一類連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)密度的求法

王開永，崔永芳

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

1 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)是否為連續(xù)型的問題及新的簡單反例提出

在概率中，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)比，可以完全刻化連續(xù)型隨機(jī)變量。在實(shí)際處理問題時(shí)，往往會(huì)碰到要處理連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布問題，即Y=f(X)的分布問題，其中，X為連續(xù)型隨機(jī)變量；f(x)為一實(shí)函數(shù)。首先要處理的問題是，連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)還是不是連續(xù)型，即Y=f(X)還是不是連續(xù)型隨機(jī)變量。一般情況下，沒有肯定的回答。很多文獻(xiàn)也給出了反例，例如文獻(xiàn)[1]的例1及例2。本文給出兩個(gè)新的簡單反例。

例1 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)為FX(x)=P(X≤x)，且存在實(shí)數(shù)a＞0，使得FX(a)＞0。設(shè)實(shí)函數(shù)其中IA(x)為集合A的示性函數(shù)，即，則Y的分布函數(shù)為由于FY(y)在y=0處不連續(xù)，所以，Y=f(X)不是連續(xù)型隨機(jī)變量。

下面給出另一個(gè)反例，其中函數(shù)f(x)在(0，1)上為連續(xù)函數(shù)。先給出兩個(gè)引理，第一個(gè)引理可見Embrechts等[2]的Proposition A1.6.

引理1 設(shè)G(x)是一概率分布函數(shù)，對(duì)G定義廣義逆函數(shù)為

則：

(1)G-1(y)是單調(diào)不降的；

(2)y≤G(x)，當(dāng)且僅當(dāng)G-1(y)≤x；

(3)G(x)嚴(yán)格增，當(dāng)且僅當(dāng)G-1(y)為連續(xù)函數(shù)。

當(dāng)G(x)嚴(yán)格單調(diào)時(shí)，G的廣義逆函數(shù)G-1(y)就是通常意義下的G的反函數(shù).下面的引理可見Rolski等[3]的Theorem 3.1.2，事實(shí)上，由上述引理1的(2)很容易給出證明。

引理2 設(shè)F(x)為一分布函數(shù)，F(xiàn)-1(y)為F(x)的廣義逆函數(shù)。隨機(jī)變量X～U(0，1)，則Y=F-1(X)的分布函數(shù)為F(x)。

證明：設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，則由引理1的(2)及X～U(0，1)可知，對(duì)任意實(shí)數(shù)y，

下面給出另一個(gè)反例。

例2 設(shè)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，任意取實(shí)數(shù)x1＜x2，由于Φ(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增，則取。定義

從而，F(xiàn)(x)為右連續(xù)，且為嚴(yán)格遞增的函數(shù)，0＜F(x)＜1且故F(x)為一分布函數(shù)。但由于F(x)在x=x1處不連續(xù)，所以，F(xiàn)(x)不是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。取函數(shù)f=F-1，則由引理1的(3)知f在(0，1)上為連續(xù)函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量X～U(0，1)，則Y=f(X)=F-1(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的函數(shù)。但由引理2知Y=F-1(X)的分布函數(shù)為F(x)。從而，Y=f(X)不是連續(xù)型隨機(jī)變量。

2 連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)問題及改進(jìn)后一般公式的提出

設(shè)X是一連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為pX(x)，設(shè)y=f(x)為一實(shí)函數(shù)，若Y=f(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則要討論Y=f(X)的密度函數(shù)。對(duì)此，沒有一個(gè)一般的公式，但對(duì)一些特殊性質(zhì)的函數(shù)f(x)可以給出Y=f(X)的密度函數(shù)的計(jì)算公式。一般教材都討論了f(x)為嚴(yán)格單調(diào)的情形，給出了密度函數(shù)計(jì)算公式。文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[5]對(duì)于f(x)不是嚴(yán)格單調(diào)時(shí)，給出了密度函數(shù)計(jì)算公式。很多文獻(xiàn)討論了f(x)為分段嚴(yán)格單調(diào)的情形，得到文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]的結(jié)果。

定理1 設(shè)X是一連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為pX(x)，( -∞, +∞) 被分割成有限個(gè)或可列個(gè)互不相交的區(qū)間Bk(k=1，2，…)，且函數(shù)y=f(x)在Bk(k=1，2，…)上嚴(yán)格單調(diào)，并在Bk上其反函數(shù)x=gk(y)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則Y=f(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為

對(duì)于上述結(jié)果，現(xiàn)給出以下說明：①事實(shí)上，上述分割不一定要對(duì)全體實(shí)數(shù)分割，只要對(duì)pX(x)不等于零的地方分割即可；②上述分割不一定要分割成區(qū)間，分割成一般的不相交的子集也可；③在(2.1)中，沒有說明y的取值范圍，有的文獻(xiàn)默認(rèn)為( -∞, +∞ )，有的文獻(xiàn)給出了y的范圍，即，其中，α為f在Bk(k=1，2，…)端點(diǎn)值的最小值，β為f在Bk(k=1，2，…)端點(diǎn)值的最大值。這些表示都不太準(zhǔn)確，事實(shí)上，在此定理中，對(duì)每一個(gè)給定k=1，2，…，gk(y)的定義域只能是函數(shù)y=f(x)在Bk上的值域，因而，將y的范圍寫成( -∞, +∞) 或(α，β)是不夠準(zhǔn)確的。對(duì)此，顧玉娣[7]給出了一個(gè)例子，說明利用式(1)有時(shí)會(huì)得到錯(cuò)誤的解。分析發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[7]所舉的例子在計(jì)算過程中有錯(cuò)誤，因此不能以此例來說明(2.1)會(huì)得到錯(cuò)誤的解。而分析定理1發(fā)現(xiàn)，式(1)表達(dá)不夠準(zhǔn)確，為此，本文給出一個(gè)嚴(yán)格的形式。

例3 設(shè)隨機(jī)變量ξ～U(-1，2)，求η=ξ2的密度函數(shù)。

文獻(xiàn)[7]的具體解法如下：

由ξ～U(-1，2)知其密度函數(shù)為

若利用公式(1)求解，y=x2在(-1，2)上不單調(diào)，將區(qū)間(-1，2)分成(-1，0]和(0，2)，y=x2的反函數(shù)分別為，從而由(2.1)知η的密度函數(shù)為

這與用“分布函數(shù)法”求出的密度函數(shù)不同，

從而文獻(xiàn)[7]說“用式(1)得出的結(jié)果(3)是錯(cuò)誤的”。從而，文獻(xiàn)[7]得出的觀點(diǎn)認(rèn)為“式(1)必須加上一定條件才能成立，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論”。

本文認(rèn)為“式(1)是不成立的”結(jié)論存在問題。事實(shí)上，會(huì)發(fā)現(xiàn)在上述計(jì)算過程中，從式(2)到式(3)這一步計(jì)算是不正確的，而在上述過程中，僅式(2)這一步使用了式(1)，而式(2)到式(3)這一步并不使用式(1). 從而，上述例子不能說明式(1)是不成立的。下面說明在上述計(jì)算過程中，從式(2)到式(3)是錯(cuò)誤的。

事實(shí)上，當(dāng)y≤0或y≥4時(shí)，由式(2)及pξ(x)的表達(dá)式知pη(x)=0；當(dāng)0＜y＜4時(shí)，從而。故，式(2)等于如下：

從而，由式(5)知

這與用“分布函數(shù)方法”求出的式(4)一致。因此，本文認(rèn)為式(1)表述不嚴(yán)格。下面給出定理1一個(gè)嚴(yán)格的形式，對(duì)于實(shí)函數(shù)y=f(x)，x∈( -∞, +∞ )，對(duì)任意集合B?( -∞, +∞ )，稱為B在f下的逆象；稱為B在f下的象。容易證明，對(duì)任意集合當(dāng)y=f(x)在B上嚴(yán)格單調(diào)時(shí)，有反函數(shù)x=g(y)，則

定理2設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為p X(x) ，記a=inf{x:p X(x) ＞ 0}，b=sup{x:p X(x) ＞ 0}，(-∞≤a＜b≤+∞)。設(shè)區(qū)間(a，b)被分割成(有限個(gè)或可列個(gè))互不相交的子集Bk，(k=1，2，…)，且函數(shù)y=f(x)在Bk，(k=1，2，…)上嚴(yán)格單調(diào)，且在Bk上其反函數(shù)x=gk(y)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)。記Ck=f(Bk)，則Y=f(X)為連續(xù)型隨機(jī)變量且其函數(shù)密度為

證明：當(dāng)y≤α?xí)r，Y的分布函數(shù)FY(y)=0，所以pY(y)=0；當(dāng)y≥β時(shí)，F(xiàn)Y(y)=1，pY(y)=0。我們討論α＜y＜β的情形，此處證明(a，b)被分割成可列個(gè)子集的情況，有限個(gè)類似，即。當(dāng)x∈Bk時(shí)，設(shè)。先求Y的分布函數(shù)FY(y)，

從而，Y的密度函數(shù)為

由定理2，可以得到下面兩個(gè)常見函數(shù)的密度函數(shù)。

推論1 設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)是pX(x)。若(-∞≤a＜b≤+∞)，則

1)Y=|X|也為連續(xù)型隨機(jī)變量，

當(dāng)b≤0時(shí)，其密度函數(shù)為

當(dāng)a＜0且b＞0時(shí)，其密度函數(shù)為

當(dāng)a≥0時(shí)，其密度函數(shù)為

2)Y=X2也為連續(xù)型隨機(jī)變量，

當(dāng)b≤0時(shí)，其密度函數(shù)為

當(dāng)a＜0且b＞0時(shí)，其密度函數(shù)為

當(dāng)a≥0時(shí)，其密度函數(shù)為

對(duì)于上述例3，很容易由推論1得到如下正確結(jié)果。

將(-1，2)分成B1=(-1，0]和B2=[0，2)兩個(gè)區(qū)間，可知C1=[0，1)，C2=[0，4)，y=f(x)在B1，B2上的反函數(shù)分別為。所以由推論1容易得到

3 結(jié)論

從連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)是否為連續(xù)型隨機(jī)變量這一問題出發(fā)，討論了相關(guān)情形，并給出了連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不為連續(xù)型隨機(jī)變量的例子。對(duì)于其中一類情形，即當(dāng)函數(shù)為分段嚴(yán)格單調(diào)時(shí)，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的密度給出了一般計(jì)算公式。