從設(shè)而求之到設(shè)而不求

◎ 王琳琳

在數(shù)學(xué)中，有一種可以與“方程思想”比肩的思想方法——“設(shè)而不求”。從字面意思上也不難理解他們之間的聯(lián)系與區(qū)別：兩者皆需設(shè)未知量，不同的是前者需將未知量分別求解出來，后者則只是將未知量作為“溝通”的橋梁，無需費(fèi)力求解。這種解題思路，給人耳目一新的感覺，同時(shí)也可感受到數(shù)學(xué)之美。

案例一：設(shè)“K”法的妙用

在代數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)生會(huì)經(jīng)常碰到連等式和連等方程的題，解決此類問題的一大法寶是解設(shè)“K”法。在學(xué)習(xí)比例式中的等比性質(zhì)的證明時(shí)，這種方法給了我們很多的啟示。

我們不妨可以這樣大膽地說，凡是出現(xiàn)這樣比例式的證明，設(shè)元時(shí)往往可以按比值設(shè)元，這體現(xiàn)了“化分為整”的數(shù)學(xué)思路，問題很快得到解決。

設(shè)“K”法非常靈活巧妙，在一些表面看上去無比例式的證明中也適用，例如：三角函數(shù)中的一道證明——如圖：在Rt△ABC中，已知，求∠A的其他三角函數(shù)值。

思路一：(利用三角函數(shù)之間的關(guān)系)。

思路二：(設(shè)K法)

比較兩種方法，前者容易想到，但是對(duì)于初學(xué)三角函數(shù)的學(xué)生來說，運(yùn)算上要求高，容易出錯(cuò)，而且公式的記憶也比較難，易出現(xiàn)偏差。后者運(yùn)算量小，思維量也不大，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

對(duì)于同類型的問題，如果做適當(dāng)?shù)淖兓?，設(shè)“K”法能收獲同樣的效果。例：如圖：將原題中添加一條AB邊上的中線CD，加一條件，CD=5，其余條件不變，則這個(gè)三角形可解。我們來試一試。

首先在上一題的解答中，三角的三角函數(shù)值可求，也即三個(gè)角可以表示出來，由于三角函數(shù)值不特殊，初中階段我們尚且不會(huì)這種表示方法。

我們?cè)賮砜催叺那蠓?。這里依舊可沿用設(shè)“K”法，∵CD=5，∴AB=10又

這些都是設(shè)“K”法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，在初中數(shù)學(xué)中，它是一種簡(jiǎn)單高效的方法。設(shè)K而不求K，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的大智慧。

案例二：固定結(jié)構(gòu)的化簡(jiǎn)

在學(xué)韋達(dá)定理的時(shí)候，我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bc+c=0，若Δ≥0，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x1，x2，則有。

我們總結(jié)這類問題的求法，關(guān)鍵在于將式子整理成含x1+x2和x·1x2的結(jié)構(gòu)，而無需將x1，x2各自求出，這也是“設(shè)而不求”的精髓所在。

這樣的例子不一而足。我們可以看到“設(shè)而不求”的解題思路實(shí)際就是立足于數(shù)學(xué)中的整體思想。這種重要數(shù)學(xué)方法和技巧的掌握對(duì)于整個(gè)中學(xué)階段的學(xué)習(xí)都有舉足輕重的作用。到高中解析幾何中的圓錐曲線中就經(jīng)常要用到這種方法，它能在最大程度上優(yōu)化解題思路，減少計(jì)算量，提高解題效率?？芍^解題中不折不扣的“跳板高手”。