“動能+勢能”的守恒定律歸類例析

重慶

(作者單位：重慶市第三十七中學(xué)校)

能量守恒，此消彼長

功能關(guān)系指的是“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”，力對物體做了多少功就有多少能量(該力對應(yīng)的能)發(fā)生轉(zhuǎn)化，如果擴(kuò)大研究系統(tǒng)，雖然有力做功，但系統(tǒng)的總能量仍保持不變，只是系統(tǒng)內(nèi)不同種類的能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化，即“此消彼長”。如：只有重力做正功，物體的重力勢能減少，動能增加，且減少的重力勢能等于增加的動能，但動能和重力勢能的總和保持不變，機(jī)械能守恒。高中物理中這樣的守恒形式還有很多，筆者總結(jié)了動能與勢能相互轉(zhuǎn)化但總量保持不變的系列守恒定律，如下表所示：

條件守恒規(guī)律物理情景備注只有重力做功“動能+重力勢能”守恒(機(jī)械能守恒)拋體運(yùn)動只有彈簧彈力做功“動能+彈性勢能”守恒(機(jī)械能守恒)只有電場力做功“動能+電勢能”守恒(不計重力)只有重力和彈簧彈力做功“動能+重力勢能+彈性勢能”守恒(機(jī)械能守恒)只有重力和電場力做功“動能+重力勢能+電勢能”守恒只有彈簧彈力和電場力做功“動能+彈性勢能+電勢能”守恒只有重力、彈簧彈力和電場力做功“動能+重力勢能+彈性勢能+電勢能”守恒動能是研究對象的動能,重力勢能是地球和研究對象共有,彈簧的彈性勢能是彈簧獨(dú)有,由于不存在孤立的兩個分子,這里暫不考慮分子勢能。

機(jī)械能守恒的情形比較普遍，在此不再贅述。

【例1】(“動能+電勢能”守恒)在光滑水平面內(nèi)有一沿x軸的靜電場，其電勢φ隨坐標(biāo)x的變化關(guān)系如圖1所示，一質(zhì)量為m，帶電荷量為q的帶正電小球(可視為質(zhì)點)從O點以初速度v0沿x軸正向移動，則下列敘述正確的是

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圖1

A.若小球能運(yùn)動到x1處，則該過程小球所受電場力逐漸增大

B.帶電小球從x1運(yùn)動到x3的過程中，電勢能先減小后增大

【答案】D

【點評】在靜電場中，力學(xué)規(guī)律依然成立，只是在受力分析時多了一個電場力而已。正所謂“電學(xué)搭臺，力學(xué)唱戲”。本題不涉及計算電場力做功的多少，只要求用電勢求電勢能，由動能求速度等，我們可以不用動能定理求解，直接用只有電場力做功，動能和電勢能總和守恒求解。

【例2】(“動能+重力勢能+電勢能”守恒)如圖2，一帶負(fù)電荷的油滴在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動，其軌跡在豎直面(紙面)內(nèi)，且相對于過軌跡最低點P的豎直線對稱。忽略空氣阻力。由此可知

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圖2

A.Q點的電勢比P點高

B.油滴在Q點的動能比它在P點的大

C.油滴在Q點的電勢能比它在P點的大

D.油滴在Q點的機(jī)械能比它在P點的小

【答案】AB

【解析】由于油滴軌跡相對于過P的豎直線對稱且合外力總是指向軌跡彎曲內(nèi)側(cè)，所以油滴所受合外力沿豎直向上的方向，因此電場力豎直向上，且qE>mg，則電場方向豎直向下，所以Q點的電勢比P點的高，A選項正確；當(dāng)油滴從P點運(yùn)動到Q點的過程中，電場力做正功，電勢能減小，C選項錯誤；由于只有重力和電場力做功，動能、重力勢能和電勢能總和守恒，因為P點的電勢能大于Q點的電勢能，所以Q點機(jī)械能大于P點的機(jī)械能，同時合外力做正功，動能也增加，所以Q點動能大于P點的動能，B正確，D錯誤。

【點評】例1的小球在水平面內(nèi)運(yùn)動，不會涉及重力勢能的改變，本題油滴(計重力)在運(yùn)動過程中的動能、重力勢能、電勢能都在相互轉(zhuǎn)化，但只有重力和電場力做功，帶電油滴的機(jī)械能和電勢能總和守恒，本題同樣不涉及重力、電場力做功的多少，只需要知道能量的變化，這種不考慮力做功多少，只求解能量轉(zhuǎn)化的題目，用能量守恒定律比用功能關(guān)系更簡單。

【例3】(“動能+彈性勢能+電勢能”守恒)如圖3所示，一絕緣輕彈簧的左端固定，右端與一帶電小球相連接，小球靜止在光滑絕緣的水平面上，施加一個水平方向的勻強(qiáng)電場(圖中未畫出)，使小球從靜止開始向右運(yùn)動，則向右運(yùn)動的這一過程中(運(yùn)動過程中始終未超過彈簧的彈性限度)由此可知

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圖3

A.小球動能最大時，小球電勢能和彈性勢能總和最大

B.彈簧彈性勢能最大時，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能最大

C.小球電勢能最小時，小球動能為零

D.當(dāng)電場力和彈簧彈力平衡時，小球的動能最大

【答案】BCD

【解析】小球運(yùn)動過程中只有電場力和彈簧彈力做功，故小球的電勢能、動能和彈簧的彈性勢能總量守恒，小球動能最大時，小球電勢能和彈性勢能總和最小，故A錯誤；在最右端，彈簧彈性勢能最大，電勢能最小，故小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能最大，故B正確；小球向右運(yùn)動時，電場力做正功，電勢能減小，故最右端電勢能最小，此時動能為零，故C正確；當(dāng)電場力和彈簧彈力平衡前，電場力大于彈簧的彈力，小球做加速運(yùn)動，當(dāng)彈力等于電場力時，速度達(dá)到最大，小球的動能最大，故D正確；故選BCD。

【點評】在例題中用彈性勢能代替重力勢能，即只有電場力和彈簧彈力做功，帶電小球的電勢能、動能和彈簧的彈性勢能總和守恒。其目的是不考慮力做功多少的情況下，求解能量轉(zhuǎn)化的題目時，用能量守恒定律比用功能關(guān)系解題更簡單。

【例4】(“動能+重力勢能+彈性勢能+電勢能”守恒)如圖4所示，絕緣輕質(zhì)彈簧的下端固定在斜面底端，彈簧與斜面平行，帶電小球Q(可視為質(zhì)點)固定在光滑絕緣斜面上的M點，且在通過彈簧中心的直線ab上?，F(xiàn)把與Q大小相同，帶電性也相同的小球P，從直線ab上的N點由靜止釋放，在小球P與彈簧接觸到速度變?yōu)榱愕倪^程中

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圖4

A.小球P的速度先增大后減小

B.小球P和彈簧的機(jī)械能守恒，且P速度最大時所受彈力與庫侖力的合力最大

C.小球P的動能、重力勢能、電勢能與彈簧的彈性勢能的總和不變

D.彈簧彈性勢能的增加量等于小球P的重力勢能和電勢能的減少量

【答案】AC

【解析】小球P與彈簧接觸時，沿平行斜面方向受到小球Q對P的靜電力、重力的分力、彈簧的彈力，開始時合力的方向沿斜面向下，速度增加，后來隨著彈簧壓縮量變大，合力的方向沿斜面向上，速度逐漸減小，A正確；小球運(yùn)動過程中只有靜電力、重力和彈簧彈力做功，故小球的電勢能、動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能總量守恒，C正確，B錯誤；初末位置彈簧彈性勢能的增加量等于小球P的重力勢能和電勢能的減少量，但過程中有動能參與轉(zhuǎn)化，D錯誤。

【點評】為了將帶電小球的能量轉(zhuǎn)化進(jìn)一步擴(kuò)大，本題設(shè)計了四種能量相互轉(zhuǎn)化，即小球的電勢能、動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，只有電場力、重力和彈簧彈力做功，小球的電勢能、動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能總和守恒。這樣高中物理所涉及的宏觀物體受到的保守力做功，相對應(yīng)的能量守恒定律，共有七種情況。