1）數(shù)學(xué)文化試題難度適中

高考數(shù)學(xué)文化試題中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查水平適中、恰當(dāng)，符合數(shù)學(xué)文化試題的立意與目的，絕大多數(shù)難度水平控制在核心素養(yǎng)高考要求的水平二，部分試題控制在水平一的要求。雖然試題難度不大，但也不能易輕松解出，學(xué)生受傳統(tǒng)思維定勢的影響，往往難以找尋到解題思路。如果學(xué)生在日常的教育課程中積累了相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化知識，對其內(nèi)容或來龍去脈有所了解，那么在學(xué)生接觸到相應(yīng)數(shù)學(xué)文化的試題時，便可在一定程度上“熟悉試題”，從而快速得出解題思路與結(jié)果。

（2）數(shù)學(xué)文化與核心素養(yǎng)相得益彰

高考數(shù)學(xué)文化試題的考查涵蓋了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個方面，每道題的求解大多涉及兩種及以上的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并且均以數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)為基礎(chǔ)。達(dá)到了宣揚數(shù)學(xué)史實與文化，弘揚優(yōu)秀文化傳統(tǒng)、精神文明與美德，拓寬學(xué)生的知識面，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，傳承優(yōu)秀文明的目的的同時，又達(dá)到了考核學(xué)生知識掌握情況和檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所達(dá)水平的目的。數(shù)學(xué)文化與核心素養(yǎng)相互促進(jìn)，在考試中二者結(jié)合相得益彰。對此，我們必須重視在教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的滲透和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、拓展學(xué)生的知識層面、加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科或歷史事實相聯(lián)系的同時，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟[8]，幫助學(xué)生建立健全的知識體系。

2.數(shù)學(xué)文化滲透到課程教學(xué)中的建議

（1）注重情境教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化在教材中多以小故事的形式存在，也有與其他學(xué)科相關(guān)的文化知識，從學(xué)生身心發(fā)展的特點出發(fā)，與課堂討論或課后閱讀相比，以講故事的形式進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透無疑是最好的選擇。而滲透時機(jī)的選擇在課前、課堂中或課堂結(jié)尾均可，其靈活性較強(qiáng)。課前可作為情境導(dǎo)入的內(nèi)容進(jìn)行滲透，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生專心致志地學(xué)習(xí)新知識;課堂中滲透，用作對某個數(shù)學(xué)概念或公式深化，幫助學(xué)生更深刻的理解概念或公式;滲透于課堂結(jié)尾，可在一定程度上有助于課堂小結(jié)，強(qiáng)化鞏固該課程所學(xué)的新知識。由此可見教師只需具備與課程學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)文化知識即可。

（2）拓展數(shù)學(xué)閱讀，感悟數(shù)學(xué)魅力

知識的獲取不僅來自于課堂，更多的來自于課外。教師在日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行拓展閱讀，感悟數(shù)學(xué)的魅力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。如以作業(yè)或黑板報的形式，引導(dǎo)學(xué)生搜集知識的文化背景，尋找知識的來龍去脈，思考知識的應(yīng)用層面。在充實學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識的同時，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也幫助學(xué)生構(gòu)建了完整的數(shù)學(xué)知識體系。

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【責(zé)任編輯 ?郭振玲】