導(dǎo)彈部隊作戰(zhàn)路網(wǎng)穩(wěn)健性建模與分析

吳閏平，劉衛(wèi)東，楊 萍，韓慧華

（火箭軍工程大學(xué)，西安 710025）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，敵偵查監(jiān)視設(shè)備偵查范圍廣、速度快、效率高，且不易受天氣地域條件限制，可對我作戰(zhàn)路網(wǎng)實行長時間、大范圍的連續(xù)偵察監(jiān)視。在現(xiàn)有作戰(zhàn)條件下，我方部分導(dǎo)彈依舊采用固定場坪發(fā)射，在作戰(zhàn)過程中，導(dǎo)彈發(fā)射裝置從待機(jī)陣地將導(dǎo)彈機(jī)動至發(fā)射陣地進(jìn)行發(fā)射，敵通過偵察監(jiān)視設(shè)備獲取我方路網(wǎng)特點，通過分析對我重要道路節(jié)點實施精確打擊，以延緩或破壞我方導(dǎo)彈發(fā)射流程。展開對作戰(zhàn)路網(wǎng)穩(wěn)健性分析，對我路網(wǎng)情況進(jìn)行分析，以便在實戰(zhàn)過程中受敵打擊破壞后產(chǎn)生較小影響，繼續(xù)導(dǎo)彈發(fā)射流程，達(dá)到作戰(zhàn)目的。

1 路網(wǎng)評價指標(biāo)

在民用領(lǐng)域，針對城鄉(xiāng)路網(wǎng)及公交復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相關(guān)理論研究已經(jīng)較多，主要針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無標(biāo)度性、小世界性、可靠性、中心性以及路網(wǎng)的動力學(xué)過程等進(jìn)行相關(guān)研究［3-4］。在導(dǎo)彈機(jī)動作戰(zhàn)領(lǐng)域，由于作戰(zhàn)路網(wǎng)與城鄉(xiāng)路網(wǎng)具有本質(zhì)的區(qū)別，作戰(zhàn)路網(wǎng)道路一般分布在偏遠(yuǎn)地區(qū)，道路容量較小，且作戰(zhàn)過程對時間的準(zhǔn)確度要求較高［1-2］，路網(wǎng)的抗打擊破壞能力較強(qiáng)等，因此，基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對導(dǎo)彈作戰(zhàn)路網(wǎng)穩(wěn)健性進(jìn)行研究具有重要意義。本文主要從路網(wǎng)最大連通子圖、平均路長、路網(wǎng)效率、聚類系數(shù)等方面對導(dǎo)彈作戰(zhàn)路網(wǎng)進(jìn)行分析。

1.1 最大連通子圖

連通子圖指在路網(wǎng)中通過最少的邊把路網(wǎng)中的節(jié)點連接起來的子圖。其中最大連通子圖指的是各個子圖中節(jié)點數(shù)最多的子圖的節(jié)點數(shù)與總節(jié)點數(shù)的比例。如圖1 所示。

圖1 最大連通子圖

節(jié)點A、B 遭到破壞而失效，將原有的路網(wǎng)分割成一個有4 個節(jié)點的最大連通子圖和4 個其他的連通子圖。且最大連通子圖的比例為4/10=0.4。

1.2 平均路長

平均路長表示在整個路網(wǎng)中，每個節(jié)點連接其余所有節(jié)點的路徑長度的平均值，通過平均路長這個指標(biāo)可以反映出整個網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)通情況。其中，平均路長可以表示為：

其中，N 為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)，dij為i 和j 之間的距離即連接兩個節(jié)點的最短路徑的邊數(shù)。

1.3 路網(wǎng)效率

路網(wǎng)效率表示兩個道路節(jié)點i 和j 之間距離的倒數(shù)，當(dāng)兩個道路節(jié)點沒有道路相連時，路網(wǎng)效率為0。對整個路網(wǎng)效率而言，將所有兩個道路節(jié)點之間的路網(wǎng)效率的平均值定義為全局效率，用Eglob（G）表示，

其中，E（Gi）表示兩節(jié)點之間的效率，dij表示兩節(jié)點之間的距離，N 為路網(wǎng)中節(jié)點總數(shù)。

1.4 聚類系數(shù)

聚類系數(shù)用C 表示，表示網(wǎng)絡(luò)的聚集程度。C 越大，即表示網(wǎng)絡(luò)越緊密，反之，表示網(wǎng)絡(luò)較為松散。

其中，TEi表示節(jié)點i 與其余節(jié)點連接的邊數(shù)，ki（ki-1）/2 表示與節(jié)點i 相連接的ki個節(jié)點間最大的連接邊數(shù)。

1.5 動態(tài)時間指標(biāo)

考慮到發(fā)射裝置在實際作戰(zhàn)中對時間要求較高，基于實戰(zhàn)情況下的路網(wǎng)不僅要考慮路網(wǎng)本身的穩(wěn)健性，還要考慮發(fā)射裝置在路網(wǎng)上所用時間的變化。同動態(tài)距離指標(biāo)類似，這里引入節(jié)點刪除法將選擇中的節(jié)點設(shè)置為一個較大的數(shù)字，以使得在重新規(guī)劃路徑及時間的基礎(chǔ)上，避免對此節(jié)點的重新選擇且仍保持原有路網(wǎng)的基本特性。令

2 打擊策略指標(biāo)

在實際作戰(zhàn)情況下，敵方依靠高科技偵察設(shè)備，對我方作戰(zhàn)區(qū)域進(jìn)行偵查，并分析我方路網(wǎng)分布情況，對分析得出的重要節(jié)點進(jìn)行打擊。在一般情況下，敵方可能會考慮到的道路關(guān)鍵因素有以下幾項。

2.1 節(jié)點連接度指標(biāo)

路網(wǎng)信息一般可以表示為G（V，E，LE），其中，V表示節(jié)點集，E 表示邊集，LE表示節(jié)點連接情況。節(jié)點的連接度表示為路網(wǎng)中與此道路節(jié)點相連接的道路數(shù)，表示為：

其中，ki表示連接度；aij、aji表示鄰接矩陣中的部分元素，其中，aij、aji為1 表示i 與j 相連接，aij、aji為0表示i 與j 不連接。如果一個節(jié)點的連接度較大，就可以看出如果此點遭受到敵方的打擊后，對整體造成的影響將會更大，如圖2 所示，節(jié)點J 連接4 條道路，如果節(jié)點J 遭受敵方打擊失去作戰(zhàn)效能，這4 條道路將失效。

圖2 節(jié)點連接度示意圖

但考慮在實際路網(wǎng)情況下，存在部分道路節(jié)點連接度較小，但通過間接連接關(guān)系與部分高連接度節(jié)點連接，如果僅僅考慮高連接度節(jié)點，將會對此類的重要節(jié)點有所遺漏，如圖3 所示。

圖3 節(jié)點連接度示意圖

2.2 節(jié)點介數(shù)指標(biāo)

節(jié)點的介數(shù)指標(biāo)是指在給定的一個路網(wǎng)中，通過計算求得的通過這個節(jié)點的最短路徑的數(shù)目與所有最短路徑數(shù)目的比值，記為：

其中，ηjk表示節(jié)點j 與節(jié)點k 的最短路徑數(shù)目；ηjk（i）表示連接節(jié)點j 與節(jié)點k 且經(jīng)過節(jié)點i 的最短路徑數(shù)目。

圖4 節(jié)點介數(shù)示意圖

如圖4 所示，分別表示由上層起始道路節(jié)點到達(dá)中間道路節(jié)點再到達(dá)目標(biāo)道路節(jié)點，而在圖4（a）中，從上層起始道路節(jié)點到達(dá)最終目標(biāo)道路節(jié)點可以有3 個道路節(jié)點可供選擇，節(jié)點U 介數(shù)較低，即使U 遭受打擊，整體路網(wǎng)依然可以連通；而圖4（b）中由上層道路節(jié)點到達(dá)下層目標(biāo)節(jié)點只有一個道路節(jié)點可供選擇，節(jié)點介數(shù)較高，如果中間道路節(jié)點遭受打擊，則整體道路將會失效。

2.3 節(jié)點重要度指標(biāo)

對節(jié)點介數(shù)、度數(shù)的考慮是從靜態(tài)的方面對路網(wǎng)進(jìn)行分析，考慮到在實際的作戰(zhàn)過程中，整個作戰(zhàn)過程是動態(tài)的，如果僅僅考慮節(jié)點連接度、節(jié)點介數(shù)的指標(biāo)存在片面性，因此，需要考慮在實際作戰(zhàn)過程中導(dǎo)彈發(fā)射裝置對道路的選擇情況，構(gòu)建節(jié)點重要度指標(biāo)。在路網(wǎng)中，各個節(jié)點之間相互連接，一個道路節(jié)點的失效，將會導(dǎo)致整體導(dǎo)彈發(fā)射裝置機(jī)動方案的變化，而機(jī)動方案的變化又會引起新的節(jié)點失效，所以整個路網(wǎng)并不是一個靜態(tài)不變的網(wǎng)絡(luò)，而是一個變化的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)。

在以往的處理方式中，都是對此類重要節(jié)點進(jìn)行刪除，進(jìn)而分析其他節(jié)點的影響，但是考慮到節(jié)點的刪除會讓整個路網(wǎng)不連通，在時間計算過程中會使得所用時間趨于無限大，為此，并不將道路節(jié)點簡單地刪除，而是增加其與之相連的網(wǎng)點之間的路程，這樣就可以解決由于路網(wǎng)不連通而導(dǎo)致機(jī)動時間無限大的問題，并且可以方便地比較路程增加后，對整個路網(wǎng)連通的影響。即在刪除道路節(jié)點后，最短路徑變化量為

3 研究假設(shè)

針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)有關(guān)穩(wěn)健性的相關(guān)研究理論，將復(fù)雜問題逐步進(jìn)行求解，假設(shè)如下：

1）將作戰(zhàn)路網(wǎng)中的各個節(jié)點看作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之間的節(jié)點，相鄰的道路節(jié)點之間的路徑作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的邊；

2）遭受破壞的節(jié)點或邊將在路網(wǎng)中失效；

3）與失效的節(jié)點相連的道路也將會失效；

4）在精確打擊情況下，敵對我方路網(wǎng)情況有所了解，但對我方作戰(zhàn)意圖及機(jī)動方案并不清楚。所以在實施精確打擊時，會采取某種策略進(jìn)行打擊，通過不同的打擊策略打擊的道路節(jié)點可能不同，對整體路網(wǎng)造成的影響不同；

5）通過道路節(jié)點，節(jié)點與節(jié)點之間的邊連接起來，道路結(jié)構(gòu)就構(gòu)成了整體的路網(wǎng)框架。在整體的路網(wǎng)框架中，只要節(jié)點與節(jié)點之間相連，就可以保證通行，但在通行的過程中，應(yīng)充分考慮道路容量問題，部分單行道不允許在機(jī)動過程中出現(xiàn)道路會車、超車情況。

4 算例分析

根據(jù)2017 年研究生數(shù)學(xué)建模E 題路網(wǎng)及某優(yōu)化機(jī)動方案進(jìn)行穩(wěn)健性分析，路網(wǎng)如圖5 所示。

圖5 作戰(zhàn)區(qū)路網(wǎng)

已知兩個波次的最短機(jī)動路徑如表1 所示。

表1 兩波次最短機(jī)動路徑

其中，D 表示待機(jī)陣地，J 表示道路節(jié)點，F(xiàn) 表示發(fā)射陣地，Z 表示轉(zhuǎn)載陣地，總計用時127 h。

4.1 高連接度節(jié)點打擊策略

對下頁表2 中節(jié)點度數(shù)較高的節(jié)點J03，J21，J25，J27，J28，J32，J44 等按照大小順序進(jìn)行精確打擊，通過結(jié)果判斷路網(wǎng)的空間脆弱程度，并分析平均路徑長度、最大連通子圖、網(wǎng)絡(luò)效率與節(jié)點比例的關(guān)系如下頁圖6 所示。

表2 節(jié)點度數(shù)統(tǒng)計

圖6 打擊高連接度節(jié)點圖

通過分析可以看出，在對高度節(jié)點精確打擊下，平均路徑長度呈現(xiàn)先迅速變大后再變小的過程，這在實際中也是相符的，通過打擊部分節(jié)點連接度較高的節(jié)點，將部分節(jié)點之間的路徑長度變長，即使此時損失了部分節(jié)點，但由于這部分節(jié)點的損失對整體的平均路徑長度的影響更大，所以平均路徑長度呈現(xiàn)了先上升的趨勢。之后通過精確打擊其余節(jié)點，道路情況受損嚴(yán)重，平均路徑長度降低。通過實驗仿真可以看出，該路網(wǎng)在平均路徑長度這個指標(biāo)方面抗打擊能力較強(qiáng)，路網(wǎng)穩(wěn)健性較好，當(dāng)節(jié)點損失率達(dá)到將近20 %時，路網(wǎng)平均路徑長度依然保持80 %連通性。路網(wǎng)連通子圖開始保持一定速度持續(xù)下降，等到節(jié)點遭受破壞達(dá)到將近50 %左右時，路網(wǎng)呈現(xiàn)碎片化，這表明路網(wǎng)對精確打擊的抗打擊能力較強(qiáng)，不會因為部分少數(shù)節(jié)點的損壞使整個路網(wǎng)碎片化；刪除節(jié)點之后對路徑重新規(guī)劃可以看出，總體時間變長，但開始變化較小，隨著節(jié)點減少數(shù)目的增加，所用時間變得更長，當(dāng)節(jié)點數(shù)目減少到70 %左右時，時間比例變?yōu)?，這表明由于節(jié)點的損失，已經(jīng)無法完成發(fā)射任務(wù)，所用時間無限長。通過分析可以看出，整體路網(wǎng)穩(wěn)健性依然較強(qiáng)，當(dāng)節(jié)點損失率達(dá)到將近30 %左右時，路網(wǎng)所用時間與原來所用時間之比為0.8。

表3 節(jié)點介數(shù)

4.2 高介數(shù)節(jié)點打擊策略

對表3 中節(jié)點介數(shù)較高的節(jié)點J21，J40，J41，J48，J06，J12，J13，J32，J37，J38，J46 等 進(jìn) 行 精 確 打擊，判斷路網(wǎng)的脆弱性，并分析平均路徑長度、最大連通子圖、網(wǎng)絡(luò)效率與節(jié)點比例的關(guān)系如圖7 所示。

圖7 打擊高介數(shù)節(jié)點情況

通過分析可以看出，在對高介數(shù)節(jié)點實施打擊時，平均路徑長度也先迅速變大之后迅速變小，在實際中表示通過打擊高介數(shù)節(jié)點，大多數(shù)最短路徑被破壞，通過重新選擇路徑，平均路徑長度變長，隨著精確打擊其余節(jié)點數(shù)目的增多，更多的節(jié)點孤立出來，道路情況受損嚴(yán)重，平均路徑長度降低。通過實驗仿真看出，該路網(wǎng)在平均路徑長度這個指標(biāo)方面抗打擊能力依然較強(qiáng)，路網(wǎng)穩(wěn)健性較好，當(dāng)節(jié)點損失率達(dá)到將近20%時，路網(wǎng)平均路徑長度依然保持80%連通性。路網(wǎng)連通子圖開始保持一定速度持續(xù)下降，等到節(jié)點遭受破壞達(dá)到將近50 %左右時，路網(wǎng)呈現(xiàn)碎片化，這表明路網(wǎng)對精確打擊的抗打擊能力較強(qiáng)，不會因為部分少數(shù)節(jié)點的損壞使整個路網(wǎng)碎片化；刪除節(jié)點之后對路徑重新規(guī)劃可以看出，總體時間變長，但開始變化較小，隨著節(jié)點減少數(shù)目的增加，所用時間變得更長，當(dāng)節(jié)點數(shù)目減少到60 %左右時，時間比例變?yōu)?，這表明由于節(jié)點的損失，已經(jīng)無法完成發(fā)射任務(wù)，所用時間無限長。通過與打擊高連接度節(jié)點相比，打擊高介數(shù)節(jié)點對整體時間的影響顯得更加明顯。通過分析可以看出，整體路網(wǎng)穩(wěn)健性依然較強(qiáng)，當(dāng)節(jié)點損失率達(dá)到將近20%左右時，路網(wǎng)所用時間與原來所用時間之比為0.8。

表4 節(jié)點最短路徑變化量

4.3 重要節(jié)點打擊策略

精確打擊重要節(jié)點J13，J15，J07，J08，J09，J14，J04，J03，J37，J44 等（見表4），判斷路網(wǎng)的脆弱性，并分析平均路徑長度、最大連通子圖、網(wǎng)絡(luò)效率與節(jié)點比例的關(guān)系，如圖8 所示。

圖8 打擊重要節(jié)點情況

在對重要節(jié)點實施打擊時，平均路徑長度隨著節(jié)點損失率的增加而變小，平均路徑長度降低。通過實驗仿真可以看出，該路網(wǎng)在平均路徑長度這個指標(biāo)方面抗打擊能力依然較強(qiáng)，路網(wǎng)穩(wěn)健性較好，當(dāng)節(jié)點損失率達(dá)到將近15%時，路網(wǎng)平均路徑長度依然保持80%連通性。路網(wǎng)連通子圖開始保持一定速度持續(xù)下降，等到節(jié)點遭受破壞達(dá)到將近60%左右時，路網(wǎng)呈現(xiàn)碎片化，這表明路網(wǎng)對精確打擊的抗打擊能力較強(qiáng)，不會因為部分少數(shù)節(jié)點的損壞使整個路網(wǎng)碎片化；刪除節(jié)點之后對路徑重新規(guī)劃可以看出，總體時間偏長，但開始變化較小，隨著節(jié)點減少數(shù)目的增加，所用時間變得更長，當(dāng)節(jié)點數(shù)目減少到50%左右時，時間比例趨于0，這表明由于節(jié)點的損失，路網(wǎng)各個節(jié)點之間已經(jīng)不連通，無法完成發(fā)射任務(wù)。通過與打擊高連接度節(jié)點相比，打擊高介數(shù)節(jié)點對整體時間的影響顯得更加明顯。通過分析可以看出，整體路網(wǎng)穩(wěn)健性相比高度數(shù)節(jié)點與高介數(shù)節(jié)點發(fā)射裝置所用時間的影響更加明顯，當(dāng)節(jié)點損失率達(dá)到將近10%左右時，路網(wǎng)所用時間與原來所用時間之比為0.8。

5 結(jié)論

通過精確打擊高連接度節(jié)點、高介數(shù)節(jié)點和重要節(jié)點等策略，對路網(wǎng)最大連通子圖、路網(wǎng)平均路徑長度以及動態(tài)時間比例等因素進(jìn)行分析，通過仿真計算可以看出，在精確打擊高連接度節(jié)點、高介數(shù)節(jié)點和重要節(jié)點時，當(dāng)節(jié)點攻擊達(dá)到20 %左右時，路網(wǎng)依舊能夠保持較好的連通性能，路網(wǎng)抗打擊性能強(qiáng)，穩(wěn)健性較好；當(dāng)失效節(jié)點數(shù)目達(dá)到總結(jié)點數(shù)目的60%左右時，路網(wǎng)逐漸趨于癱瘓、碎片化。