一類二階變系數(shù)線性微分方程解題方法探究

黃梅花

[摘? ? ? ? ? ?要]? 二階線性微分方程在常微分方程理論中占有重要的地位。一般求解常系數(shù)線性微分方程的方法包括特征根法、比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法等，但二階變系數(shù)線性微分方程卻沒有一般的方法進行求解。利用解微分方程的重要方法——常數(shù)變易法，給出一類二階變系數(shù)線性微分方程通解的求法和結(jié)論，經(jīng)過探究證明方法和結(jié)論是可行的。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 二階變系數(shù)線性微分方程;解題方法;通解

[中圖分類號]? O175? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2019）22-0194-02

形如y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的微分方程，稱為二階線性微分方程，其中p（x），q（x），f（x）是已知函數(shù)。當(dāng)f（x）≠0時，稱方程為二階非齊次線性微分方程;當(dāng)p（x），

q（x）為常數(shù)時，稱方程為二階常系數(shù)線性微分方程;當(dāng)f（x）=0時，稱方程為二階齊次線性微分方程;稱方程為二階變系數(shù)線性微分方程的條件則是p（x），q（x）為非常數(shù)。我們知道，其中p，q是常數(shù)的二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），（1）。當(dāng)（1）的特征方程r2+py+q=0的兩個根r1，r2為兩個相等的實根，即r1=r2=r時，（1）的通解為y=（C1+C2x）erx，其中y1=erx，y2=xerx分別為（1）的兩個特解。利用上述結(jié)果，對一類二階變系數(shù)齊次線性微分方程[k（x）y′]′+p（x）y′+q（x）y=0，（2）其中k（x），p（x），q（x）是關(guān)于x的函數(shù)，通過常數(shù)變易法給出了其通解的表達(dá)式。下面我們主要探討二階變系數(shù)線性微分方程的通解，因為對二階常系數(shù)線性微分方程的通解已經(jīng)有了一般的計算方法，當(dāng)然下面的定理也適用于二階常系數(shù)線性微分方程。

一、兩個定理及其證明

定理一：若y1為二階齊次線性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=0的特解，則二階非齊次線性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解為：

Y=c1y1+c2y2∫e-∫p（x）dxdx+y1∫[∫

y1f（x）e-∫p（x）dxdx]dx

分析過程如下：對方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解問題，我們由教材中的定理可知：若y1和y2是方程y''+p（x）y'+q（x）y=0的兩個線性無關(guān)的特解，y0是方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的特解，則y=C1y1+C2y2+y0是方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解。所以方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解問題，就轉(zhuǎn)化成求y2和y0，即兩個特解的問題。我們下面用常數(shù)變易法求解。

證明（1） 令y2=C1（x）y1（C1（x）為待定函數(shù)，且C1（x）非常數(shù)）是y''+p（x）y'+q（x）y=0的另一個特解，顯然y1和y2線性無關(guān)。我們求導(dǎo)，可得y2'=c1'（x）y1+c1（x）y1'，Y2''=c1''（x）y1+2c1'（x）y1'+c（x）y1''，將其代入方程y''+p（x）y'+q（x）y=0，整理可得：c1''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）c1'（x）+（y1''+p（x）y1'+q（x）y1）c1（x）=0已知y1為二階齊次線性微分方程y1''+p（x）y1'+q（x）y=0的特解，故y1''+p（x）y1'+q（x）y1=0，代入上式，有c1''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）ci'（x）=0。

這是一個關(guān)于C1'（x）的分離變量的微分方程，用分離變量法，得到：

C1'（x）=e∫-p（x）dxdx積分可得：c1（x）=∫e∫-p（x）dxdx

所以y2=y1∫e∫-p（x）dxdx是y''+p（x）y'+q（x）y=0的另一個特解，并且與y1線性無關(guān)。

（2）令y0=c2（x）y1（c2（x）為待定函數(shù)）是y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的一個特解，求導(dǎo)可得：yo'=c2'（x）y1+c2（x）y1'

y0'=c2'（x）y1+2c2'（x）y1'+c2（x）y1''將其代入方程y''+p（x）y+q（x）y=f（x），整理可得：

C2''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）c2'（x）+（y1''+p（x）y1'+q（x）y1）c2（x）=f（x）化簡可得：c2''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）c2'（x）=f（x）即c2''（x）+（p（x）+）c2'（x）=這是一個關(guān)于c2'（x）的一階線性微分方程，由常數(shù)變易法可得：c2'（x）=∫y1f（x）e∫p（x）dxdx

積分可得：c2（x）=∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx

所以y0=∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx是方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的一個特解。

由教材所學(xué)方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解為y=c1y1+c2y2+y0，將上邊所求的y2和y0代入有：y=c1y1+c2y2∫dx+y1∫∫y1f（x）e∫p（x）dxdxdx

即為所求的二階非齊次線性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解。

定理證畢。

定理二：對二階非齊次線性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），若存在函數(shù)u（x），v（x）滿足u（x）+v（x）=p（x）且u（x）+u（x）v（x）=q（x）則方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解：y=e∫-u（x）dx[e∫u（x）dx-v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）dx+c2]

證明將u（x）+v（x）=p（x）和u'（x）+u（x）v（x）=q（x）代入微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），經(jīng)過整理可得到（y'+u（x）y）'+ （y'+u（x）y）v（x）=f（x）其中令Z=y'+u（x）y，則上式可變?yōu)閦'+v（x）Z=f（x）這可以看成是關(guān)于Z的一個一階線性微分方程，利用常數(shù)變易法，可求得通解為：z=e-∫v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）

Z=y'+u（x）y變形有y'+u（x）y=Z，若Z已知，這個方程可以看成是關(guān)于y的一個一階線性微分方程，同樣利用常數(shù)變易法，可求得通解為：

將z=e-∫v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）代入上式y(tǒng)=e∫-u（x）dx（∫zeu（x）dxdx+c2）可得方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解為y=e∫-u（x）dx[e∫u（x）-v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）dx+c2]

則定理證明完畢。

二、應(yīng)用舉例

若y=是微分方程y''-4xy'+（4x2-2）y=0的一個特解，求微分方程y''-4xy'+（4x2-2）y=xlnx的通解。

我們的解題過程如下：首先由定理1，令y1=，p（x）=-4x，q（x）=4x2-1，f（x）=xlnx，所求微分方程的通解為：y=c1y1+c2y2∫e-∫p（x）dxdx+y1∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx經(jīng)過化簡可得：y=（c1+c2x+x3lnx-x3）另外，如果本題沒有已知條件，直接求微分方程y''-4xy'+（4x2-2）y=xlnx的通解，只要能找到u（x），v（x）就可以，因此我們可以借助定理2找出通解。

除此之外，如果該微分方程我們得到或觀察出對應(yīng)的齊次微分方程的一個特解，也可以由定理1求其通解。

綜上所述，在微分方程中二階變系數(shù)線性微分方

程占有重要地位，關(guān)于它的通解結(jié)構(gòu)，在理論上有十分完美的結(jié)論，但是除特殊的歐拉方程外求解二階變系數(shù)微分方程沒有一般的初等解法，所以對于一般的二階變系數(shù)線性微分方程：y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），其中p（x），q（x），f（x）是已知函數(shù)且為x在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，研究它的初等解法非常重要，對滿足一定條件下的二階變系數(shù)線性微分方程可采用化為恰當(dāng)方程通過降階得到微分方程的通解。二階變系數(shù)線性微分方程的通解計算沒有統(tǒng)一的初等解法。應(yīng)用上邊兩個定理時都有一定的條件限制，雖然對部分這種微分方程的通解給出了很好的計算方法和公式，但是并不是對所有的二階變系數(shù)線性微分方程適用。定理1條件是必須知道一個對應(yīng)齊次微分方程的特解，但對微分方程沒有限制。相反的定理2卻對微分方程的系數(shù)做了一定的限制。我們在具體求解過程中兩個定理各有千秋，所以我們要靈活應(yīng)用。我們都在定理的證明中用了兩次常數(shù)變易法，從中可以知道常數(shù)變易法對解微分方程的重要性。

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◎編輯 馮永霞