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    一類連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)密度的求法

    2019-11-22 07:22:40王開永崔永芳

    王開永,崔永芳

    (蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,江蘇 蘇州 215009)

    1 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)是否為連續(xù)型的問題及新的簡單反例提出

    在概率中,對于連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)比,可以完全刻化連續(xù)型隨機(jī)變量。在實(shí)際處理問題時(shí),往往會(huì)碰到要處理連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布問題,即Y=f(X)的分布問題,其中,X為連續(xù)型隨機(jī)變量;f(x)為一實(shí)函數(shù)。首先要處理的問題是,連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)還是不是連續(xù)型,即Y=f(X)還是不是連續(xù)型隨機(jī)變量。一般情況下,沒有肯定的回答。很多文獻(xiàn)也給出了反例,例如文獻(xiàn)[1]的例1及例2。本文給出兩個(gè)新的簡單反例。

    例1 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,分布函數(shù)為FX(x)=P(X≤x),且存在實(shí)數(shù)a>0,使得FX(a)>0。設(shè)實(shí)函數(shù)其中IA(x)為集合A的示性函數(shù),即,則Y的分布函數(shù)為由于FY(y)在y=0處不連續(xù),所以,Y=f(X)不是連續(xù)型隨機(jī)變量。

    下面給出另一個(gè)反例,其中函數(shù)f(x)在(0,1)上為連續(xù)函數(shù)。先給出兩個(gè)引理,第一個(gè)引理可見Embrechts等[2]的Proposition A1.6.

    引理1 設(shè)G(x)是一概率分布函數(shù),對G定義廣義逆函數(shù)為

    則:

    (1)G-1(y)是單調(diào)不降的;

    (2)y≤G(x),當(dāng)且僅當(dāng)G-1(y)≤x;

    (3)G(x)嚴(yán)格增,當(dāng)且僅當(dāng)G-1(y)為連續(xù)函數(shù)。

    當(dāng)G(x)嚴(yán)格單調(diào)時(shí),G的廣義逆函數(shù)G-1(y)就是通常意義下的G的反函數(shù).下面的引理可見Rolski等[3]的Theorem 3.1.2,事實(shí)上,由上述引理1的(2)很容易給出證明。

    引理2 設(shè)F(x)為一分布函數(shù),F(xiàn)-1(y)為F(x)的廣義逆函數(shù)。隨機(jī)變量X~U(0,1),則Y=F-1(X)的分布函數(shù)為F(x)。

    證明:設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y),則由引理1的(2)及X~U(0,1)可知,對任意實(shí)數(shù)y,

    下面給出另一個(gè)反例。

    例2 設(shè)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),任意取實(shí)數(shù)x1<x2,由于Φ(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增,則取。定義

    從而,F(xiàn)(x)為右連續(xù),且為嚴(yán)格遞增的函數(shù),0<F(x)<1且故F(x)為一分布函數(shù)。但由于F(x)在x=x1處不連續(xù),所以,F(xiàn)(x)不是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。取函數(shù)f=F-1,則由引理1的(3)知f在(0,1)上為連續(xù)函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,1),則Y=f(X)=F-1(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的函數(shù)。但由引理2知Y=F-1(X)的分布函數(shù)為F(x)。從而,Y=f(X)不是連續(xù)型隨機(jī)變量。

    2 連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)問題及改進(jìn)后一般公式的提出

    設(shè)X是一連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為pX(x),設(shè)y=f(x)為一實(shí)函數(shù),若Y=f(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量,則要討論Y=f(X)的密度函數(shù)。對此,沒有一個(gè)一般的公式,但對一些特殊性質(zhì)的函數(shù)f(x)可以給出Y=f(X)的密度函數(shù)的計(jì)算公式。一般教材都討論了f(x)為嚴(yán)格單調(diào)的情形,給出了密度函數(shù)計(jì)算公式。文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[5]對于f(x)不是嚴(yán)格單調(diào)時(shí),給出了密度函數(shù)計(jì)算公式。很多文獻(xiàn)討論了f(x)為分段嚴(yán)格單調(diào)的情形,得到文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]的結(jié)果。

    定理1 設(shè)X是一連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為pX(x),( -∞, +∞) 被分割成有限個(gè)或可列個(gè)互不相交的區(qū)間Bk(k=1,2,…),且函數(shù)y=f(x)在Bk(k=1,2,…)上嚴(yán)格單調(diào),并在Bk上其反函數(shù)x=gk(y)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則Y=f(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為

    對于上述結(jié)果,現(xiàn)給出以下說明:①事實(shí)上,上述分割不一定要對全體實(shí)數(shù)分割,只要對pX(x)不等于零的地方分割即可;②上述分割不一定要分割成區(qū)間,分割成一般的不相交的子集也可;③在(2.1)中,沒有說明y的取值范圍,有的文獻(xiàn)默認(rèn)為( -∞, +∞ ),有的文獻(xiàn)給出了y的范圍,即,其中,α為f在Bk(k=1,2,…)端點(diǎn)值的最小值,β為f在Bk(k=1,2,…)端點(diǎn)值的最大值。這些表示都不太準(zhǔn)確,事實(shí)上,在此定理中,對每一個(gè)給定k=1,2,…,gk(y)的定義域只能是函數(shù)y=f(x)在Bk上的值域,因而,將y的范圍寫成( -∞, +∞) 或(α,β)是不夠準(zhǔn)確的。對此,顧玉娣[7]給出了一個(gè)例子,說明利用式(1)有時(shí)會(huì)得到錯(cuò)誤的解。分析發(fā)現(xiàn),文獻(xiàn)[7]所舉的例子在計(jì)算過程中有錯(cuò)誤,因此不能以此例來說明(2.1)會(huì)得到錯(cuò)誤的解。而分析定理1發(fā)現(xiàn),式(1)表達(dá)不夠準(zhǔn)確,為此,本文給出一個(gè)嚴(yán)格的形式。

    例3 設(shè)隨機(jī)變量ξ~U(-1,2),求η=ξ2的密度函數(shù)。

    文獻(xiàn)[7]的具體解法如下:

    由ξ~U(-1,2)知其密度函數(shù)為

    若利用公式(1)求解,y=x2在(-1,2)上不單調(diào),將區(qū)間(-1,2)分成(-1,0]和(0,2),y=x2的反函數(shù)分別為,從而由(2.1)知η的密度函數(shù)為

    這與用“分布函數(shù)法”求出的密度函數(shù)不同,

    從而文獻(xiàn)[7]說“用式(1)得出的結(jié)果(3)是錯(cuò)誤的”。從而,文獻(xiàn)[7]得出的觀點(diǎn)認(rèn)為“式(1)必須加上一定條件才能成立,否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論”。

    本文認(rèn)為“式(1)是不成立的”結(jié)論存在問題。事實(shí)上,會(huì)發(fā)現(xiàn)在上述計(jì)算過程中,從式(2)到式(3)這一步計(jì)算是不正確的,而在上述過程中,僅式(2)這一步使用了式(1),而式(2)到式(3)這一步并不使用式(1). 從而,上述例子不能說明式(1)是不成立的。下面說明在上述計(jì)算過程中,從式(2)到式(3)是錯(cuò)誤的。

    事實(shí)上,當(dāng)y≤0或y≥4時(shí),由式(2)及pξ(x)的表達(dá)式知pη(x)=0;當(dāng)0<y<4時(shí),從而。故,式(2)等于如下:

    從而,由式(5)知

    這與用“分布函數(shù)方法”求出的式(4)一致。因此,本文認(rèn)為式(1)表述不嚴(yán)格。下面給出定理1一個(gè)嚴(yán)格的形式,對于實(shí)函數(shù)y=f(x),x∈( -∞, +∞ ),對任意集合B?( -∞, +∞ ),稱為B在f下的逆象;稱為B在f下的象。容易證明,對任意集合當(dāng)y=f(x)在B上嚴(yán)格單調(diào)時(shí),有反函數(shù)x=g(y),則

    定理2設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為p X(x) ,記a=inf{x:p X(x) > 0},b=sup{x:p X(x) > 0},(-∞≤a<b≤+∞)。設(shè)區(qū)間(a,b)被分割成(有限個(gè)或可列個(gè))互不相交的子集Bk,(k=1,2,…),且函數(shù)y=f(x)在Bk,(k=1,2,…)上嚴(yán)格單調(diào),且在Bk上其反函數(shù)x=gk(y)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)。記Ck=f(Bk),則Y=f(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量且其函數(shù)密度為

    證明:當(dāng)y≤α?xí)r,Y的分布函數(shù)FY(y)=0,所以pY(y)=0;當(dāng)y≥β時(shí),F(xiàn)Y(y)=1,pY(y)=0。我們討論α<y<β的情形,此處證明(a,b)被分割成可列個(gè)子集的情況,有限個(gè)類似,即。當(dāng)x∈Bk時(shí),設(shè)。先求Y的分布函數(shù)FY(y),

    從而,Y的密度函數(shù)為

    由定理2,可以得到下面兩個(gè)常見函數(shù)的密度函數(shù)。

    推論1 設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)是pX(x)。若(-∞≤a<b≤+∞),則

    1)Y=|X|也為連續(xù)型隨機(jī)變量,

    當(dāng)b≤0時(shí),其密度函數(shù)為

    當(dāng)a<0且b>0時(shí),其密度函數(shù)為

    當(dāng)a≥0時(shí),其密度函數(shù)為

    2)Y=X2也為連續(xù)型隨機(jī)變量,

    當(dāng)b≤0時(shí),其密度函數(shù)為

    當(dāng)a<0且b>0時(shí),其密度函數(shù)為

    當(dāng)a≥0時(shí),其密度函數(shù)為

    對于上述例3,很容易由推論1得到如下正確結(jié)果。

    將(-1,2)分成B1=(-1,0]和B2=[0,2)兩個(gè)區(qū)間,可知C1=[0,1),C2=[0,4),y=f(x)在B1,B2上的反函數(shù)分別為。所以由推論1容易得到

    3 結(jié)論

    從連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)是否為連續(xù)型隨機(jī)變量這一問題出發(fā),討論了相關(guān)情形,并給出了連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不為連續(xù)型隨機(jī)變量的例子。對于其中一類情形,即當(dāng)函數(shù)為分段嚴(yán)格單調(diào)時(shí),對連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的密度給出了一般計(jì)算公式。

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