“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)設(shè)計(jì)

李曉娜

[摘? ? ? ? ? ?要]? 借助GeoGebra軟件，以數(shù)形結(jié)合為主線，對(duì)“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”一課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，意在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)零點(diǎn)定義由特殊到一般的推導(dǎo)過(guò)程，凸顯零點(diǎn)存在性定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理以及辯證思維的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 零點(diǎn);數(shù)形結(jié)合;化歸轉(zhuǎn)化

[中圖分類號(hào)]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2019）22-0220-02

一、教學(xué)設(shè)計(jì)理念

（一）教學(xué)任務(wù)分析

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)與方程的第一課時(shí)，以基本初等函數(shù)為基礎(chǔ)，為用二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ)，在課程中起著承上啟下的作用。

（1）學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些基本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)，并具備判斷一些基本初等函數(shù)單調(diào)性、奇偶性以及進(jìn)行簡(jiǎn)單加減運(yùn)算的能力。（2）結(jié)合學(xué)生熟悉的方程根的概念，以及初等函數(shù)圖像的簡(jiǎn)單性質(zhì)，初步領(lǐng)會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的概念，培養(yǎng)學(xué)生的歸納思想、化歸轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想。（3）學(xué)生親歷函數(shù)零點(diǎn)存在條件的探究過(guò)程，通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)左右兩端附近函數(shù)值符號(hào)變化這一背景，歸納出零點(diǎn)存在性定理，以及零點(diǎn)存在性定理并不是函數(shù)零點(diǎn)存在的充要條件，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理以及辯證思維的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（二）教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系。

教學(xué)難點(diǎn)：零點(diǎn)存在性的判斷。

二、教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄

（一）溫故知新，引入新課

問(wèn)題1：如何判定任意一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）實(shí)數(shù)根的情況？

生：根據(jù)Δ=b2-4ac與0的關(guān)系，來(lái)判斷方程實(shí)數(shù)根的情況。

師：同學(xué)們回答得很好。現(xiàn)在老師用書(shū)本將方程等式右邊遮住，現(xiàn)在你會(huì)想到什么？

生：二次函數(shù)。

師：對(duì)！二次函數(shù)y=x2+bx+c（a≠0）的圖像是什么樣子呢？

生：它是一條拋物線。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)中學(xué)學(xué)習(xí)的一元二次方程以及二次函數(shù)一些簡(jiǎn)單性質(zhì)的回顧，引導(dǎo)學(xué)生將方程與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，引起學(xué)生求知欲，為函數(shù)零點(diǎn)的引出做準(zhǔn)備。

問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)案上求出方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+3=0的實(shí)數(shù)根，并畫(huà)出其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像。思考：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實(shí)數(shù)根與其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)有什么樣的聯(lián)系呢？

生：方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

師：這個(gè)實(shí)數(shù)在我們后續(xù)的學(xué)習(xí)中非常重要，我們就把它稱為函數(shù)的零點(diǎn)，該怎樣來(lái)描述呢？

生：對(duì)于函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。

師：什么是函數(shù)的零點(diǎn)呢？函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是方程的實(shí)數(shù)根。從定義上來(lái)看求解函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題其實(shí)就是解方程的問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像的觀察，經(jīng)歷根的求解過(guò)程，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，在認(rèn)識(shí)上從感性上升到理性，助推認(rèn)識(shí)的升華。通過(guò)分析、比較，提煉出函數(shù)零點(diǎn)這個(gè)概念，生成概念也就順理成章。眾所周知，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，在教學(xué)中，設(shè)置情境、剖析問(wèn)題，讓學(xué)生弄清概念的緣由，在理解概念的基礎(chǔ)上才能靈活運(yùn)用概念。

（二）例題講解，鞏固新知

例1.求函數(shù)f（x）=x（x2-16）的零點(diǎn)（? ）

A.（0，0） （4，0）?????? B.（0，4）

C.（-4，0） （0，0） （4，0）?? D.（±4，0）

有的學(xué)生認(rèn)為第一步需要先找出函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程x（x2-16）=0，然后求得這個(gè)方程的實(shí)數(shù)根是0，±4，因此選擇D。而有些同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該選擇C。在此強(qiáng)調(diào)函數(shù)的零點(diǎn)只是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而不是坐標(biāo)點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)求函數(shù)f（x）=x（x2-16）的零點(diǎn)一方面讓學(xué)生熟練掌握函數(shù)零點(diǎn)求解過(guò)程，另一方面讓學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)概念的理解有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，利用化歸轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題。

（三）合作探究，構(gòu)建定理

問(wèn)題3：所有函數(shù)都有零點(diǎn)嗎？如果不是，請(qǐng)舉出反例。

生：不是，函數(shù)y=x2-2x+3就沒(méi)有零點(diǎn)。

生：函數(shù)y=也沒(méi)有零點(diǎn)，還存在其他的一些沒(méi)有零點(diǎn)的函數(shù)。

師：是的。我們用數(shù)學(xué)軟件來(lái)畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖像。（如圖1）

設(shè)計(jì)意圖：剛剛學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)的概念，容易使學(xué)生的思維受到已有知識(shí)禁錮。問(wèn)題3在此時(shí)提點(diǎn)學(xué)生不是所有的函數(shù)都存在零點(diǎn)，讓學(xué)生舉例出不存在零點(diǎn)的函數(shù)的個(gè)例，將本節(jié)課知識(shí)與學(xué)生已有知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，一起讓學(xué)生思考與想象。該問(wèn)題也為后來(lái)引出零點(diǎn)存在性定理作鋪墊，起到承上啟下的作用，體現(xiàn)了學(xué)生的思辨能力以及數(shù)形結(jié)合思想。

問(wèn)題4：函數(shù)的零點(diǎn)在什么條件下存在呢？

生：……（沉默）

師：對(duì)比圖1，我們來(lái)一起觀察表格中的三個(gè)函數(shù)有什么共同的特征呢？

生：首先表中的三個(gè)函數(shù)都存在零點(diǎn)，然后……（不知如何描述）

師：讓我們一起來(lái)看一看。我們?cè)诹泓c(diǎn)兩側(cè)附近分別取值，有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：位于零點(diǎn)兩側(cè)附近的函數(shù)值分別大于零或小于零。

師：對(duì)。我們以函數(shù)y=sinx的函數(shù)圖像為例。我們?cè)诹泓c(diǎn)兩側(cè)分別取x1，x2，x3三個(gè)點(diǎn)，這相鄰的兩個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有什么特征呢？（如下圖）

生：異號(hào)，并且有f（x1）·f（x2）<0，f（x2）·f（x3）<0。

師：也就是說(shuō)在函數(shù)在區(qū)間[a，b]上，滿足f（a）·f（b）<0，那么在區(qū)間（a，b）可能存在零點(diǎn)。什么情況下零點(diǎn)一定存在呢？我們?cè)賮?lái)觀察一個(gè)特殊的函數(shù)圖像（如圖3），這個(gè)函數(shù)圖像同樣滿足f（x1）·f（x2）<0，但在區(qū)間（x1，x2）上卻沒(méi)有零點(diǎn)，因此我們需要補(bǔ)充什么樣的一個(gè)條件呢？

生：函數(shù)圖像在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線。

師：嗯。那我們把這兩個(gè)條件結(jié)合在一起可以怎么表述呢？

生：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)。即存在c∈（a，b），使f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根。這就是零點(diǎn)的存在性定理。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生親歷零點(diǎn)存在性定理推理過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理能力，學(xué)生更能深刻地認(rèn)識(shí)到函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，在學(xué)習(xí)中體會(huì)發(fā)現(xiàn)“真理”的樂(lè)趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣。

問(wèn)題5：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的曲線，但不滿足f（a）·f（b）<0，是否意味著函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)呢？

生：二次函數(shù)中函數(shù)圖像只與x軸有一個(gè)交點(diǎn)的函數(shù)，比如y=x2-2x+1等于其類似的函數(shù)在定義域上連續(xù)，不滿足f（a）·f（b）<0但仍存在一個(gè)零點(diǎn)。

師：是的。這也就是說(shuō)零點(diǎn)存性定理只是函數(shù)零點(diǎn)存在的充分條件，并非必要條件。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題5，調(diào)動(dòng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理能力，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)一系列的數(shù)學(xué)思考后明白零點(diǎn)的存在性定理只是函數(shù)零點(diǎn)存在的充分條件，培養(yǎng)學(xué)生的辯思能力。

（四）定理應(yīng)用，能力提升

問(wèn)題6：求函數(shù)y=lnx+2x-6零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

生：用零點(diǎn)存在性定理。由于函數(shù)y=lnx+2x-6的定義域?yàn)椋?，+∞），并且為單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)閒（2）<0，f（3）>0，滿足f（2）·

f（3）<0，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)并且在區(qū)間（2，3）上。

師：大家說(shuō)這位同學(xué)講得對(duì)不對(duì)？

生：對(duì)！

師：這位同學(xué)熟練地運(yùn)用了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，并結(jié)合函數(shù)奇偶性來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，非常好。這道題還有沒(méi)有其他的解法？

生（舉手示意，并上臺(tái)講解）：寫(xiě)出函數(shù)y=lnx+2x-6所對(duì)應(yīng)的方程lnx+2x-6=0，即lnx=-2x+6，求函數(shù)y=lnx+2x-6的零點(diǎn)就可以看作求函數(shù)y=lnx與y=-2x+6函數(shù)的交點(diǎn)，分別畫(huà)出它們的圖像，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)y=lnx+2x-6的零點(diǎn)。（學(xué)生板演略）

（全班掌聲響起）

老師用GeoGebra軟件作出演示函數(shù)y=lnx+2x-6的圖像，并進(jìn)行驗(yàn)證。（PPT展示）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上述問(wèn)題檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的掌握、理解、運(yùn)用情況。拓展學(xué)生思維，使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（五）課堂小結(jié)，素養(yǎng)升華

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)零點(diǎn)的定義、零點(diǎn)存性定理、數(shù)學(xué)思想方法三個(gè)方面進(jìn)行歸納總結(jié)，并強(qiáng)調(diào)零點(diǎn)概念的易錯(cuò)點(diǎn)以及運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理求零點(diǎn)時(shí)要注意到函數(shù)的圖像必須是連續(xù)不斷的曲線。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、思想三個(gè)方面對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括素養(yǎng)。

三、課后思考

在函數(shù)滿足零點(diǎn)存在性定理的條件下，函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是否可進(jìn)一步縮小，怎么便捷有效地縮?。?/p>

設(shè)計(jì)意圖：引起學(xué)生思考，為下節(jié)課用二分法求方程的近似解作鋪墊。

四、教學(xué)反思

本小節(jié)的主要是概念教學(xué)，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著非常重要的作用，它是學(xué)生了解數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和源泉。由于在此之前學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)連續(xù)性的概念，所以不能以有關(guān)聯(lián)系性的概念來(lái)進(jìn)行推理，只能直觀地依靠圖像講道理。通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像的觀察經(jīng)歷根的求解過(guò)程，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，助推認(rèn)識(shí)的升華。通過(guò)分析、比較，提煉概念，生成概念也就順理成章。但從整體的知識(shí)構(gòu)架來(lái)看，學(xué)生必須經(jīng)歷一個(gè)由“數(shù)”到“形”再到“數(shù)”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，而正是這個(gè)過(guò)程不斷提升著學(xué)生直觀想象、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、邏輯推理、辯證思維等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會(huì)發(fā)現(xiàn)“真理”的樂(lè)趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣。

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[4]黃之.正確解讀教材文本 準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)：對(duì)“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”聽(tīng)課中的幾點(diǎn)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（4）：13-16.

◎編輯 張 慧