三點支撐T形床身機床墊鐵位置多目標優(yōu)化設計

丁曉紅 張 俊 張 橫

上海理工大學機械工程學院，上海，200093

0 引言

機床的加工精度和加工效率決定于機床整機的靜動態(tài)特性，而床身的支撐方式直接影響機床整機的靜動態(tài)特性[1],墊鐵作為聯(lián)結基礎和床身的重要部件，對精密機床的加工精度有著重要的影響。目前國內(nèi)機床廠商一般根據(jù)設計經(jīng)驗選擇墊鐵數(shù)量并布置墊鐵位置，墊鐵位置通常均勻布置于床身底面。事實上，不同的墊鐵布置方案會使床身在實際加工過程中獲得不同的靜動態(tài)特性[2]，影響著機床的加工精度，合理的墊鐵位置分布可以提高加工精度，延長機床使用壽命。目前，對機床墊鐵位置的確定已引起國內(nèi)外學者的關注。趙秋紅[3]提出了三種布置床身墊鐵的方式，分別為對稱方式、橫向對稱方式、非對稱方式，根據(jù)實際的研究對象每種方式列舉了3種布置情況，隨后對這9種情況分別進行了靜力分析和模態(tài)分析，結果顯示在墊鐵以對稱方式布置情況下床身低階固有頻率最佳，固有頻率隨墊鐵數(shù)量增加緩慢增大。BUHI[4]以一個微型夾持機構為例，將其支撐位置參數(shù)化并通過幾何非線性分析模擬不同工況，最終使用連續(xù)型拓撲優(yōu)化方法確定支撐位置，結果表明該機構剛度顯著提高。

另一方面，機床的調(diào)平對加工穩(wěn)定性及精度有著重要的影響，調(diào)平不當會導致機床振動，加工質量下降，設備使用壽命縮短。傳統(tǒng)床身由多個墊鐵支撐，接觸點多，不利于床身調(diào)平。三點支撐利用三點確定一個平面的原理，可以有效提高機床可調(diào)平性、穩(wěn)定性，且明顯縮短安裝時間。三點支撐方式相對于多點支撐具有精度保持性好、內(nèi)應力小、易于調(diào)平、便于安裝等優(yōu)點[5]，已在國內(nèi)外機床企業(yè)得到應用，如德國德瑪吉公司的NHC 4000臥式加工中心、瑞士克林伯格公司的部分機床已使用三點支撐，并獲得了較高的機床加工精度[6-7]。云青等[5]結合中心復合試驗、響應面模型和多目標遺傳算法，針對三點支撐下的床身結構開展了多目標優(yōu)化設計，提高了床身的靜動態(tài)性能。

對墊鐵位置進行優(yōu)化設計，尋求墊鐵最優(yōu)支撐位置，可以在不改變床身結構的情況下，僅通過移動墊鐵支撐位置就能達到提高機床性能的目的，在機床實際設計和使用中具有重要價值。目前對機床支撐布置方式的研究，多是在位置確定情況下，或者人為改變支撐位置情況下對機床進行優(yōu)化設計，很少有文獻研究三點支撐位置的最優(yōu)布置方法。三點支撐位置的設計，需盡量保證床身上各部件總質心在床身底面的投影與三點支撐所圍成的三角形形心相重合，但在實際使用過程中由于機床工況復雜，機床在加工過程中質心時刻在發(fā)生變化，因此很難直接確定三點支撐的最優(yōu)位置。針對這種情況，本文提出了一種機床三點支撐位置多目標優(yōu)化設計方法，并以某型號精密外圓磨床的T形床身為例，開展三點支撐位置優(yōu)化設計。

1 三點支撐床身初始模型的確定

圖1a所示為某型號磨床的主要結構，主要由五大部分組成：床身、頭架、尾架、工作臺和砂輪架；圖1b所示為該型號床身結構，該床身為典型的T形結構，床身的總體尺寸為2 760 mm×1 680 mm×690 mm。根據(jù)床身結構形式，可將床身分為前后床身兩部分。前床身主要支撐工作臺、頭架和尾架等部件，其上從前至后分布兩條導軌，分別為平導軌和V形導軌；后床身用于支撐砂輪架、主軸箱等部件。

(a)磨床部件

(b)床身結構示意圖圖1 某型磨床結構Fig.1 A type of grinding machine structure

1.1 載荷工況分析

在工作狀態(tài)下,磨床工作臺等移動部件在床身上做直線往復運動，使得床身的受力情況變得十分復雜，因此如何選擇載荷工況以盡可能全面地反映其實際的工作狀況，不僅影響床身靜動態(tài)性能分析，而且對后續(xù)支撐件位置優(yōu)化有直接影響[8]。磨床導軌上的移動部件可在工作行程內(nèi)沿直線任意移動，因此床身受到移動載荷的作用。磨床受力最惡劣的磨削位置分別為左右兩個極限位置以及最常用的工作行程中間位置，因此可以將這三個位置作為待研究的載荷工況來近似模擬實際的工作過程[9]。

為了充分模擬床身受載荷情況，對床身三個位置(工作臺在前床身的左極限位置；工作臺位于導軌的正中間位置；工作臺在前床身的右極限位置)進行加載。這三個位置按三種工況來處理。圖2所示為床身不同工況的示意圖(三種工況下砂輪架的位置均保持不變)。

圖2 不同工況示意圖Fig.2 Different working conditions

1.2 三點支撐床身墊鐵初始位置

目前，T形床身的墊鐵位置一般按照床身底面的形狀來布置，其布置原則為：在8個角點上布置8塊墊鐵，在長邊1/3點上再布置兩塊墊鐵，一共10塊墊鐵，如圖3中的T1～T10所示。用三點支撐代替原有布置，可按照以下方法來確定三個支點的初始位置。

圖3 床身底面分區(qū)示意圖Fig.3 Bed bottom partition diagram

三點支撐位置的確定主要有兩個原則，要保證：①床身上各部件總質心在床身底面的投影時刻在三點支撐所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)；②三個支撐點圍成三角形的面積較大，以保證支撐的穩(wěn)定性。因此首先對床身進行分區(qū)，分別為T1T2T8T7、T3T4T5T6圍成的四邊形區(qū)域和T7T9T10、T6T9T10圍成的三角形區(qū)域，見圖3。因為要使三點支撐圍成三角形的面積盡量大，因此中心區(qū)域部分可以不選擇，只選擇四周的區(qū)域即可。T7T9T10、T6T9T10兩塊區(qū)域有所重合且重合部分靠近后床身邊緣，主要是為了將后床身支撐點布置在后床身關于Z向對稱的中軸線上，同時使該支撐點在一定程度上靠近后床身后邊緣線T9T10來盡量保證床身的穩(wěn)定性。對4塊區(qū)域編號，如表1所示。

表1 分區(qū)編號

如圖4所示，點A、B、C、D分別為區(qū)域①、②、③、④的形心，連接CD，取線段CD中點E，三個黑點A、B、E為三點支撐墊鐵初始位置。連接AE、AB、BE，△ABE為三點支撐所圍成的三角形區(qū)域。在圖2所述的三種工況下，磨床總質心在床身底面投影位置分別為a1、a2、a3，且均在△ABE內(nèi)部，初步保證了床身靜態(tài)性能。因此，三點支撐3個墊鐵的初始位置確定為A、B、E。本文將三個初始點支撐下的T形床身稱之為“原型”，在原型的基礎上進行墊鐵位置優(yōu)化。

圖4 三點支撐床身墊鐵初始位置Fig.4 Prototype of three-point support be d pad-iron position

以點O為原點建立平面直角坐標系，橫軸為Z軸，縱軸為X軸，易知線段AB為水平線，即墊鐵A和墊鐵B的縱坐標相同。得到三墊鐵A、B、E初始位置坐標如表2所示。

表2 墊鐵A、B、E初始位置

1.3 設計變量取值范圍的確定

圖5 設計變量示意圖Fig.5 Design variable diagram

圖5為設計變量在磨床床身底面示意圖，A、B、E為墊鐵，a1、a2、a3為床身及其以上部件在左極限工況、中間位置工況和右極限工況下的重心投影點。在OZX平面直角坐標系中，因為墊鐵A、B在同一水平線上，即它們的X軸坐標相等，所以3個墊鐵的位置可用5個設計變量表示：E墊鐵X軸方向位置XE；E墊鐵Z軸方向位置ZE；A墊鐵Z軸方向位置ZA；B墊鐵Z軸方向位置ZB；A、B墊鐵X軸方向位置XA(XB)。設計變量如表3所示。

表3 OZX坐標系下三個墊鐵的參數(shù)化位置

以三種工況的重心a1、a2、a3必須在三個墊鐵圍成的△ABE中為設計原則，考慮墊鐵不超出床身邊緣線的情況，討論5個設計變量ZA、XA(XB)、ZB、ZE、XE的取值上下限。

圖6中，粗實線為床身邊緣線，內(nèi)部細實線為考慮墊鐵不超出床身邊緣線情況下墊鐵位置設計范圍的包絡線。連接Aa1交包絡線于K，連接Ba3交包絡線于L。測得K點X軸坐標小于L點X軸坐標，為保證機床三個工況的重心在△ABE內(nèi)，選K點X軸坐標為E墊鐵X軸方向的最大值。為了保證支撐的穩(wěn)定性，后床身支撐應盡量靠近中線，過K點作水平線交EB、EA于K1、K2，考慮到T7T8比T5T6長80 mm，過K2沿Z軸正方向延長水平線80 mm至K3，則K1K3即為E墊鐵Z方向的設計長度。Z軸到K1K3距離為562 mm，因此XE最大取值為562 mm。

圖6 E墊鐵設計范圍的確定Fig.6 Determination of E pad-iron design range

如圖7所示，同樣考慮極限情況，連接Ea1交線段AB于K′，連接Ea3交線段AB于L′，測得K′點Z坐標為1 459 mm，L′點Z坐標為1 305 mm?！鱁K′L′為機床在左右極限位置工況下能保證結構重心在三個支撐位置所圍成三角形內(nèi)的最小三角形。為了保證支撐的穩(wěn)定性，以1.4為安全系數(shù)增大K′橫坐標，減小L′橫坐標，取整得：K′Z=2 043 mm，L′Z=932 mm。XA(XB)的取值范圍不超過包絡線。

圖7 A、B墊鐵設計范圍的確定Fig.7 Determination of A,B pad-irons design range

得到5個設計變量在平面OZX坐標系下的取值范圍如表4所示。

表4 在OZX坐標系中設計變量取值范圍的確定

2 基于靜動態(tài)性能的墊鐵位置優(yōu)化

2.1 多目標優(yōu)化數(shù)學模型

墊鐵位置優(yōu)化旨在提高床身的靜動態(tài)性能，通過調(diào)整三個墊鐵支撐位置使床身靜動態(tài)性能最優(yōu)。考慮以床身結構動剛度和靜剛度最大為目標函數(shù)，分別選擇一階固有頻率最大和床身上V形導軌的最大變形最小來綜合反映床身靜動態(tài)剛度。

以一階固有頻率最大和床身上V形導軌的最大變形最小為目標函數(shù)，以墊鐵位置為設計變量，對墊鐵位置進行多目標優(yōu)化設計。其中，優(yōu)化一階固有頻率用于提高床身動態(tài)性能，優(yōu)化V形導軌最大變形為改善床身靜態(tài)性能。

多目標優(yōu)化設計數(shù)學模型如下：

findG=(ZA,XA(XB),ZB,ZE,XE)
minD&(-f1)
s.t.Gmin≤G≤Gmax

式中，G為設計變量集；D為床身在中間位置工況下V形導軌最大變形量；f1為床身結構的第一階固有頻率；Gmin、Gmax為設計變量下限和上限。

采用鄰域培植遺傳算法(neighborhood cultivation genetic algorithm，NCGA)[10-11]在設計區(qū)域上進行多目標優(yōu)化，在Pareto優(yōu)化解集中根據(jù)實際情況選擇一個優(yōu)化結果，如表5所示。圖8所示為目標函數(shù)的迭代歷程。

表5 設計變量優(yōu)化值

圖8 多目標優(yōu)化迭代曲線Fig.8 Multi-objective optimization iterativehistory

表6所示為優(yōu)化前后墊鐵位置，圖9為優(yōu)化前后墊鐵位置分布示意圖，其中，A、B、E為優(yōu)化前墊鐵位置，A3、B3、E3為優(yōu)化后墊鐵位置。由圖9可知，墊鐵A、B、E均向Z軸靠近，在Z方向上墊鐵A、B同時往導軌中部移動，且墊鐵A移動幅度明顯大于墊鐵B的移動幅度。

表6 優(yōu)化前后三點支撐床身墊鐵位置

圖9 優(yōu)化前后墊鐵位置分布示意圖Fig.9 Schematic diagram of position distribution o f pad-irons before and after optimization

2.2 多目標優(yōu)化結果驗證

根據(jù)優(yōu)化結果對三點支撐床身墊鐵位置重新進行參數(shù)化建模。在此基礎上，對床身的三種工況進行靜動態(tài)性能分析，分析結果與原型床身分析結果對比如表7所示。

表7 優(yōu)化前后三種工況下V形導軌位移最大變形量對比

表7可以看出，左極限位置工況、中間位置工況和右極限位置工況下，V形導軌最大變形量分別減小34.6%、33.2%和32.2%，平均減小率為33.3%。從V形導軌最大變形評價指標看，床身結構靜態(tài)性能得到提高，加工精度有所提高。

圖10所示為中間位置工況下原型及多目標優(yōu)化后V形導軌位移變形量沿Z坐標方向變化情況。圖10橫坐標為選取的V形導軌沿Z方向直線的節(jié)點，直線具體位置如圖11所示。由圖10可以看出，多目標優(yōu)化后V形導軌變形曲線在原型床身變形曲線的下方，且優(yōu)化后V形導軌變形量顯著減小，最大變形差(最大變形量減去最小變形量)為5 μm。進一步引入V形導軌變形方差作為評價床身靜態(tài)性能的指標，由圖10所示的數(shù)據(jù)點計算得到優(yōu)化前后工作臺在中間位置工況下V形導軌變形方差如表8所示。

圖10 優(yōu)化前后V形導軌Z方向變形曲線對比Fig.10 Comparison of V-rail Z-direction deformatio n curves before and after optimization

表9所示為優(yōu)化前后磨床床身結構前6階固有頻率對比，可以看出三個墊鐵位置優(yōu)化后，除了床身第3階固有頻率減小外，其余前5階固有頻率均增大。由于在對床身進行多目標優(yōu)化時，最大化一階固有頻率為其中一個優(yōu)化目標，故一階固有頻率上升值為8.7%。

綜上所述，墊鐵位置優(yōu)化后，V形導軌最大變形、變形方差和一階固有頻率均得到改善，實現(xiàn)了優(yōu)化床身靜動態(tài)性能的目標。

圖11 選取的V形導軌沿Z方向直線Fig.11 The line selected on the V-rail along Z direction

原型優(yōu)化后變化率(%)變形量方差S27.153.03-57.6

表9 優(yōu)化前后床身前6階固有頻率對比

3 三點支撐床身墊鐵位置布置準則探討

利用NCGA算法對三點支撐床身墊鐵位置進行多目標優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解集和Pareto前沿如圖12所示,圖中，圓點為Pareto最優(yōu)解集；曲線為Pareto前沿；方點為優(yōu)化迭代過程后得到的優(yōu)化解。接近Pareto前沿的解更優(yōu)。

圖12 三點支撐床身墊鐵位置的Pareto最優(yōu)解集Fig.12 Pareto optimal solution set of three-poin t supporting bed pad-iron position

根據(jù)圖12的Pareto前沿可畫出三個墊鐵優(yōu)化位置的散點集，如圖13所示。黑點表示墊鐵的優(yōu)化位置；圓圈表示三個工況下機床重心在床身底面的投影點；粗實線為床身邊緣線；內(nèi)部細實線為考慮墊鐵不超出床身邊緣線情況下墊鐵位置設計范圍的包絡線。

圖13 墊鐵優(yōu)化位置散點圖Fig.13 Scatterplot of optimized pad-iron location

為了便于得到三個墊鐵優(yōu)化位置的關系，用包含墊鐵A、B、E的最小矩形優(yōu)化位置散點，用線段a代表機床質心位置，如圖14所示。

圖14 墊鐵優(yōu)化位置與床身尺寸位置關系圖Fig.14 Optimal pad-iron positions and bed size

通過探究Pareto最優(yōu)解集下三點支撐床身墊鐵位置與機床重心及床身總體尺寸之間的關系得出T形床身墊鐵布置原則如下：

(1)不同位置工況下機床重心在底面的投影均必須在三點支撐圍成的三角形內(nèi)；

(2)三點支撐圍成三角形的形心沿X軸負方向到機床重心連線的垂直距離取尺寸w的4.0%～10.5%較好；

(3)三點支撐圍成三角形的形心到X軸垂直距離取尺寸l的44.2%～48.2%較好；

(4)墊鐵A到X軸垂直距離取尺寸l的73.2%～78.5%較好；

(5)墊鐵A到Z軸垂直距離取尺寸w的82.1%～89.3%較好；

(6)墊鐵A、B之間的Z向距離取尺寸l的54.2%～63.4%較好；

(7)墊鐵E到X軸垂直距離取尺寸l的44.7%～46.6%較好；

(8)墊鐵E到AB連線的垂直距離取尺寸w的60.6%～72.1%較好。

4 結論

(1)本文以隨工作臺運動的機床整機質心在床身底面投影點落在三個支撐點圍成的三角形內(nèi)和墊鐵不超出床身邊緣線為設計原則，運用極限位置法確定設計變量取值范圍。建立多目標優(yōu)化數(shù)學模型，采用NCGA算法對三個墊鐵位置進行基于床身靜動態(tài)性能的多目標優(yōu)化。以V形導軌最大變形量和一階固有頻率為評價指標，對三點支撐墊鐵位置進行優(yōu)化設計，優(yōu)化后的床身靜動態(tài)性能均得到了提升。

(2)經(jīng)過多目標優(yōu)化得到Pareto解集后，以最小矩形包圍優(yōu)化三個墊鐵位置散點集，通過計算最小矩形、三個支撐點所圍成三角形的形心和床身總體尺寸的關系確定T形床身三點支撐位置布置原則，為三點支撐床身墊鐵位置設計提供一種新思路。