運(yùn)籌學(xué)課程教學(xué)模式探討

[摘? ? ? ? ? ?要]? 運(yùn)籌學(xué)是數(shù)學(xué)專業(yè)和管理類專業(yè)的核心課程之一。分析了運(yùn)籌學(xué)課程的特點(diǎn)，著重從教學(xué)過程中應(yīng)采用的幾種數(shù)學(xué)思維、教學(xué)方法兩方面對如何教好運(yùn)籌學(xué)課程進(jìn)行探討。教學(xué)實(shí)踐證明，運(yùn)籌學(xué)課堂教學(xué)模式有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高，理論和實(shí)驗(yàn)有機(jī)融合的一體化教學(xué)既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)的興趣，也提高了學(xué)生的操作能力，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新、創(chuàng)業(yè)意識。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 運(yùn)籌學(xué);數(shù)學(xué)思維;教學(xué)方法

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）22-0050-02

運(yùn)籌學(xué)，作為一門課程有其自身的特點(diǎn)：即數(shù)學(xué)模型的高度抽象性、數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)密邏輯性和實(shí)際應(yīng)用的范圍廣泛性。運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)不僅要使學(xué)生理解基本知識，掌握常用方法，具備建模和求解技能，還要在思想上完成從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)向應(yīng)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，思維方式上時刻關(guān)注問題的最優(yōu)化決策。運(yùn)籌學(xué)是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模、最優(yōu)控制等多門后續(xù)課程的基礎(chǔ)，是各領(lǐng)域解決實(shí)際問題不可或缺的數(shù)學(xué)工具。該課程教學(xué)的成功有利于提升學(xué)生將實(shí)際問題凝練為數(shù)學(xué)問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)意識，對培養(yǎng)雙創(chuàng)型人才具有重大意義。

一、運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中運(yùn)用的幾種數(shù)學(xué)思維

（一）抽象思維

抽象思維是對事物的屬性進(jìn)行分析、綜合、比較，抽取出事物的本質(zhì)屬性，撇開其非本質(zhì)屬性，使認(rèn)識從感性的具體進(jìn)入抽象的概念。線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中第一個抽象概念，之后的許多概念如運(yùn)輸問題、目標(biāo)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和非線性規(guī)劃等都是對線性規(guī)劃的深化和推廣。理解和掌握線性規(guī)劃的概念是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。

（二）邏輯思維

邏輯思維是借助概念、判斷、推理等思維形式能動地反映客觀現(xiàn)實(shí)的理性認(rèn)識過程。運(yùn)籌學(xué)中各分支的主要結(jié)論，其證明實(shí)際上都運(yùn)用了邏輯推理方法。學(xué)習(xí)定理的證明有助于增強(qiáng)學(xué)生思維的邏輯性。比如證明線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)可行解對應(yīng)于可行域的頂點(diǎn)時用到的反證法就是一種數(shù)學(xué)上經(jīng)常用到的邏輯方法。

（三）歸納思維

歸納是從眾多個別的事物中概況出一般性概念的思維方法，主要通過分析特例來引出普遍結(jié)論。比如，在運(yùn)籌學(xué)中，由合理利用線材問題、運(yùn)輸問題、連續(xù)投資問題的數(shù)學(xué)模型歸納出了線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型;由生產(chǎn)計劃問題和配料問題的數(shù)學(xué)模型歸納出了目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型;由多屬性綜合評價問題和有價證券的資組合問題歸納出了非線性規(guī)劃（特別是二次規(guī)劃）的數(shù)學(xué)模型;由最短路線問題和機(jī)器負(fù)荷問題歸納出了動態(tài)規(guī)劃的優(yōu)化思想。

（四）類比思維

類比是由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也可能相同或相似的一種推理形式。例如，在學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的單純想法后，可以用類比法得到對偶單純形法;對線性規(guī)劃的特例運(yùn)輸問題，可類比單純形法講解表上作業(yè)法;求解線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)決策變量有兩個時可采用圖解法，多于兩個時可采用類似于線性規(guī)劃的單純形法。

（五）發(fā)散思維

發(fā)散思維是從一個目標(biāo)出發(fā)，沿著各種不同的途徑思考，尋找多種求解思路的思維。例如，給出如下線性規(guī)劃：

針對模型結(jié)構(gòu)，我們可以利用兩階段法、大M法、對偶單純形法直接求解原模型。我們也可以采用間接方法，先寫出該規(guī)劃的對偶線性規(guī)劃。由于對偶規(guī)劃含有兩個決策變量y1和y2，用圖解法求出最優(yōu)解y1=8/5和y2=1/5，再用對偶定理得到原線性規(guī)劃的最優(yōu)解x1=11/5，x2=2/5和x3=0。

（六）收斂思維

收斂思維是從多種方法中找出最優(yōu)方法或唯一方法的思維方式與發(fā)散思維相對。例如，最短路線問題可以用逆序標(biāo)號法來計算，也可以用動態(tài)規(guī)劃思想求解，還可以用Dijkstra方法求解。這是發(fā)散思維，但用逆序標(biāo)號法簡便易操作，這就是收斂思維。

（七）創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造性思維是一種具有開創(chuàng)意義的思維活動，基于感知、記憶、思考、聯(lián)想、理解等能力，輔以綜合性、探索性和求新性特征的高級心理活動，需要人們付出艱苦的腦力勞動，開創(chuàng)出認(rèn)識新成果。

二、運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)方法

2018—2019學(xué)年第一學(xué)期我校采用理論課和實(shí)驗(yàn)課相結(jié)合的教學(xué)方式，使運(yùn)籌學(xué)教學(xué)過程得以優(yōu)化。

（一）理論課教學(xué)

1.教師對課程內(nèi)容有宏觀把握，關(guān)注學(xué)術(shù)前沿和研究熱點(diǎn)，備課時要鉆研教材，深入淺出，將前沿內(nèi)容與教材有機(jī)結(jié)合，以課前引導(dǎo)、課堂滲透和課后延伸閱讀等形式穿插到授課中，開闊學(xué)生的眼界和提升學(xué)生的高度。例如，我們在教材中以線性規(guī)劃等數(shù)學(xué)規(guī)劃為研究內(nèi)容，但目前學(xué)術(shù)界關(guān)于規(guī)劃的研究還有隨機(jī)規(guī)劃、模糊規(guī)劃和魯棒規(guī)劃等處理不確定信息的多種方式;講解完運(yùn)輸問題內(nèi)容后，借鑒國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于運(yùn)輸問題的最新研究進(jìn)展。

2.教師在講授內(nèi)容時展現(xiàn)出自己對運(yùn)籌學(xué)的深厚熱愛，用滿腔激情去影響學(xué)生，適當(dāng)引入運(yùn)籌學(xué)發(fā)展史和科學(xué)家以促進(jìn)學(xué)生

的學(xué)習(xí)積極性。例如，緒論中說明我國運(yùn)籌學(xué)發(fā)展時給學(xué)生介紹老一輩運(yùn)籌學(xué)家許國志和華羅庚的貢獻(xiàn);講授動態(tài)規(guī)劃時介紹最優(yōu)控制和錢學(xué)森的事跡。

3.課堂講授堅(jiān)持“少而精”原則。整體講清教材的知識結(jié)構(gòu)，章節(jié)間內(nèi)在聯(lián)系;每講突出授課內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。例如，線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立、圖解法、基礎(chǔ)可行解、單純形法、對偶規(guī)劃、對偶理論、靈敏度分析等一系列理論講解時，均采用兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃問題作為典型例子。

4.改革數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的粉筆加黑板的師授生受方式，嘗試用多媒體教學(xué)新模式。該方式的主要載體是教學(xué)課件，為此我們選擇Latex和PowerPoint作為編輯工具，制作了PDF和PPT電子教案。

實(shí)踐表明，上課前編輯課件，課上會發(fā)現(xiàn)存在字符錯誤。為保證教學(xué)順利進(jìn)行，對課件要做好及時更新和反饋評價。

多媒體教學(xué)借助數(shù)字化技術(shù)，具有信息量大、操作便捷的優(yōu)勢。經(jīng)過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，多媒體授課的實(shí)際效果與學(xué)生攝取的信息量并不是同步增長。觀察到學(xué)生高強(qiáng)度長時間集中精力有一定困難，一方面，我們把較難理解的內(nèi)容在黑板上邊板書邊講解，給學(xué)生整理和思考的時間，拒絕一股腦地向?qū)W生灌輸一系列知識;另一方面，針對重要求解方法，講解完后趁熱打鐵，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，體驗(yàn)學(xué)會一種方法的喜悅。

5.案例教學(xué)實(shí)現(xiàn)運(yùn)籌學(xué)理論與應(yīng)用實(shí)踐的有效連接，可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)模型和求解原理，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。例如，根據(jù)運(yùn)籌學(xué)的不同模塊內(nèi)容選擇不同案例。在線性規(guī)劃中討論配料問題和連續(xù)投資案例;整數(shù)規(guī)劃中引入設(shè)備選址與分配案例;二次規(guī)劃中分析投資組合案例;目標(biāo)規(guī)劃中探討應(yīng)急物資分配案例。

（二）實(shí)驗(yàn)課教學(xué)

1.實(shí)驗(yàn)教學(xué)與理論教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)過程符合新形勢下的

教學(xué)要求，讓學(xué)生既動腦又動手，充分利用現(xiàn)有技術(shù)發(fā)展為教學(xué)帶來的便利，規(guī)避了運(yùn)籌學(xué)中數(shù)學(xué)理論和算法的枯燥性，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)籌學(xué)教學(xué)的趣味性和實(shí)踐性。

2.與理論課內(nèi)容相對應(yīng)，實(shí)驗(yàn)課分成7個專題：Lingo基礎(chǔ)、線性規(guī)劃、運(yùn)輸問題、目標(biāo)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃和二次規(guī)劃和一個綜合性案例。每個專題自有特色，內(nèi)容循序漸進(jìn)。綜合案例來源于教師熟悉的研究領(lǐng)域或?qū)嶋H問題，對背景和決策有深刻

的理解，可以有充足的經(jīng)驗(yàn)和能力駕馭整個實(shí)驗(yàn)過程。

3.實(shí)驗(yàn)課時用開始20到30分鐘時間介紹上次課實(shí)驗(yàn)的計算結(jié)果和本次課的內(nèi)容及算例演示。特別是對一些關(guān)鍵問題，詳細(xì)分析如何根據(jù)問題建立模型，如何由模型寫出針對其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的Lingo程序，并依據(jù)實(shí)驗(yàn)計算結(jié)果給出具體決策方案。

4.實(shí)驗(yàn)課時采用屏幕共享方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

5.實(shí)驗(yàn)課是知識向能力轉(zhuǎn)化、理論指導(dǎo)實(shí)踐的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過幾次課的學(xué)習(xí)，可以看到學(xué)生在模型求解上已經(jīng)有自己的認(rèn)識

和心得，在時間允許的情況下，鼓勵優(yōu)秀學(xué)生分享自己的編程分析過程。例如，前面提到的營業(yè)區(qū)增設(shè)銷售店問題，就是由兩個學(xué)生自己針對問題特點(diǎn)，編寫了整數(shù)線性規(guī)劃程序找到不同營業(yè)區(qū)銷售店數(shù)量的最優(yōu)分配方案。

三、總結(jié)

“運(yùn)籌帷幄，決勝千里”。運(yùn)籌學(xué)的最優(yōu)化思想在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)等方面發(fā)揮了重要作用，是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)踐問題的橋梁，計算機(jī)技術(shù)與運(yùn)籌學(xué)有機(jī)結(jié)合是定量決策的最有力工具。2018—2019第一學(xué)期，我們在運(yùn)籌學(xué)信息化教學(xué)中邁開了第一步，實(shí)踐結(jié)果表明學(xué)生對“理論+上機(jī)”的教學(xué)模式態(tài)度上是積極的，學(xué)習(xí)效果是普遍滿意的。今后我們會繼續(xù)在實(shí)踐中完善，并探索其他的新方式，如PBL教學(xué)法、翻轉(zhuǎn)課堂等，提升大學(xué)生的實(shí)踐能力，更好地服務(wù)于高校培養(yǎng)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)人才的根本任務(wù)。

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◎編輯 李 靜