基于增量理論的板材軸對稱成形直接積分解法

秦泗吉 孔曉華 楊 莉

燕山大學(xué)先進(jìn)成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島,066004

0 引言

對于圓盤類零件的軸對稱塑性力學(xué)問題，LEE-WU[1]基于薄板理論并在平面應(yīng)力及簡單加載等假設(shè)條件下，給出了直接積分求解的方法，從而改進(jìn)了需不斷迭代才能得到解析解的方法[2]。劉幺和等[3]、高國華[4]將這種解法用于求解軸對稱沖壓成形中法蘭區(qū)應(yīng)力應(yīng)變。秦泗吉等[5-6]在此基礎(chǔ)上，將直接積分解法從求解平面內(nèi)的軸對稱問題推廣至一般軸對稱曲面問題。尋求理論解有助于進(jìn)一步分析板材成形過程中的破裂及起皺等基礎(chǔ)問題[7-8]。

對板材軸對稱成形問題，采用平面應(yīng)力假設(shè)比采用平面應(yīng)變假設(shè)條件更符合實(shí)際[5,9]，但解法中所采用的比例加載條件在大變形情況下與實(shí)際相差較大，有時(shí)不能得到令人滿意的結(jié)果。

文獻(xiàn)[1,3-5]選擇了現(xiàn)時(shí)構(gòu)形為參考構(gòu)形，在比例加載等假設(shè)條件下采用直接積分解法進(jìn)行求解，這種方法可使所描述的問題直觀化，且由于應(yīng)變的計(jì)算是一次加載得到的，不需要跟蹤變形質(zhì)點(diǎn)，因此方程式和求解過程也相對簡單。而當(dāng)采用增量理論進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，需要跟蹤變形質(zhì)點(diǎn)，以方便累加計(jì)算變形質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變，顯然，這種情況下，應(yīng)選擇初始構(gòu)形作為參考構(gòu)形。

本文基于增量理論，在平面應(yīng)力和薄板理論等假設(shè)條件下，選擇初始構(gòu)形為參考構(gòu)形，通過引入?yún)⒆兞拷?yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系，分析得到了軸對稱成形問題的應(yīng)力參數(shù)方程、等效應(yīng)變增量參數(shù)方程、協(xié)調(diào)方程，以及微分平衡方程等。在此基礎(chǔ)上，化簡消元得到了等效應(yīng)變增量和參變量的二元方程。以圓筒形件和圓錐形件的成形為例，采用直接積分?jǐn)?shù)值解法求出了各變形區(qū)的應(yīng)變分布，分別對增量理論和比例加載假設(shè)條件下的兩種方法得到的解析結(jié)果進(jìn)行了分析，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較。

1 基于增量理論的基本方程

1.1 應(yīng)力參數(shù)方程和應(yīng)變增量參數(shù)方程

假設(shè)板材面內(nèi)同性、厚向異性，當(dāng)厚度方向的應(yīng)力為0時(shí)，根據(jù)等效應(yīng)力的定義[9]， 有

(1)

式中，σρ、σθ、σ分別為徑(經(jīng))向應(yīng)力、周向應(yīng)力和等效應(yīng)力；R為板厚方向性系數(shù)。

根據(jù)增量理論，應(yīng)變增量與應(yīng)力之間的關(guān)系如下：

(2)

(3)

將式(2)代入式(3)，可以得到應(yīng)變增量的參數(shù)方程：

(4)

可以驗(yàn)證，式(4)滿足等效應(yīng)變增量的定義：

(5)

1.2 基于初始構(gòu)形的變形協(xié)調(diào)方程

如圖1所示，從圓盤或圓環(huán)的平板毛坯變形為軸對稱殼體，采用初始構(gòu)形為參考構(gòu)形，設(shè)變形前某一微圓環(huán)初始內(nèi)外徑分別為ρ和ρ+dρ，若對應(yīng)半徑為ρ的質(zhì)點(diǎn)變形后的徑向位移為u，則變形后微曲面形圓環(huán)的外緣徑向尺寸為ρ+u+dρ+du。α、α+dα分別為上下緯端面處的母線切線與對稱軸的夾角。

圖1 初始構(gòu)形下的軸對稱成形問題變形分析圖Fig.1 Deformation analysis diagram of axisymmetri c forming problem under initial configuration

由應(yīng)變的定義可以得到徑向應(yīng)變ερ和周向應(yīng)變εθ分別為

(6)

(7)

消去u后，得

(8)

將α=/2代入式(8)可得平面軸對稱問題的協(xié)調(diào)方程：

(9)

式(8)可用增量應(yīng)變形式表示如下：

(10)

式中，ερ0和εθ0分別為增量加載前的徑向和周向應(yīng)變，它們是質(zhì)點(diǎn)初始位置的函數(shù)。

1.3 微分平衡方程

在軸對稱殼體零件成形中，每一個(gè)變形質(zhì)點(diǎn)的主軸方向?yàn)榻?jīng)向、緯向及法向，對應(yīng)的三個(gè)方向的應(yīng)力分別表示為σρ、σθ和σz。如圖2所示，參照文獻(xiàn)[5-6]的分析方法，在二個(gè)相鄰的緯錐面上截取一微錐殼體，然后沿軸對稱線剖開。圖中，ds為微錐殼體的經(jīng)向弧長；ρ+u、ρ+u+dρ+du分別為微錐殼體的上下端緯面至對稱軸的距離；σρ、σρ+dσρ分別為上下緯端面上作用的經(jīng)向應(yīng)力；σθ為作用于微錐殼體上的緯向應(yīng)力。

圖2 半微錐形圓環(huán)的受力分析圖Fig.2 Force analysis diagram of semi-micr o conical ring

分別以t、t+dt表示上下緯端面的厚度。設(shè)作用于殼體內(nèi)表面的單位壓力為p，以半微錐環(huán)為研究對象，分別在軸線方向和剖面的法線方向列平衡條件，得

(11)

消去p可得

d[σρt(ρ+u)]=σθtsinαds

(12)

由于ds=dρ/sinα，因此

d[σρt(ρ+u)]=σθtd(ρ+u)

(13)

展開式(13)，利用式(6)和式(7)消去u，并根據(jù)體積不變條件，得

(14)

采用增量求解方法時(shí)，式(14)可進(jìn)一步表示為

ρdσρ/dρ-ρσρd(δερ+δεθ+ερ0+εθ0)/dρ=
(σθ-σρ)sinαexp(δερ-δεθ+ερ0-εθ0)

(15)

顯然，分別以初始構(gòu)形和現(xiàn)時(shí)構(gòu)形為參考構(gòu)形得到的微分平衡方程是完全不同的。

1.4 材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

設(shè)材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系符合Hollomon硬化法則

σ=Bεn

(16)

式中，B為材料的強(qiáng)度系數(shù)；n為硬化指數(shù)。

式(16)中的等效應(yīng)變ε可由下式得到：

(17)

(18)

若用ε0表示增量加載前的等效應(yīng)變，由于一般情況下應(yīng)變不成比例增加，因此，ε≠ε0+ε。即需要先按式(18)計(jì)算出各應(yīng)變分量，才能由式(17)計(jì)算得到等效應(yīng)變。這說明，同一質(zhì)點(diǎn)的各應(yīng)變分量可以累加計(jì)算，而等效應(yīng)變的計(jì)算則不能累加。這使得采用增量理論方法求解更加復(fù)雜。

式(3)、式(4)、式(10) 、式(15)和式(17)給出了包含σ、ε、σρ、σθ、ερ、εθ、ρ以及ω共8個(gè)變量7個(gè)方程，當(dāng)邊界條件和參數(shù)ω給定時(shí)，方程可解。

因變形質(zhì)點(diǎn)初始位置ρ與變形瞬間的坐標(biāo)位置有一一對應(yīng)關(guān)系，因此求得的結(jié)果可容易地轉(zhuǎn)換成各變量與坐標(biāo)位置的關(guān)系。

2 直接積分解法

2.1 求解方程

由式(3)、式(16)分別可得

(19)

(20)

由式(10)和式(15)消去ρ，并將式(3)、式(19)和式(20)代入，化簡后可得

(21)

另由式(4)可得

(22)

(23)

將式(22)和式(23)代入式(21)，得

(24)

a0=dεθ0/dωa1=sin(ω+β)a2=cos(ω+β)

fa=exp(ερ0-εθ0-2sinωcosβδε)/sinα-1

b0=-tan(ω+β)-d(ερ0+εθ0)/dω+nf0

b1=-2sinβcosω+nf1b2=2sinβsinω+nf2

fb=2sinωsinβsinαexp(ερ0-εθ0-2sinωcosβδε)/a2

式(24)可進(jìn)一步表示為

(25)

(26)

2.2 直接積分解法及收斂性分析

對平面內(nèi)的軸對稱問題，采用比例加載假設(shè)條件時(shí)，因應(yīng)變的一階導(dǎo)數(shù)可以表示成應(yīng)變和參變量的顯式函數(shù)，因此可方便地采用直接積分解法進(jìn)行求解[1,3-5]。同樣地，采用增量理論時(shí)，對軸對稱平面內(nèi)的成形，如拉深過程中的法蘭區(qū)，α為定值，式(26)等式右端不含dε/ω項(xiàng)，這樣可以由ε及ω直接求出dε/ω，因此也能采用積分解法直接求解。

對一般軸對稱曲面零件的成形，當(dāng)成形制件的形狀一定時(shí)，α可以表示成質(zhì)點(diǎn)位置ρ的函數(shù)。而變形質(zhì)點(diǎn)ρ又是ε、dε/ω及ω的函數(shù)，因而α也是ε、dε/ω及ω的函數(shù)。這樣，式(26)的左右端都包含應(yīng)變的一階導(dǎo)數(shù)，一般來說，已知ε和ω，需要反復(fù)迭代才能求出dε/ω，這給求解過程帶來不便。

參照文獻(xiàn)[5]在比例加載假設(shè)條件下的分析方法，采用增量理論對一般軸對稱曲面零件成形問題進(jìn)行求解，其求解過程和收斂性分析如下：

(27)

將式(26)代入式(27)，得

(28)

設(shè)ωi+1是ωi的鄰近點(diǎn)，由式(28)可知

(29)

ωi+1=ωi+1-ωi

一般情況下，因方程的左右端都含等效應(yīng)變增量的一階導(dǎo)數(shù)，由式(26)不能直接得到dε/dω與ε、ω的關(guān)系，需重新考查積分求解過程。

(30)

將式(30)代入式(29)，得

(31)

(32)

(33)

(1)將區(qū)間(ω0,ω)等分成N段，則ω=(ω-ω0)/N，ωi=ω0+iω(i=1，2，…,N)。εi是對應(yīng)ωi的等效應(yīng)變增量。

(34)

(35)

(4)一般地，i(i≥2)為任意值時(shí)，εi都可近似用式(33)計(jì)算?？紤]到和則對于任意ω(ω>ω1)對應(yīng)的應(yīng)變增量ε近似為

(36)

3 應(yīng)用舉例

為了進(jìn)一步說明和驗(yàn)證上文的理論分析過程，首先以圓筒形件的拉深成形為對象，采用理論分析方法計(jì)算法蘭區(qū)和凹模圓角區(qū)的應(yīng)變分布并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對照。

理論分析和實(shí)驗(yàn)所用的材料為ST16。性能參數(shù)為：強(qiáng)度系數(shù)B=511.4 MPa，硬化指數(shù)n=0.26，板厚方向性系數(shù)R=2.243。初始板坯尺寸：直徑為110 mm，厚度為0.87 mm。成形凸模外徑為50 mm，凸模圓角為5 mm，凹模圓角為9.1 mm。壓邊力為10 kN。

設(shè)壓邊力為F，摩擦因數(shù)為μ，若摩擦力全部作用于法蘭的外緣，即當(dāng)位置半徑為Rw時(shí)，徑向應(yīng)力σρ=F/(Rwtw)，其中，tw為法蘭外緣對應(yīng)的板坯厚度。邊界條件為：等效應(yīng)變ε0=ln(R0/Rw)，ω0=2-arccosγ-β。其中，γ=當(dāng)不考慮摩擦，徑向應(yīng)力初值為0時(shí)，ω0=3/2-β。考慮實(shí)驗(yàn)中采用了薄膜潤滑條件，與文獻(xiàn)[5]一致，取μ=0.06。

由于在法蘭區(qū)α=/2，根據(jù)給出的初始應(yīng)變和參變量邊界條件，可由式(26)直接求出等效應(yīng)變增量的一階導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而逐步求出法蘭區(qū)的應(yīng)變增量和應(yīng)變。當(dāng)計(jì)算進(jìn)行至凹模圓角區(qū)時(shí)，因其法蘭區(qū)鄰近點(diǎn)的等效應(yīng)變增量和一階導(dǎo)數(shù)都是已知的，故仍可根據(jù)前面的求解方法得到等效應(yīng)變增量的一階導(dǎo)數(shù)，從而完成后續(xù)點(diǎn)的應(yīng)變求解過程。在每一個(gè)加載步，N值全部取1 000(計(jì)算表明，N值繼續(xù)增大時(shí)，計(jì)算精度沒有顯著變化)。

在材料模型參數(shù)、模具尺寸、板坯尺寸以及壓邊力等成形條件與實(shí)驗(yàn)相同的情況下，分別采用增量理論和比例加載假設(shè)條件的理論方法進(jìn)行分析，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)采用文獻(xiàn)[5]給出的方法和結(jié)果，限于篇幅，具體實(shí)驗(yàn)和測量方法本文不再贅述。

采用增量理論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，法蘭外緣相對位置半徑r/R0加載至0.858時(shí)，增量加載步數(shù)取5步，相對位置半徑至0.807時(shí)，增量加載步數(shù)再增加2步。每一個(gè)增量步按幾何平均值選取。

圖3為采用增量理論逐步加載計(jì)算得到的徑(經(jīng))向應(yīng)變和周向應(yīng)變沿坐標(biāo)位置的分布曲線。曲線1～7分別對應(yīng)1～7次的加載步。橫坐標(biāo)表示徑向相對坐標(biāo)值r/R0。計(jì)算結(jié)果顯示，變形程度較小時(shí)，凹模圓角區(qū)應(yīng)變絕對值小于鄰近的法蘭區(qū)應(yīng)變絕對值，但隨著變形程度的不斷增大，凹模圓角區(qū)的應(yīng)變絕對值逐漸增大直至最大，這與拉深過程中的實(shí)際情況是一致的。

圖3 應(yīng)變分布圖(增量理論計(jì)算值)Fig.3 Strain distribution curves(by incremental theory)

可將兩向應(yīng)變以應(yīng)變狀態(tài)圖的形式表示，如圖4所示,圖中曲線1～7分別對應(yīng)1～7次的加載步。借助于應(yīng)變狀態(tài)圖，更容易判斷兩向應(yīng)變間的關(guān)系、加載路徑和變形方式，以及便于進(jìn)行成形極限分析等。圖4表明，在加載過程中，法蘭區(qū)的應(yīng)變增加較平緩，而凹模圓角區(qū)應(yīng)變增加較劇烈。圖4中還給出了初始相對位置ρ/R0在0.607～1之間的5個(gè)變形質(zhì)點(diǎn)在不同加載步下的應(yīng)變值。ρ/R0=1表示法蘭外緣的質(zhì)點(diǎn)，ρ/R0=0.607表示接近凹模口的質(zhì)點(diǎn),ρ/R0介于0.864～1之間為法蘭區(qū)，ρ/R0介于0.864～0.607之間為凹模圓角區(qū)。

圖4 應(yīng)變狀態(tài)圖(增量理論計(jì)算值)Fig.4 Diagram of strain state(by incremental theory)

為了更清楚地表示同一質(zhì)點(diǎn)在加載過程中兩向應(yīng)變的關(guān)系，將各質(zhì)點(diǎn)在逐次加載中的應(yīng)變值另表示在圖5中。分析表明，隨著變形過程的進(jìn)行，在法蘭區(qū)的變形質(zhì)點(diǎn)應(yīng)變接近成比例增大，而在凹模圓角區(qū)，變形質(zhì)點(diǎn)應(yīng)變不完全符合按比例增大的條件。

圖5 部分變形質(zhì)點(diǎn)兩向應(yīng)變關(guān)系Fig.5 Relationship between two-direction strain o f partially deformed particles

圖6所示為拉深件法蘭外緣相對半徑Rw/R0分別為0.858和0.807時(shí)，分別采用比例加載假設(shè)條件和增量理論兩種方法計(jì)算得到的應(yīng)變值以及實(shí)驗(yàn)值沿徑向坐標(biāo)位置r/R0的分布情況。可以看出，兩種理論方法計(jì)算得到的結(jié)果在法蘭區(qū)相差很小，這進(jìn)一步驗(yàn)證了圖5的分析結(jié)果。周向應(yīng)變在整個(gè)區(qū)域都相差很小(兩條曲線基本重合)，徑向應(yīng)變在法蘭區(qū)相差較小，在凹模圓角區(qū)，采用增量理論求解得到的計(jì)算結(jié)果稍小。圖6中的離散點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，即采用增量理論計(jì)算得到的結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)值。

圖7還給出了圓錐形件拉深成形各變形區(qū)應(yīng)變分布的理論值和實(shí)驗(yàn)值，法蘭外緣相對半徑Rw/R0分別為0.878和0.838。理論計(jì)算分別采用了比例加載和增量理論的方法，其中增量理論總加載次數(shù)為7。實(shí)驗(yàn)值采用了文獻(xiàn)[6]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，理論計(jì)算的邊界條件也與文獻(xiàn)[6]一致。圖中光滑曲線和離散點(diǎn)分別表示理論值和實(shí)驗(yàn)值。

圖7表明，在法蘭區(qū)、凹模圓角區(qū)及懸空側(cè)壁區(qū)的應(yīng)變分布理論計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分布趨勢吻合，采用增量理論得到的計(jì)算值更接近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中法蘭區(qū)和凹模圓角區(qū)應(yīng)變分布規(guī)律與圓筒形件的結(jié)果一致。

(a)Rw/R0=0.807

(b)Rw/R0=0.858圖6 圓筒形件應(yīng)變分布理論值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.6 Comparison of theoretical and experimenta l values of strain distributions of cylindrical part

(a)Rw/R0=0.878

(b)Rw/R0=0.838圖7 圓錐形件應(yīng)變分布理論值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.7 Comparison of theoretical and experimenta l values of strain distributions of conical part

圖6和圖7還表明，在凹模圓角區(qū)的徑向應(yīng)變計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值相差稍大，這主要是因?yàn)榘迮髟诎寄A角區(qū)發(fā)生了彎曲變形。而對于圓錐形件而言，由于板坯離開凹模圓角后又產(chǎn)生了反向彎曲，使得懸空側(cè)壁區(qū)的計(jì)算值又稍接近于實(shí)驗(yàn)值。對于圓筒形件的成形，文獻(xiàn)[5]考慮了凹模圓角彎曲的影響，分析得到的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值更吻合。限于篇幅，這里不討論板坯內(nèi)外層的區(qū)別以及板坯經(jīng)過凹模圓角因產(chǎn)生彎曲和反彎曲而引起應(yīng)變的變化。

前文分析過程中所給出的基本方程適用于軸對稱拉深、脹形和翻邊等成形方式，因而該方法在添加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件后，也適用于這些變形方式對應(yīng)問題的求解。

4 結(jié)論

(1)對于一般軸對稱成形問題，在平面應(yīng)力和薄板理論等假設(shè)條件下，以初始構(gòu)形為參考構(gòu)形，采用參數(shù)分析方法，根據(jù)平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、增量理論以及材料的等效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系等方法分析得到了等效應(yīng)變增量的微分方程。

(2)對于軸對稱曲面零件的成形問題，給出了當(dāng)?shù)刃?yīng)變增量一階導(dǎo)數(shù)不能表示成顯式函數(shù)時(shí)的直接積分解法，并對收斂性進(jìn)行了分析。

(3)以圓筒形件和圓錐形件的拉深成形為例，將總變形分成7個(gè)增量加載步，采用增量理論解法，求解得到了法蘭區(qū)和凹模圓角區(qū)的應(yīng)變分布。結(jié)果表明，變形過程中法蘭區(qū)的變形質(zhì)點(diǎn)接近比例加載條件，而凹模區(qū)的變形質(zhì)點(diǎn)采用增量理論求解更接近實(shí)驗(yàn)值。