妙用反例促教學(xué)

劉娟

[摘 ?要] 在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提下，教師利用學(xué)科教學(xué)和不斷實(shí)踐，探索和提高學(xué)生的邏輯推理能力. 教學(xué)中不斷滲透反例教學(xué)，可以幫助學(xué)生牢固掌握知識點(diǎn)，證明命題不成立，進(jìn)而鞏固知識，防微杜漸.

[關(guān)鍵詞] 反例教學(xué);一元一次方程;證明

“反例”就是一些例子，它與某一命題的條件相符卻與該命題的結(jié)論相悖. 換句話來說，就是說明某一命題不成立的例子. 從另一個角度去看，由于這些例子可以證明某一命題不成立，那都可以看作“反例”. 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，需要探討的“反例”都具有一定的數(shù)學(xué)意義，并立足于數(shù)學(xué)已證實(shí)的理論和邏輯推理的基礎(chǔ)之上. 數(shù)學(xué)中的有些問題，即使是通過絞盡腦汁的推演也毫無頭緒，這時通過舉反例這種“另類”的證明方式，卻可以證實(shí)“這一命題不成立”屬實(shí). 數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展離不開“反例”與“證明”的推動，當(dāng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)的推進(jìn)也同樣需要它們的參與. 簡潔、直觀，具有說服力這一系列特征讓“反例”更好地立足于數(shù)學(xué)教學(xué)，并發(fā)揮著獨(dú)一無二的作用. 如何合理地運(yùn)用反例推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程，不斷激發(fā)學(xué)生思考問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)呢？筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐與經(jīng)驗(yàn)，借助實(shí)例為引，談一談反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的巧妙運(yùn)用.

借助反例，鞏固知識點(diǎn)的理解

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會被一些易混淆、難理解的知識點(diǎn)所困擾. 他們時常無法理清知識點(diǎn)中蘊(yùn)含的本質(zhì)屬性，即便是教師數(shù)次強(qiáng)調(diào)和提示也無濟(jì)于事，他們依然會錯. 此時若適時地將“反例”引入講解中，并借助“反例”鞏固學(xué)生對此知識點(diǎn)的理解，必將取得出乎意料的效果.

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)判定三角形全等時，涉及一種判別方式為“如果一個角和夾這個角的兩條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等”. 在這個判別方法中，“夾這個角的兩條邊”這一條件需著重強(qiáng)調(diào). 因此，教師可以在此處提出這樣一個問題：“如果兩個三角形中，一個角和兩條邊都對應(yīng)相等，那么這兩個三角形一定全等嗎？”這里教師提出的問題與數(shù)學(xué)教材中涉及的定理有所偏差，不少學(xué)生都能進(jìn)行正確的判斷，認(rèn)為這個觀點(diǎn)不一定成立. 此時，教師可以適時進(jìn)行追問：“哪位同學(xué)可以舉一個反例說明這個觀點(diǎn)？”學(xué)生進(jìn)行合作探討，教師巧妙抓住機(jī)會，進(jìn)行引導(dǎo)：“我們是不是可以借助一個方法來進(jìn)行說明呢？比如圖形. ”經(jīng)教師此番提醒，學(xué)生們頓時興趣倍增，一個個都躍躍欲試，嘗試著畫圖. 此后，經(jīng)過獨(dú)立思考，合作交流，總結(jié)歸納出了如下的反例：

如圖1所示，在等腰三角形ABC中，D為邊BC上的任意一點(diǎn)，且AB=AC，那么三角形ABD和三角形ACD中，∠B和∠C相等，并且滿足邊AB=AC，邊AD=AD，而很顯然三角形ABD與三角形ACD不全等.

如圖2所示，有三角形ABC，現(xiàn)將邊CB延長至點(diǎn)D，連接AD，并且AD=AC，那么三角形ABC與三角形ABD中，公共角∠B=∠B，并且滿足邊AD=AC，邊AB=AB，而很顯然三角形ABC與三角形ABD不全等.

如圖3所示，有等腰梯形ABCD，其中AB=CD，連接BD，現(xiàn)三角形ABD與三角形CDB中，∠ADB=∠CBD，并且滿足邊AB=CD，邊BD=BD，而很顯然三角形ABD與三角形CDB不全等.

借助以上的教學(xué)情境和反例推進(jìn)，學(xué)生做出如下總結(jié)：在運(yùn)用此判別法進(jìn)行判別時，關(guān)鍵條件為“一個角以及夾這個角的兩條邊”，而這里所說的“兩條邊”不是任意的兩條邊. 與此同時，借助于“反例”證實(shí)了命題“如果一個角與兩條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等”錯誤. 通過反例，圍繞培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，創(chuàng)新問題情境，并激發(fā)學(xué)生深度思考，加深了學(xué)生對知識點(diǎn)的透徹認(rèn)識和牢固掌握.

借助反例，證明命題不成立

數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以證明一個命題不成立的具體方法有以下兩種：一種是通過正面直接證明，二是借助反例證明. 教師在引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念時，正例的參與必不可少，還需借助反例從多個不同角度去鞏固概念. 在習(xí)題訓(xùn)練中，學(xué)生可以借助“反例”更好地理解和解決判斷題這一題型. 例如，判斷以下的命題是不是真命題：

（1）已知兩個角為互補(bǔ)關(guān)系，那么這兩個角中有一個角是銳角，一個角是鈍角.

（2）一個無理數(shù)與另外一個無理數(shù)相加的和一定是無理數(shù).

（3）已知兩個三角形面積相等，那么這兩個三角形是全等三角形.

以上命題中的數(shù)學(xué)語言對于初中學(xué)生來說較抽象化，極易出錯，假如運(yùn)用反例來證明就相對容易一些. 比如問題（1）中，我們只需要出示反例“兩個直角也為互補(bǔ)關(guān)系”;問題（2）中，我們只需要出示反例“+-=0”;問題（3），我們只需要出示反例“已知Rt△ABC與Rt△DEF，前一個直角三角形的兩條直角邊都是2，面積是2，后一個直角三角形的兩條直角邊是1與4，面積也是2”，由此可見，二者的面積相等卻不是全等三角形.

從上述例子可以得出，舉反例有以下優(yōu)點(diǎn)：借助一個反例就可以輕松證實(shí)命題不正確. 因此，教師應(yīng)主張學(xué)生找尋反例，借助反例有效準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問題.

借助反例，鞏固知識

教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，可以借助反例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步鞏固知識內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)高效課堂教學(xué)[1].

學(xué)生在對這個例子進(jìn)行觀察時，洞察到了以下錯誤：在進(jìn)行去分母時，方程式右邊“1”漏乘了“6”;在去分母之后，“4x-1”未加上小括號;在去括號時，“3x-1”中的“-1”漏乘了“2”;在進(jìn)行移項(xiàng)時，“-4x”忘記在從等式右邊移至左邊時更改符號.

這道題是反例中最具典型的例子，它囊括了學(xué)生在“解一元一次方程”時會犯的所有錯誤. 在指導(dǎo)學(xué)生逐一解決這些問題后，教師可以要求學(xué)生在每次練習(xí)前都將這些反例進(jìn)行回顧，并思考一下注意點(diǎn)有哪些，進(jìn)而更好地杜絕錯誤，理清思路，解答問題. 數(shù)學(xué)教材中涉及的諸多例題全都是正例，作用在于引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解題，積累解題經(jīng)驗(yàn)[2]，與此同時，適時將反例穿插運(yùn)用能更好地促進(jìn)學(xué)生理解. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需將兩者結(jié)合起來，合理運(yùn)用，幫助學(xué)生鞏固知識，預(yù)防錯誤，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長，并逐步形成解題智慧.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)活動，不僅需要傳授學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更需要滲透產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識的技巧. 借助反例教學(xué)這一載體，能更好地幫助學(xué)生鞏固理解，及時糾錯，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]王光明. 高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的特征[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（1）：35-38.

[2]羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.