無窮區(qū)間上有序分?jǐn)?shù)階q -差分方程邊值問題正解的存在性

閆雅雯, 侯成敏, 孫明哲

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

邊值問題是微分方程理論的一個重要分支,它被廣泛應(yīng)用于物理、機(jī)械、生物等領(lǐng)域.近年來，許多學(xué)者對整數(shù)階、分?jǐn)?shù)階q-差分方程邊值問題進(jìn)行了研究,并取得了較好的研究成果[1-4],但對在無窮區(qū)間上的有序分?jǐn)?shù)階q-差分問題研究的較少.

文獻(xiàn)[5]利用Ban ach不動點(diǎn)定理研究了如下分?jǐn)?shù)階q-差分邊值問題解的存在性和唯一性:

文獻(xiàn)[6]利用Schauder不動點(diǎn)定理和Leggett -Willians不動點(diǎn)定理得到了分?jǐn)?shù)階q-差分邊值問題:

受上述研究的啟發(fā),本文考慮如下邊值問題極小非負(fù)解的存在性:

(1)

假設(shè)(E,‖·‖)是實(shí)Banach空間,P是E中的非空閉凸子集.如果P滿足如下條件(a)和(b),則稱P是E中的錐: (a)x∈P,λ≥0 ?λx∈P; (b)x∈P, -x∈P?x=0.

1 預(yù)備知識

定義1[7]定義函數(shù)f∶J→R上的α(≥0)階Riemann-Liouville型q-積分為:

定義2[8]定義函數(shù)f∶J→R上的α(>0)階Riemann-Liouville型q-導(dǎo)數(shù)為:

其中m=「α?+1， 「α? 表示實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分,等式右側(cè)積分在區(qū)間J上逐點(diǎn)有定義，且

引理1令y∈C[0,1]∩L[0,+∞), 邊值問題

(2)

(3)

則邊值問題

(4)

的解為

(5)

(6)

引理2格林函數(shù)G(t,qs)的性質(zhì):

1)G(t,qs)是連續(xù)的且G(t,qs)≥0, (t,s)∈J×J;

定義算子A:

為便于分析,本文做如下假設(shè):

(H1) ?a(t),b(t)∈C(J,R+),c1,c2,c3∈R+, 使得

‖f(t,u,v,w)‖≤a(t)+b(t)(c1‖u‖+c2‖v‖+c3‖w‖),t∈J,u,v,w∈P.

引理3若假設(shè)(H1)成立,則算子A∶C∞→C∞.

證明令u(t)∈C∞, 即u(t)≥θ且‖u‖F(xiàn)<∞.因?yàn)閒∈C[J×P×P×P,P],G(t,qs)>0, 故(Au)(t)≥θ.由假設(shè)(H1)有

2 主要結(jié)果及其證明

證明令u0(t)=θ,un(t)=Aun -1(t),n=1,2,3,…, 其中

(7)

由引理3知，un(t)∈C∞, 所以un(t)≥0.根據(jù)G(t,qs)的非負(fù)性以及函數(shù)f的連續(xù)性,有

θ=u0(t)≤u1(t)≤u2(t)≤…≤un(t)≤…,t∈J.

(8)

再利用迭代公式可得

(9)

定理2P是全正規(guī)錐,且滿足假設(shè)(H1)和(H2).假設(shè)存在函數(shù)w∈C∞滿足:

(10)

證明由引理1知,

(11)

定義算子A:

4 算例

例1考慮如下分?jǐn)?shù)階q-差分邊值問題:

證明顯然,f∈C(J×P×P×P,P), 且θ,u*∈P， 所以假設(shè)(H2)成立.注意到，

且當(dāng)n→∞時,