特征標三元組的誘導(dǎo)子映射

常學(xué)武,韓麗

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

在有限群的表示論中,研究正規(guī)子群與群本身的特征標之間的相互影響和確定關(guān)系,即通常的Clifford理論,具有重要的意義和廣泛應(yīng)用。在Clifford理論中,核心概念是所謂的特征標三元組T=(G,N,θ),其中G是一個有限群,N?G為G的正規(guī)子群，θ∈Irr(N)為N的一個不可約復(fù)特征標且為G-不變的。關(guān)于特征標三元組的研究可以參考[1-5]。

關(guān)于特征標三元組的研究,目前已經(jīng)取得了豐富的內(nèi)容和成果。特別是為了證明M-群的若干著名猜想以及處理特征標對應(yīng)理論中相關(guān)的重要問題,Dade在系列論文[6-8]中創(chuàng)立了特征標三元組的穩(wěn)定子極限理論,并深入考察了極限情形下的不變量。Isaacs在[9]中借助特征標三元組的誘導(dǎo)子和擬本原等概念,給出了Dade一個主要定理的簡化證明。此外,Loukaki在其博士論文[10]中研究了一種新型的穩(wěn)定子極限,即所謂的線性極限,并與Dade合作在[11]中對線性極限做了系統(tǒng)的探討,特別是引入了特征標三元組之間的覆蓋關(guān)系。Lewis在[12]中給出的Loukaki定理的簡化證明以及Loukaki本人在[13]中證明的若干定理,均使用了特征標三元組的線性極限所提供的圖表約化技術(shù)。我們在[14]中也使用特征標三元組的線性極限證明了關(guān)于M-群的幾個結(jié)果。而特征標五元組的線性極限也得到了相應(yīng)的研究[15]。

事實上,即使從范疇的觀點看,特征標三元組亦可視為基本的研究對象,值得展開系統(tǒng)的研究。特別地,為了更好地發(fā)揮其特有的技術(shù)功效,需要深入地考察其各種子對象的基本聯(lián)系。從文獻中所使用的圖表證明技術(shù)看,一個特征標三元組至少有三個極為重要的子對象,即Dade命名的誘導(dǎo)子,限制子和覆蓋子,均需要做更多的探討,它們在很多特征標定理的證明中發(fā)揮了重要作用。我們在此先給出相關(guān)定義。

固定一個特征標三元組T=(G,N,θ),如果R=(H,M,φ)也是一個特征標三元組(按定義即M?H且φ∈Irr(M)是H-不變的),使得G=NH,M=N∩H,并且φ在θ下方,即φ是θM的一個不可約分量,則稱R為T的一個子三元組,記為R≤T，如圖1所示。

Fig.1 Character subtriple

圖1 子三元組

進而,如果還有φN=θ,則稱R為T的一個誘導(dǎo)子;如果φ=θM,則稱R為T的一個限制子;如果Z(θ)H=G,則稱R為T的一個覆蓋子。以下將看出覆蓋子其實是一種特殊的限制子,見本文引理2。

在特征標三元組的研究中,一個基礎(chǔ)的問題是探討任意兩個擬本原的誘導(dǎo)子,何時具有相同的次數(shù)或同構(gòu)的截面,在此所使用的主要技術(shù)是考察特征標三元組的誘導(dǎo)子與其限制子之間存在的特征標對應(yīng)。方便起見,我們記Ind(T)為特征標三元組T的所有誘導(dǎo)子的集合,本文將重點研究特征標三元組的誘導(dǎo)子集合與其限制子的誘導(dǎo)子集合之間的對應(yīng)關(guān)系,其理論意義和重要性在于提供一種更強的范疇觀點和圖表約化技術(shù),可用來簡化和改進已有的相關(guān)重要定理。

定理A設(shè)T為特征標三元組,R為T的一個限制子,則可構(gòu)造一個映射,

保持誘導(dǎo)子的指數(shù)不變,即|T:T′|=|R:R′|.

我們稱上述映射f為從三元組T到其限制子R的誘導(dǎo)子映射。關(guān)于f的構(gòu)造定義,以及相關(guān)的術(shù)語和符號,見本文定理1。下述結(jié)果見本文定理2,描述了誘導(dǎo)子映射的像,推廣了[16]中的主要定理。

定理B設(shè)T=(G,N,θ)為特征標三元組,R=(H,M,φ)為T的一個限制子。如果R′=(H′,M′,φ′)為R的一個誘導(dǎo)子,使得(M′,φ′)為N的一個誘導(dǎo)源,則T存在一個誘導(dǎo)子Τ′=(G′,N′,θ′),使得R′為其一個限制子,即f(T′)=R′.

使用覆蓋子的概念,可給出誘導(dǎo)子映射恰為雙射的條件,見本文定理3。

定理C設(shè)T為特征標三元組,如果R為T的一個覆蓋子,則誘導(dǎo)子映射f:Ind(T)→Ind(R)為雙射，并且任意誘導(dǎo)子T′∈Ind(T)的像R′=f(T′)∈Ind(R)也是T′的一個覆蓋子。

在本文最后,還探討了誘導(dǎo)子映射所保持的若干基本性質(zhì),如本原性,擬本原性,冪零性等,見本文定理4。此外,本文使用的群論和特征標符號參考[17],特別指出的是,按照[11]中的記法,將用G′表示另外一個群而不是通常表示的導(dǎo)群[G,G]。

1 預(yù)備知識

本節(jié)給出所需的群論和特征標理論中的若干基本概念和結(jié)果。

首先引入一個技術(shù)性概念,即所謂的特征標對?？紤]有限群G,稱(H,θ)為G的一個特征標對,如果H為G的子群而θ∈Irr(H)。我們在G的所有特征標對構(gòu)成的集合上,如此定義一個偏序關(guān)系:即(H,θ)≤(K,φ)當且僅當H≤K并且θ是φH的一個不可約分量。根據(jù)Frobenius互反律,亦等價于說φ是θK的一個不可約分量。在此情形下,稱θ在φ的下方,而稱φ在θ的上方。任取g∈G,令(H,θ)g=(Hg,θg),其中θg(hg)=θ(h),對任意h∈H，稱(H,θ)g為(H,θ)的一個共軛。不難看出G按共軛方式作用在其所有特征標對的集合上,我們記

Gθ={g∈G|(H,θ)g=(H,θ)} ，

稱為(H,θ)在G中的穩(wěn)定子。顯然Gθ≤NG(H),并且Gθ即為θ在NG(H)中通常的慣性群。

固定一個特征標三元組T=(G,N,θ),即N?G,并且θ∈Irr(N)是G-不變的,我們引入若干相關(guān)的概念和符號。

·T的截面,定義為N/Z(T),記為Sec(T)。

·T的冪零性,如果T的截面Sec(T)是冪零群,則稱T為冪零的。

·T的擬本原性,如果對任意M≤N,M?G,則θM為齊次的特征標,即θM=eφ,其中e為正整數(shù),而φ∈Irr(M),則稱T是擬本原的。

·T的本原性,如果T沒有真誘導(dǎo)子,即不存在誘導(dǎo)子Τ′=(G′,N′,θ′)使得G′

關(guān)于特征標三元組的限制子和誘導(dǎo)子,需要下述兩個基本結(jié)論,分別稱之為限制對應(yīng)和誘導(dǎo)對應(yīng),證明可見[18]中的引理2.11。

下述群論結(jié)果是初等的,完備起見,給出一個證明。

引理3如果G為類大于2的冪零群,則G存在一個非中心的交換特征子群。

證明設(shè)G的冪零類為r,考慮G的下中心列,其中Gi=[G,…,G]共i個G做換位子:

G≥G′≥G2≥…≥Gr≥Gr+1=1 .

因為r≥3,故2(r-1)≥r+1,所以[Gr-1,Gr-1]≤G2(r-1)≤Gr+1=1,表明Gr-1為G的一個交換特征子群。注意到[Gr-1,G]=Gr≠1,故Gr-1不在G的中心里,即為所求的非中心交換特征標子群。

下述為冪零的擬本原特征標三元組的一個重要性質(zhì)。

引理4令T=(G,N,θ)為擬本原的特征標三元組,如果N/Z(θ)是冪零群,則N/Z(θ)為交換群。

證明因為θ是G-不變的,故Kerθ為G的正規(guī)子群。顯然所給條件和所證結(jié)論可以在商群G/Kerθ中考慮,不失一般性,可設(shè)Kerθ=1。此時Z(θ)=Z(N),故N本身即為冪零群。任取A是N的一個交換特征子群,則A?G。又因為T為擬本原的,故θA=eα為齊次的,其中e為正整數(shù),而α∈Irr(A)。但Kerα=A∩Kerθ=1,即α為A的一個忠實的線性特征標。顯然θ的G-不變性推出α亦如此,所以αg(a)=α(a),對任意g∈G和a∈A均成立,據(jù)此可知α(gag-1a-1)=1,再從α的忠實性推出gag-1a-1=1,亦即ga=ag,表明A≤Z(G)。應(yīng)用上述引理,則N的冪零類不能大于2,該結(jié)論等價于說N/Z(N)為交換群。

在本節(jié)最后,還需要Dade在[6]中引入的誘導(dǎo)源概念。設(shè)(A,α)為G的一個特征標對,令Gα={g∈G|(A,α)g=(A,α)}為(A,α)在G中的穩(wěn)定子,如果特征標的誘導(dǎo)

為雙射,則稱(A,α)為G的一個誘導(dǎo)源。群G-的所有誘導(dǎo)源的集合記為IS(G)，稱上述ξ為ξG的一個誘導(dǎo)源對應(yīng)。不難看出,當A?G時,則Clifford對應(yīng)即為一個誘導(dǎo)源對應(yīng),從而(A,α)總是G的一個誘導(dǎo)源,由此表明誘導(dǎo)源和誘導(dǎo)源對應(yīng)分別是正規(guī)子群和Clifford對應(yīng)的一個自然和直接的推廣。

2 主要結(jié)果

類似子群的指數(shù),需要引入子三元組的相應(yīng)概念。設(shè)T=(G,N,θ)為一個特征標三元組,如果Τ′=(G′,N′,θ′)為T的一個子三元組,我們記|T:T′|=|N:N′|,稱為T′在T中的指數(shù)。

在引言中提及的誘導(dǎo)子映射,其構(gòu)造定義如下所述。

進而,該映射保持誘導(dǎo)子的指數(shù)不變,即|T:T′|=|R:R′|.

Fig.2 Inductor and restrictor圖2 誘導(dǎo)子和限制子

驗證N′∩H′=M′且N′H′=G′。事實上,按定義有

N′∩H′=N′∩(H∩G′)=N′∩H=(N′∩N)∩H=N′∩M=M′ .

此外,從G=NH=N′MH=N′H即可推出N′H′=N′(H∩G′)=(N′H)∩G′=G∩G′=G′.

最后驗證R′為R的一個誘導(dǎo)子,我們先證明M∩H′=M′且MH′=H。事實上,按定義M∩H′=M∩(H∩G′)=M∩G′=(M∩N′)∩G′=M′∩G′=M′。進而,使用上述所證結(jié)論N′H′=G′，我們有

MH′=(N∩H)H′=(NH′)∩H=(NN′H′)∩H=(NG′)∩H=G∩H=H.

因為上述已證(φ′)M=φ,據(jù)此即證R′為R的誘導(dǎo)子。進而|T:T′|=|N:N′|=|M:M′|=|R:R′| .

上述結(jié)論產(chǎn)生了特征標三元組的一個所謂的Mackey四邊形,見圖3。

Fig.3 Mackey quadrangle

圖3 Mackey四邊形

在實際應(yīng)用中,經(jīng)常需要描述該映射的像,即判別R的一個誘導(dǎo)子R′，何時可作為T的一個誘導(dǎo)子T′的限制子,亦即R′=f(T′)。在文獻[16]中,曾給出了一個充分條件,即R′=(H′,M′,φ′)中的子群M′在N中正規(guī)(等價于M′?G)。使用誘導(dǎo)源的概念,可將正規(guī)條件進一步減弱,故給出該文主要結(jié)果的一個推廣。

定理2設(shè)T=(G,N,θ)為特征標三元組,R=(H,M,φ)為T的一個限制子。如果R′=(H′,M′,φ′)為R的誘導(dǎo)子,使得(M′,φ′)為N的一個誘導(dǎo)源,則T存在一個誘導(dǎo)子T′=(G′,N′,θ′),使得R′為其一個限制子。

驗證T′為T的一個誘導(dǎo)子。因為上述已證θ′到N的誘導(dǎo)為θ,故T′為T的一個誘導(dǎo)子當且僅當NG′=G且N∩G′=N′。事實上,按定義有N∩G′=N∩G(φ′)=N(φ′)=N′。已知R為T的限制子,我們有G=NH。又R′為R的誘導(dǎo)子,又有H=MH′,所以G=NH=(MN′)(MH′)=N′H。顯然H′固定φ′,即H′≤G′,至此有

NG′=(MN′)G′≥N′MH′≥N′H=G，

迫使NG′=G,至此即證T′為T的一個誘導(dǎo)子。

最后驗證R′為T′的一個限制子。因為上述已證θ′到M′的限制為φ′,故只需驗證N′∩H′=M′和N′H′=G′。注意到H′固定φ′,我們有

N′∩H′=N(φ′)∩H′=N∩H′=N∩(H′∩H)=(N∩H)∩H′=M∩H′=M′ .

因為H′正規(guī)化N?G,故H′也正規(guī)化N′=N(φ′),所以N′H′為G的子群,并且包含在G′=G(φ′)中。令X=N′H′,使用模律,可知

X∩N=(N′H′)∩N=N′(H′∩N)=N′(H′∩H∩N)=N′(M∩H′)=N′M′=N′ .

同理,應(yīng)用上述已證等式G=N′H,有

XN=(MN′)(N′H′)=N′(MH′)=N′H=G.

據(jù)此可知|X:N′|=|G:N|=|G′:N′|,即|X|=|G′|,但X≤G′,只有G′=X=N′H′,即證R′為T′的一個限制子。

如果T的限制子R為一個覆蓋子,則所述誘導(dǎo)子映射恰為雙射,在應(yīng)用時非常便利。

定理3 設(shè)T=(G,N,θ)為特征標三元組,如果R=(H,M,φ)為T的一個覆蓋子,則誘導(dǎo)子映射f:Ind(T)→Ind(R)為雙射,并且任意誘導(dǎo)子T′∈Ind(T)的像R′=f(T′)∈Ind(R)也是T′的一個覆蓋子。

Z(θ)∩H=Z(θ)∩N∩H=Z(θ)∩M=Z(θM)=Z(φ) ,

Fig.4 Restriction correspondence

圖4 限制對應(yīng)

最后驗證R′也是T′的一個覆蓋子。事實上,根據(jù)覆蓋子的定義,我們有Z(θ)H=G。因為(θ′)N=θ，不難證明Z(θ)≤Z(θ′)。使用模律,我們有

G′=G′∩G=G′∩(Z(θ)H)=Z(θ)(G′∩H)=Z(θ)H′≤Z(θ′)H′≤G′ ，

只有G′=Z(θ′)H′,表明R′也是T′的一個覆蓋子。

下面探討誘導(dǎo)子映射所保持的若干基本性質(zhì)。

定理4設(shè)R=(H,M,φ)為特征標三元組T=(G,N,θ)的一個限制子,f:Ind(T)→Ind(R)為相應(yīng)的誘導(dǎo)子映射,任取T的一個誘導(dǎo)子T′=(G′,N′,θ′),設(shè)R′=f(T′)=(H′,M′,φ′),則下述結(jié)論成立:

(1)如果R′是本原的,則T′也是本原的。

(2)如果T′是冪零的,則R′也是冪零的。

(3)如果R′既是冪零的又是擬本原的,則T′為擬本原的。

(4)如果T′既是冪零的又是擬本原的,則R′為擬本原的。

證明(1)因為T′的誘導(dǎo)子顯然也是T的誘導(dǎo)子,即Ind(T′)?Ind(T),而T′的誘導(dǎo)子對應(yīng)R′=f(T′)又是T′的一個限制子,故誘導(dǎo)子映射f的限制f′:Ind(T′)→Ind(R′)仍為誘導(dǎo)子映射。因此,如果T″為T′的一個誘導(dǎo)子,則R″=f′(T″)也是R′的誘導(dǎo)子,但已知R′本原,故R″=R′,再根據(jù)誘導(dǎo)子映射保持指數(shù)的性質(zhì),我們有|T′:T″|=|R′:R″|=1,表明T′=T″,即T′也是本原的。

(3)根據(jù)Isaacs的一個定理,見[9]中推論2.4(b),從R′既是冪零的又是擬本原的,可知R′必然是本原的。再從結(jié)論(1)推出T′也是本原的,從而更是擬本原的。

(4)因為R′為T′的限制子,簡單計,可用R和T分別替代R′和T′證明所述結(jié)論。為證R的擬本原性,按定義,任取(A,α)≤(M,φ),其中A?H,我們只需證α為H-不變的。事實上,從T的冪零性和擬本原性,可知N/Z(θ)為交換群,故Z(θ)A?N,表明θ在Z(θ)A上的限制是齊次的,從而在A上的限制也是齊次的。但φA包含不可約分量α,故α在θ的下方,只有θA=eα,對某個正整數(shù)e。又因為θ為G-不變的,更是H-不變的,據(jù)此推出α也是H-不變的。