數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀的運(yùn)用探析

劉 杰

（遼寧省大連市瓦房店市文蘭小學(xué)，遼寧 瓦房店 116300）

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》提出培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力，幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育中一個(gè)關(guān)注的問(wèn)題。幾何直觀主要指兩點(diǎn)，一是幾何，這里指圖形；二是直觀，不僅指看到，更重要的是利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考與想象。對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行梳理，可以看出幾何直觀有著廣泛的應(yīng)用。教師有必要深入領(lǐng)會(huì)幾何直觀的內(nèi)涵及其作用，思考在教學(xué)中如何運(yùn)用幾何直觀來(lái)開(kāi)展教學(xué)。本文從以下幾方面對(duì)幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用進(jìn)行論述。

一、借助幾何直觀，把握數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)

數(shù)學(xué)是對(duì)客觀現(xiàn)象抽象概括而逐步形成的，是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)的知識(shí)是抽象的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最需要抽象思維和推理能力。學(xué)生的抽象思維能力還在逐漸形成和成長(zhǎng)之中，在學(xué)習(xí)時(shí)離不開(kāi)具體事物的支撐，需要更多地借助形象思維，借助幾何直觀理解感悟數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。因此，在義務(wù)教育階段，許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念在編寫(xiě)時(shí)都注意了這些知識(shí)的“雙重屬性”，既有“數(shù)的屬性特征”，也有“形的屬性特征”，只有從兩方面認(rèn)識(shí)它們，才能很好地理解它們，掌握它們的本質(zhì)意義。借助“幾何直觀”來(lái)研究數(shù)學(xué)這一方法充分體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”這一領(lǐng)域中，幾何圖形直觀反映了各種數(shù)之間的聯(lián)系，學(xué)生從幾何圖形中讀懂?dāng)?shù)學(xué)信息，并整理信息，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決，以幾何圖形思數(shù)，以幾何圖形載數(shù)，數(shù)形對(duì)照，數(shù)形聯(lián)系，數(shù)形互釋?zhuān)瑘D文并茂，加深理解，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象、親切，不再是冰冷的符號(hào)。例如，在教學(xué)“小數(shù)意義”這一內(nèi)容時(shí)，教師就可借助圖形直觀——方格紙，有效幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)，理解小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的關(guān)系。

教師先讓學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)來(lái)描述陰影部分的大小，讓學(xué)生知道不夠“1”的這兩個(gè)陰影部分除了用分?jǐn)?shù)表示外，還可以用小數(shù)0.1、0.01 來(lái)表示，直觀地認(rèn)識(shí)小數(shù)的計(jì)數(shù)單位0.1、0.01……的由來(lái)。接著讓學(xué)生觀察每個(gè)圖中陰影部分的大小變化，借助小長(zhǎng)方形、小正方形直觀體會(huì)出1 與0.1、0.1 與0.01 之間的十進(jìn)關(guān)系，進(jìn)而抽象出小數(shù)單位間的關(guān)系。借助圖形直觀，有效建立了小數(shù)部分、整數(shù)部分的聯(lián)系，讓具體的形與抽象的數(shù)相輔相成。計(jì)數(shù)單位以這種直觀形式在學(xué)生頭腦中建立了表象，為后面小數(shù)的大小比較、小數(shù)的計(jì)算打下了基礎(chǔ)，培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)感。

二、借助幾何直觀，提供思維方法

幾何直觀通常沒(méi)有嚴(yán)格的邏輯推理，往往能把握對(duì)象的全貌和本質(zhì)。借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象。因此，研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系同空間形式結(jié)合起來(lái)，化數(shù)為形，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，變抽象思維為形象思維，為問(wèn)題解決提供思維方法。例如，北師版六上“數(shù)學(xué)與生活”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：8 名同學(xué)進(jìn)行兵乓球比賽，如果每?jī)擅瑢W(xué)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，一共要比多少場(chǎng)？在小學(xué)階段，這樣的題目一般做法是用列表法開(kāi)始研究，用歸納的方法探索規(guī)律，再依據(jù)規(guī)律解答。學(xué)生要發(fā)現(xiàn)8 個(gè)人之間的比賽場(chǎng)次為“1+2+3+……+6+7”這個(gè)規(guī)律并不容易。波利亞說(shuō)：抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見(jiàn)，摸得著。因此，教師可引導(dǎo)學(xué)生在圖形中找到它的模型。如果把參賽人抽象為“點(diǎn)”，“兩人比賽一場(chǎng)”抽象為“兩點(diǎn)之間連接一條線段”，那么借助圖形的直觀就可以簡(jiǎn)明地解決問(wèn)題。（見(jiàn)右圖）對(duì)于8 個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)點(diǎn)，它與其他的7 個(gè)點(diǎn)共可以連7 條線段，因此，8 個(gè)人共可以連8×7 條線段，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間只有一條線段，所以共可以連8×7÷2 條線段。當(dāng)然，也可以讓學(xué)生總結(jié)出n個(gè)同學(xué)參加比賽的場(chǎng)次為n(n-1)÷2。因此，這幅圖較好地解釋了為什么這類(lèi)問(wèn)題如握手問(wèn)題、打電話問(wèn)題、數(shù)線段問(wèn)題可以用n(n-1)÷2 來(lái)解決。

借助圖形直觀研究問(wèn)題，通常先把研究的“對(duì)象”抽象為“圖形”，再把研究“對(duì)象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”，然后借助圖形直觀進(jìn)行思考分析解決。例如，課堂上教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)教學(xué)情境：甲身高120 厘米，比乙矮20 厘米，丙比乙矮15 厘米，甲和丙誰(shuí)高？高多少厘米？課堂上學(xué)生出現(xiàn)了兩種解法：（1）分別求出乙、丙的身高，乙：120+20=140 厘米，丙：140-15=125 厘米，125-120=5 厘米，得出丙高，高5 厘米。（2）20＞15，20-15=5 厘米，得出丙高，高5 厘米。在解決問(wèn)題時(shí)大部分學(xué)生使用的是方法1，很多學(xué)生不理解第二種解法。能讀懂別人的算法，也是很好的學(xué)習(xí)途徑，此時(shí)教師就引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段圖。（見(jiàn)右圖）學(xué)生通過(guò)三個(gè)人身高的對(duì)比，清楚地看出甲、丙兩同學(xué)身高的關(guān)系。這一教學(xué)過(guò)程凸顯了畫(huà)線段圖解決問(wèn)題的價(jià)值：借助線段圖將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，變“看不見(jiàn)”為“看得見(jiàn)”，化抽象為形象，化模糊為清晰，看圖想事、看圖說(shuō)理，學(xué)生在“畫(huà)圖、看圖、用圖”中解決了問(wèn)題。

畫(huà)線段圖實(shí)質(zhì)上是一個(gè)半抽象的過(guò)程，畫(huà)線段圖的過(guò)程就是把“語(yǔ)言描述”的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“圖形描述”的數(shù)學(xué)問(wèn)題。把圖畫(huà)準(zhǔn)了，題意就理解了，方法就出來(lái)了，有時(shí)候答案就顯而易見(jiàn)了。因此，教師在教學(xué)中要注重學(xué)生畫(huà)線段圖的能力，以此來(lái)提高學(xué)生幾何直觀能力。

三、借助幾何直觀，啟發(fā)動(dòng)態(tài)思維

幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何，也是整個(gè)數(shù)學(xué)中很重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。讓圖形動(dòng)起來(lái)，在運(yùn)動(dòng)和變換的思維中既加深了對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，又提升了幾何直觀能力。例如，已知正方形的邊長(zhǎng)為4 厘米，求陰影部分的面積。（見(jiàn)下圖）許多學(xué)生看到這個(gè)題目都束手無(wú)策，因?yàn)檫@是一個(gè)不規(guī)則的圖形。教師引導(dǎo)學(xué)生把陰影部分一分為二，再旋轉(zhuǎn)其中的一部分，看看有什么發(fā)現(xiàn)。此時(shí)學(xué)生清楚地看出陰影部分的面積是半圓面積與一個(gè)等腰直角三角形面積的差。

上述過(guò)程將靜態(tài)過(guò)程變?yōu)閯?dòng)態(tài)過(guò)程，將圖形的形成過(guò)程清楚地展示出來(lái)，將解決問(wèn)題的過(guò)程變得直觀，把看似無(wú)法解決的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明朗化，讓學(xué)生有“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的感覺(jué)。這種動(dòng)態(tài)直觀容易生成形象思維，使學(xué)生獲得深刻的情感體驗(yàn)和良好的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

綜上所述，幾何直觀是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用思考問(wèn)題的方法。因此，教師應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成用圖形符號(hào)語(yǔ)言的直觀方法來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣，提升解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。