測(cè)量誤差的誤解與解除

李小兵

[摘 要]相對(duì)于舊人教版教材，現(xiàn)行教材對(duì)測(cè)量的要求難度有所降低，所給定的測(cè)量對(duì)象的數(shù)據(jù)很容易得出，學(xué)生對(duì)測(cè)量中存在測(cè)量誤差的問題不易有所感知與理解，因此很難接受“即使仔細(xì)測(cè)量也無法得到確切數(shù)值”的觀點(diǎn)，這與教師對(duì)教材降低測(cè)量難度的認(rèn)識(shí)與處理不當(dāng)有關(guān)。教師可以針對(duì)測(cè)量誤差設(shè)計(jì)專項(xiàng)的拓展活動(dòng)，幫助學(xué)生正確體會(huì)和理解測(cè)量誤差，形成正確認(rèn)識(shí)。

[關(guān)鍵詞]測(cè)量難度;測(cè)量誤差;誤解

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）29-0005-02

測(cè)量是一種基本而重要的科學(xué)研究方法，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)用到它。由于被測(cè)量的數(shù)值形式不能以有限位數(shù)表示，加上測(cè)量技術(shù)和認(rèn)知能力的限制，測(cè)量結(jié)果難免會(huì)有誤差。如果學(xué)生對(duì)測(cè)量誤差的理解有誤，就很難正確理解通過測(cè)量所得到的結(jié)果，由此對(duì)測(cè)量這種方法的價(jià)值產(chǎn)生懷疑。

一、誤解測(cè)量誤差在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有哪些表現(xiàn)？

測(cè)量往往會(huì)存在誤差，小學(xué)階段中最突出的表現(xiàn)是三角形內(nèi)角和的測(cè)量與計(jì)算。四年級(jí)學(xué)生在研究三角形的內(nèi)角和時(shí)，通常會(huì)選擇用測(cè)量的方法來求內(nèi)角和。學(xué)生所測(cè)量的三角形有兩種來源，一種是教師給定的，另一種是學(xué)生自己任意畫的。如果教師給定的三角形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是整十的，測(cè)量結(jié)果都是180°，教學(xué)能夠順利進(jìn)行;如果教師給定的三角形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是任意的，或者三角形是學(xué)生自己畫的，那么不同學(xué)生測(cè)量的結(jié)果就會(huì)不一致。出現(xiàn)測(cè)量結(jié)果不同的情況時(shí)，即使教師解釋是因?yàn)闇y(cè)量存在誤差，仍有學(xué)生堅(jiān)持三角形內(nèi)角和是179°，并反復(fù)強(qiáng)調(diào)自己的測(cè)量是非常準(zhǔn)確的。此時(shí)，他的潛臺(tái)詞就是：只要用正確的方法認(rèn)真仔細(xì)地測(cè)量，就能避免誤差，得到準(zhǔn)確的結(jié)果。顯然，他對(duì)測(cè)量誤差的理解其實(shí)是一種誤解，但如果教師解釋不當(dāng)，會(huì)使學(xué)生認(rèn)為得到180°的結(jié)果是沒有測(cè)量誤差的。

二、降低測(cè)量難度是如何導(dǎo)致對(duì)測(cè)量誤差的誤解的？

造成學(xué)生誤解測(cè)量誤差的原因有很多，其中一個(gè)重要的原因是教師對(duì)教材降低測(cè)量難度的認(rèn)識(shí)與處理有誤。在現(xiàn)行的北師大版、人教版和蘇教版等教材中，提供給學(xué)生測(cè)量的角的度數(shù)都是5的倍數(shù)，目的在于減少學(xué)生在測(cè)量后判斷角的度數(shù)時(shí)的干擾因素，幫助學(xué)生順利地初步掌握測(cè)量角度的方法和技能，了解測(cè)量的作用，其背后的含義是：學(xué)生只需初步掌握測(cè)量的方法和技能、了解測(cè)量的作用，就可以在將來借助更為先進(jìn)的工具來完成更為精確的測(cè)量，因此無須在小學(xué)階段投入過多的時(shí)間和精力來學(xué)習(xí)測(cè)量。教材的設(shè)計(jì)思路兼顧了效率和效能，既科學(xué)又合理，但是教師如果只關(guān)注到測(cè)量難度的降低，而忽視了引導(dǎo)學(xué)生全面理解測(cè)量，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)測(cè)量誤差產(chǎn)生誤解。

事實(shí)上，在實(shí)際教學(xué)角的測(cè)量時(shí)，“誤差”這個(gè)概念基本沒有出現(xiàn)。絕大多數(shù)的情況下，學(xué)生總是能夠正確地測(cè)量角的度數(shù)，只在極少數(shù)情況下因?yàn)樽x錯(cuò)量角器內(nèi)外圈的數(shù)據(jù)而出錯(cuò)?；谶@樣的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)他們后來接觸到誤差這一現(xiàn)象時(shí)，會(huì)認(rèn)為出錯(cuò)就是誤差，只要不出錯(cuò)，就不會(huì)有誤差，原因是學(xué)生認(rèn)為只要使用的測(cè)量方法正確，就總能得到準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果。

此外，只測(cè)量度數(shù)為5的倍數(shù)的角，還帶來另一個(gè)結(jié)果：學(xué)生形成“湊整”的思維定式。學(xué)生在實(shí)際測(cè)量角度時(shí)，只需要大概地測(cè)量一下就能確定結(jié)果了，即使角的邊線與量角器的刻度線并未完全重合，也不會(huì)影響學(xué)生做出判斷，因?yàn)閷W(xué)生只要觀察角的邊線接近哪一條整五或整十的刻度線，直接“湊整”為整五或整十的度數(shù)即可，結(jié)果肯定正確，基本上沒有反思“真的是這個(gè)結(jié)果嗎？”的意識(shí)。筆者曾開展的關(guān)于角的測(cè)量的調(diào)查：從本區(qū)小學(xué)中抽取了四所學(xué)校共409名四年級(jí)學(xué)生，在保證測(cè)量對(duì)象盡可能優(yōu)化的情況下（角的邊線長(zhǎng)度超出量角器的刻度線，邊線的粗細(xì)為0.5磅，角的開口向右，其中一條邊線處于水平位置，另一條邊線向上），準(zhǔn)確測(cè)量出41°角的學(xué)生占9.3%，而把41°角當(dāng)成40°角的學(xué)生占83.9%，與38.1%的學(xué)生準(zhǔn)確測(cè)量出63°角相比較可以發(fā)現(xiàn)，兩者之間的差異不是測(cè)量技能造成的，而是學(xué)生的“湊整”思維定式造成的。在這里，“湊整”背后的邏輯不是“近似值”，而是早期的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)導(dǎo)致學(xué)生相信測(cè)量的準(zhǔn)確結(jié)果就應(yīng)該是40°。這就造成了學(xué)生對(duì)測(cè)量誤差的另一個(gè)誤解：所測(cè)量的角的客觀度數(shù)都正好是整度數(shù)的，并且很多時(shí)候正好是5的倍數(shù)。

綜上所述，總是讓學(xué)生測(cè)量度數(shù)為5的倍數(shù)的角，會(huì)造成學(xué)生對(duì)測(cè)量誤差產(chǎn)生兩種誤解：一是所測(cè)量的角的度數(shù)正好都是整度數(shù)的;二是只要測(cè)量方法正確就不會(huì)有誤差。

三、如何在降低測(cè)量難度的同時(shí)避免對(duì)測(cè)量誤差的誤解？

小學(xué)數(shù)學(xué)的測(cè)量教學(xué)是從長(zhǎng)度開始的，在進(jìn)行長(zhǎng)度測(cè)量的教學(xué)中就可以滲透測(cè)量誤差的概念，這里只論及在角的測(cè)量的教學(xué)中如何幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)測(cè)量誤差。從“三角形內(nèi)角和”的例子中可以看出，直接告知的效果并不理想，學(xué)生在缺乏體驗(yàn)的情況下很難接受誤差的概念。同樣的，在角的測(cè)量教學(xué)中直接引入誤差的概念，學(xué)生也會(huì)因?yàn)榕c經(jīng)驗(yàn)不符（測(cè)量的結(jié)果就是40°，哪來的誤差？）而難以接受。對(duì)此，教師可以在基本完成角的測(cè)量教學(xué)之后，安排一個(gè)拓展活動(dòng)，讓學(xué)生在親身體驗(yàn)的基礎(chǔ)上理解測(cè)量誤差。

拓展活動(dòng)的主題是“我畫的角有多少度”。具體步驟如下：

1.自己任意畫一個(gè)角，評(píng)一評(píng)自己畫得好不好，猜一猜這個(gè)角有多少度。設(shè)計(jì)意圖：“自己畫角”使得角的度數(shù)未知，為學(xué)生的想象提供了空間;“評(píng)一評(píng)”可以讓學(xué)生體會(huì)測(cè)量對(duì)象是一個(gè)影響測(cè)量結(jié)果的因素;“猜一猜”可以讓學(xué)生通過想象感受角度的數(shù)值恰巧是整數(shù)的可能性極小。這個(gè)環(huán)節(jié)需要進(jìn)行展示交流，教師借助放大的量角器刻度圖片，通過不斷追問“實(shí)際的度數(shù)有沒有可能比你猜的多（少）一點(diǎn)？”，讓學(xué)生感受角的度數(shù)很難用一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)來表示。

2.用量角器仔細(xì)量一量自己的角，想一想自己測(cè)量的結(jié)果和這個(gè)角的度數(shù)是不是一定完全相同。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通常會(huì)認(rèn)為只要認(rèn)真測(cè)量，就能得到準(zhǔn)確結(jié)果。這個(gè)環(huán)節(jié)是讓學(xué)生結(jié)合第一個(gè)環(huán)節(jié)獲得的體驗(yàn)，在仔細(xì)測(cè)量的基礎(chǔ)上進(jìn)行反思，體會(huì)認(rèn)真測(cè)量得到的結(jié)果也不能準(zhǔn)確表示實(shí)際度數(shù)，得到的僅僅是一個(gè)比較精確的近似值。

3.請(qǐng)組內(nèi)的同學(xué)量一量你畫的角，測(cè)量結(jié)果先記在秘密紙條上，最后一起公布。設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生感受測(cè)量者及測(cè)量技能對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，體會(huì)重復(fù)測(cè)量對(duì)提高測(cè)量結(jié)果可靠性的重要作用。

4.回顧整個(gè)過程，說說你的想法。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)行整體反思，從而對(duì)測(cè)量及誤差形成較為正確的認(rèn)知。這個(gè)環(huán)節(jié)要進(jìn)行分享交流，通過師生、生生之間的互動(dòng)加深學(xué)生的理解。

圖形的度量作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容之一，其目標(biāo)不僅僅是技能的掌握，更為重要的是培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神。教師在使用教材開展相關(guān)教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分關(guān)注學(xué)生對(duì)科學(xué)方法的認(rèn)識(shí)與理解，通過精心的教學(xué)設(shè)計(jì)有效達(dá)成目標(biāo)。

（責(zé)編 金 鈴）