借助幾何直觀 提高計(jì)算能力
——以《乘法和除法復(fù)習(xí)》一課教學(xué)為例

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校 李沛璇

幾何直觀主要是指用圖形描述問(wèn)題和分析問(wèn)題，幫助學(xué)生把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明和形象，促進(jìn)學(xué)生獲得探索解決問(wèn)題的思路和預(yù)測(cè)結(jié)果。低年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的形成更多地依賴于直觀，怎樣用直觀的方式表現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)是教師需要思考的。許多數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，不僅具有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”。對(duì)于數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)而言，不妨利用圖形的幾何直觀，以數(shù)形結(jié)合的方式，幫助學(xué)生理解和學(xué)習(xí)抽象的內(nèi)容與方法，把握計(jì)算的本質(zhì)，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。本文以《乘法和除法復(fù)習(xí)》為例，談?wù)剮缀沃庇^在教學(xué)中的運(yùn)用。

一、由數(shù)到形，結(jié)合幾何直觀體會(huì)算式本質(zhì)

片段一：由算式編題。

同學(xué)們，今天我們來(lái)復(fù)習(xí)乘法和除法（出示板貼：乘法和除法復(fù)習(xí)），大家拿出課前的學(xué)習(xí)單，一起交流，你是怎樣認(rèn)識(shí)乘法和除法的。

出示學(xué)習(xí)單：

1.2×6 12÷3

（1）上面的乘法算式是（ ），你能畫圖表示這道算式并編一道題目嗎？

畫圖：

題目：

（2）上面的除法算式是（ ），你能畫圖表示這道算式并編一道題目嗎？

畫圖：

題目：

反思：在乘法和除法已經(jīng)學(xué)過(guò)的情況下，本節(jié)復(fù)習(xí)課最需要做的就是整合乘法和除法的知識(shí)點(diǎn)，把乘法和除法還原到最本質(zhì)的含義，建立乘除法的知識(shí)關(guān)聯(lián)體系，使學(xué)生在理解形與數(shù)的基礎(chǔ)上，有效提取并建構(gòu)抽象數(shù)的算理與規(guī)律。在課的一開(kāi)始以學(xué)習(xí)單的形式出現(xiàn)，由算式想到畫圖形編題目，結(jié)合幾何直觀和數(shù)學(xué)表達(dá)，整合乘法和除法的知識(shí)，這個(gè)知識(shí)正是本課需要讓學(xué)生理解的核心部分。教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了畫一畫、編一編、說(shuō)一說(shuō)的表征過(guò)程，體驗(yàn)了從算式到圖形，再到設(shè)計(jì)題目的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程由數(shù)到形，借助幾何直觀，化抽象為具象，在交流和比較中激活學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生能真正理解算式的本質(zhì)，意識(shí)、體會(huì)到結(jié)合幾何直觀的作用，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

二、多層次對(duì)比，借助幾何直觀建構(gòu)知識(shí)體系

片段二：復(fù)習(xí)乘法。

1.2個(gè)6。

第1題，誰(shuí)先來(lái)。一生上前，作業(yè)投影匯報(bào)。

生1：我畫的圖是有兩份，每份6個(gè)，一共有12個(gè)圓片。

師：聽(tīng)出來(lái)了，他用了2個(gè)6（在作業(yè)紙上標(biāo)注6，6）來(lái)表示算式2×6。

故事呢？生繼續(xù)匯報(bào)。

師：他的故事能不能用2×6來(lái)表示？打√。（小組加星）設(shè)疑：這位同學(xué)用2個(gè)6表示2×6，有沒(méi)有其他不一樣的想法的？

2.6個(gè)2。

生2：我畫的圖有6份，每份2個(gè)，一共有12個(gè)。

師：剛才那位同學(xué)畫的是2個(gè)6，他畫的是？（在圖上標(biāo)注 2，2，2，2，2，2）畫了幾個(gè) 2？你的故事是？能用2×6表示嗎？打√。（小組加星）

3.對(duì)比小結(jié)。

這2個(gè)圖，我們來(lái)比比看，有什么相同，有什么不同？（放在一起）

生3：都是12個(gè)，不同的是一個(gè)是2個(gè)6，另一個(gè)是6個(gè)2。

師：不管是2個(gè)6還是6個(gè)2，都是用（板書：幾個(gè)幾）來(lái)表示一共有多少個(gè)？（板書：一共）

換一種說(shuō)法，知道了幾個(gè)幾要求一共有多少個(gè)？（板書：弧線）可以用什么方法來(lái)算？（板書：×）

設(shè)疑：知道幾個(gè)幾合起來(lái)求一共多少用乘法計(jì)算，那什么時(shí)候用除法呢？

片段三：復(fù)習(xí)除法。

1.包含除。

還是來(lái)看學(xué)習(xí)單。生匯報(bào)。

△△△ △△△ △△△ △△△

師在作業(yè)紙上寫：每份3個(gè)。他的故事可以用12÷3表示嗎？有不同想法嗎？（把除數(shù)3與其中一圈連起來(lái)）（小組加星）

2.等分除。

一生上前，展示作業(yè)。

△△△△ △△△△ △△△△

師：他怎么理解這個(gè)除數(shù)3的？（板書在作業(yè)上：3份）（把除數(shù)3與三個(gè)圈分別連起來(lái)）（小組加星）

3.對(duì)比小結(jié)。

師：兩份作業(yè)放一起對(duì)比。他們對(duì)3有了不同的理解，一個(gè)是？一個(gè)是？每份是3個(gè)也好，還是3份也好，都在把誰(shuí)，怎么樣？是呀，不管是分蘋果，分梨……只要每份同樣多，都可以用除法表示，在這里除法就表示（平均分）。

師：現(xiàn)在知道什么時(shí)候用除法嗎？生答。（小組加星）

師：結(jié)合黑板上的圖，就是把一共的個(gè)數(shù)？（弧線向左）平均分成了？（幾個(gè)幾）（板書：÷）

4.總結(jié)。

師：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，你來(lái)說(shuō)說(shuō)什么時(shí)候用乘法？什么時(shí)候用除法？看來(lái)，乘法和除法之間還是有關(guān)系的。正過(guò)來(lái)想是乘法，反過(guò)來(lái)想就是除法。同桌兩人互相說(shuō)說(shuō)自己的學(xué)習(xí)單，看對(duì)方會(huì)給你提出什么好的建議。大家真是學(xué)習(xí)的小主人。

反思：

第一層對(duì)比：兩種除法含義的對(duì)比。在教學(xué)除法的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于包含除和等份除理解不到位，不能區(qū)分出兩者的不同，所以在本節(jié)復(fù)習(xí)課上，筆者著重強(qiáng)調(diào)了兩種除法含義的區(qū)別，借助幾何直觀，從除數(shù)3的兩個(gè)不同含義（即表示有3份或每份有3個(gè)）入手，用箭頭來(lái)強(qiáng)調(diào)區(qū)別，幫助學(xué)生來(lái)比較和區(qū)分。

第二層對(duì)比：兩種乘法含義的對(duì)比。其中，乘法算式2×6可以有兩種理解，一個(gè)是2個(gè)6，一個(gè)是6個(gè)2，借助幾何直觀，學(xué)生對(duì)比兩幅圖可以明確區(qū)分并且表達(dá)出兩種不同的含義。

第三層對(duì)比：乘除法的對(duì)比。借助幾何直觀，學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法是把幾個(gè)相同數(shù)合起來(lái)，而除法是把總數(shù)平均分，通過(guò)展示交流學(xué)生畫的圖，直觀清楚地解釋了其間的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，建構(gòu)乘法和除法的知識(shí)體系，使學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中體驗(yàn)到幾何直觀的作用，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

三、由形到數(shù)，運(yùn)用圖形演繹發(fā)散思維

片段四：圖形→算式。

師：現(xiàn)在我們來(lái)看看每個(gè)小組得了幾顆星？（每個(gè)組都是5顆星）同學(xué)們，你們表現(xiàn)得真棒！看到這個(gè)圖你能想到什么算式？

生匯報(bào)：5×3＝15，3×5＝15，15÷5＝3，15÷3＝5（師板書）。

生補(bǔ)充：5+5+5=15。

師：你說(shuō)的是加法，你覺(jué)得和上面誰(shuí)可以做朋友？

預(yù)設(shè)：

生：加和乘是把一個(gè)東西合起來(lái)，減和除是把一個(gè)東西分下來(lái)。

師：（在黑板上“×”旁邊寫上合）加法和乘法你更喜歡哪個(gè)？為什么？

生：乘法，求幾個(gè)相同加數(shù)的和用乘法比較簡(jiǎn)單。

師：你還想到什么？

生：15-5-5-5＝0。

師：寫在哪？

生：除法算式的下面。

師：每次減5，減了3次5等于0，說(shuō)明15里面有3個(gè)5，像這樣從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去相同的數(shù)，就可以用除法算式來(lái)表示。你們喜歡哪種表示方法？

生：除法，因?yàn)楦?jiǎn)潔。

（在黑板上“÷”旁邊寫上分）

小結(jié)：大家表現(xiàn)真棒，由圖形想到乘，想到除，還想到加，想到減。剛剛兩組同學(xué)回答特別積極，分別加上一顆星。現(xiàn)在圖片發(fā)生了什么變化？你會(huì)列算式嗎？

大家在作業(yè)本上列一列算式。

誰(shuí)來(lái)匯報(bào)，并說(shuō)說(shuō)你是怎樣想的？

生：2×6+5＝17；3×6-1＝17。

反思：利用分組評(píng)價(jià)得星的圖，就地取材，結(jié)合幾何直觀創(chuàng)設(shè)情境，用同一圖形給出一個(gè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)言交流，再對(duì)圖形進(jìn)行一些變化，把加減乘除、乘加乘減等算式都聯(lián)系起來(lái)，有利于直觀呈現(xiàn)學(xué)生感知的數(shù)學(xué)事實(shí)，有助于學(xué)生感知其中的內(nèi)在聯(lián)系。從學(xué)生的答案中來(lái)看，借由數(shù)形結(jié)合與比較辨析，溝通了除法和減法之間的關(guān)系，突破了難點(diǎn)。此間，可以幫助學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思維的培養(yǎng)——舉一反三、逆向思維等，學(xué)生通過(guò)這樣的課程教學(xué)，思維得以拓展，學(xué)習(xí)能力會(huì)顯著提升。?