• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    案例教學法在矩陣的秩的教學中的應用

    2019-11-16 11:12:31何孝凱胡亞輝
    關鍵詞:代數(shù)例題性質

    何孝凱 胡亞輝

    [摘? ? ? ? ? ?要]? 在引入矩陣的秩的定義的基礎上,討論了矩陣的秩的常用性質,然后結合兩道有一定綜合性的例題,說明在實際教學過程中如何通過適當?shù)睦}讓學生加深對矩陣的秩的性質的理解與應用.通過適當?shù)陌咐v解有助于加深學生對所學高等代數(shù)內容的理解,提升課堂教學效果.

    [關? ? 鍵? ?詞]? 高等代數(shù);矩陣的秩;秩的性質;案例教學

    [中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603(2019)22-0008-02

    一、引言

    矩陣的秩是大學數(shù)學專業(yè)本科階段高等代數(shù)課程的重要內容之一,對矩陣的秩的學習有助于學生加深對線性相關性和線性方程組的解的結構和性質定理的理解和應用[1-3].考慮到高等代數(shù)課程的抽象性,在實際教學過程中教師可以借助案例教學法幫助學生理解和掌握所學具體內容[4,5].對矩陣的秩這一部分內容的教授,首先應該讓學生理解矩陣的秩的定義,特別是其與線性相關性的聯(lián)系,并在此基礎上研究矩陣的秩及其應用.在本文接下來的內容中,我們將首先介紹矩陣的行秩、矩陣的列秩、矩陣的行列式秩和矩陣的秩的概念,然后給出矩陣的秩的常用性質,最后通過解決兩道有一定綜合性的例題,說明在實際教學過程中如何通過適當?shù)睦}讓學生加深對矩陣的秩的性質的理解與應用.

    二、矩陣的秩的定義與性質

    在本小節(jié)中,我們首先引入矩陣的秩的概念[1].

    定義1:設A是m×n矩陣,則矩陣A的m個行向量組成的向量組的秩稱為矩陣A的行秩;矩陣A的n個列向量組成的向量組的秩稱為矩陣A的列秩.

    定義2:設A是m×n矩陣,若A有一個r階子式不為零,而A的所有r+1階(如果存在)都等于零,則稱r為矩陣A的行列式秩.

    對矩陣的行秩、列秩和行列式秩,有如下重要結果[1].

    定理:設A是m×n矩陣,則A的行秩、A的列秩、A的行列式秩三者相等,統(tǒng)稱為矩陣的秩,記為rank(A).

    接下來我們介紹矩陣的秩的常用性質[3],設A是m×n矩陣,B是n×s矩陣.

    性質1:rank(A)≤min{m,n}.

    性質2:rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}.

    性質3:rank(AB)≥rank(A)+rank(B)-n.

    性質4:rank(A+B)≤rank(A)+rank(B).

    性質5:若rank(A)=n,則rank(AB)=rank(B);

    若rank(B)=n,則rank(AB)=rank(A).

    性質6:若A是實矩陣,AT是A的轉置矩陣,則

    rank(A)=rank(AT)=rank(AAT)=rank(ATA).

    性質7:若A是復矩陣,A是A的復共軛矩陣,A*是

    A的轉置共軛矩陣,則rank(A)=rank(A)=rank(A*)=rank(AA*)=rank(A*A).

    三、實例教學

    在本小節(jié)中,我們將應用案例教學法,通過求解一道具體的例題加深學生對前述矩陣的秩的理解.

    例1.已知矩陣B是定義在實數(shù)域上的特征值非負的對稱的6×6矩陣且rank(B)=5,矩陣D=(α1 α2 α3 α4)是6×4矩陣且rank(D)=4.令ξ=α1+α2+α3+α4,若Bξ=0,求證rank(DTBD)=3.

    證明:由于矩陣B是定義在實數(shù)域上的特征值非負的對稱的6×6矩陣且rank(B)=5,從而存在正交矩陣P使得

    B=PTλ1 λ2? λ3? ?λ4? ? λ5? ? ?0P。

    引入矩陣=? 0? ? 0? 0? 0? 0 0 ?0? 0? 0? 0 0? 0 ?0? 0? 0 0? 0? 0 ?0? 0 0? 0? 0? 0 ?0,

    以及C=P,

    則rank(C)=5,且B=CTC.設R=1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1,則

    D1=DR=(α1? α2? α3? α4)1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1=(ξ α2? α3? α4)。

    根據(jù)秩的性質5,我們有

    rank(DTBD)=rank(RTDTBDR)=rank(DT1BD1)=

    rank(DT1CTCD1).

    欲證rank(DTBD)=3,只需證明rank(DT1CTCD1)=3.

    根據(jù)秩的性質6,

    有rank(DT1CTCD1)=rank((CD1)TCD1)=rank(CD1).

    故只需證明rank(CD1)=3.直接計算可得

    CD1=C(ξ α2 α3 α4)=(0 Cα2 Cα3 Cα4)

    注意到rank(B)=5及Bξ=0,可知BX=0的解空間是1維的且Bα2,Bα3,Bα4線性無關.又B=CTC且rank(C)=5,故Cξ=0且Cα2,Cα3,Cα4線性無關,所以rank(CD1)=3證明完畢.

    在課堂講授此例題時,要特別強調題目中的非負特征值條件是必不可少的.當出現(xiàn)負特征值時,矩陣CD1是復矩陣,根據(jù)秩的性質7,

    rank((CD1)TCD1)=rank(CD1)

    一般不再成立.在此處可以讓學生深刻體會處理復矩陣時要注意到

    rank((CD1)*CD1)=rank(CD1).

    為進一步加深學生對矩陣的秩的其他性質以及對線性相關性的理解,在實際教學過程中可進一步講解如下例題.

    例2.設B是一個n×n實對稱矩陣,D=(α1 … αm)是一個n×m矩陣,且rank(B)=n-1,rank(D)=m,Bξ=0(ξ≠0)且ξ∈span{α1,…,αm}.求證rank(BDDT)=m-1

    證明:因為rank(D)=m,故α1,…,αm線性無關,從而存在唯一的一組不全為零的數(shù)c1,…,cm使得ξ=c1α1+…+cmαm.不失一般性,可設c1≠0.令

    R=c1 0 … 0c2 1 … 0…? …? … 0cm? …? … 1,

    則rank(R)=m.根據(jù)秩的性質5,有rank(BDDT)=rank(BD)=rank(BDR),而

    BDR=B(ξ α2 … αm)=(0 Bα2 … Bαm)

    故有rank(BDDT)=rank(BDR)≤m-1.另一方面,根據(jù)秩的性質5和性質3,有

    rank(BDDT)=rank(BD)≥rank(B)+rank(D)-n=m-1

    從而可得rank(BDDT)=m-1證明完畢.

    四、小結

    本文討論了高等代數(shù)的重要教學內容之一的矩陣的秩,我們首先引入了矩陣的秩的定義,然后討論了矩陣的秩的常用性質,并特別指出了復矩陣的秩的一個重要性質.最后結合兩道有一定綜合性的例題,說明實際教學過程中如何通過適當?shù)睦}讓學生加深矩陣的秩的性質的理解與應用.在高等代數(shù)的其他內容的教學上,案例教學法也是非常有效的,通過適當?shù)陌咐v解,有助于加深學生對所學數(shù)學內容的理解,提升課堂教學效果.

    參考文獻:

    [1]北京大學數(shù)學系前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2013.

    [2]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京:科學出版社,2013.

    [3]姚慕生,吳泉水,謝啟鴻.高等代數(shù)學(第三版)[M].上海:復旦大學出版社,2014.

    [4]張奠宙,宋乃慶.數(shù)學教育概論[M].北京:高等教育出版社,2004.

    [5]鄭金洲.教學方法應用指導[M].上海:華東師范大學出版社,2006.

    ◎編輯 趙瑞峰

    猜你喜歡
    代數(shù)例題性質
    隨機變量的分布列性質的應用
    兩個有趣的無窮長代數(shù)不等式鏈
    Hopf代數(shù)的二重Ore擴張
    由一道簡單例題所引發(fā)的思考
    完全平方數(shù)的性質及其應用
    由一道簡單例題所引發(fā)的思考
    什么是代數(shù)幾何
    科學(2020年1期)2020-08-24 08:08:06
    九點圓的性質和應用
    厲害了,我的性質
    向量中一道例題的推廣及應用
    国产高清不卡午夜福利| 国产永久视频网站| 亚洲国产日韩一区二区| 美女主播在线视频| 久久久国产一区二区| 亚洲自偷自拍三级| 婷婷色综合www| 最近的中文字幕免费完整| 香蕉精品网在线| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 免费黄频网站在线观看国产| 国产在线免费精品| 亚洲精品,欧美精品| 亚洲欧洲日产国产| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 99久久精品国产国产毛片| 国产深夜福利视频在线观看| 欧美日本视频| 大陆偷拍与自拍| 欧美最新免费一区二区三区| 日本与韩国留学比较| 色吧在线观看| 国产综合精华液| 国产成人aa在线观看| 麻豆乱淫一区二区| 一个人免费看片子| 免费大片黄手机在线观看| 日本与韩国留学比较| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 少妇的逼好多水| 舔av片在线| 99热全是精品| 亚洲av成人精品一区久久| 夫妻性生交免费视频一级片| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 日韩三级伦理在线观看| 久久久久网色| av黄色大香蕉| 黑丝袜美女国产一区| 国产高潮美女av| 日本vs欧美在线观看视频 | 国产精品.久久久| 欧美xxⅹ黑人| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 热99国产精品久久久久久7| 人妻少妇偷人精品九色| 精品亚洲成国产av| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 久久久午夜欧美精品| 国产精品无大码| 麻豆国产97在线/欧美| 久久精品久久精品一区二区三区| 男人爽女人下面视频在线观看| 香蕉精品网在线| 蜜桃在线观看..| 99精国产麻豆久久婷婷| 26uuu在线亚洲综合色| 日韩大片免费观看网站| 综合色丁香网| 国产精品一区www在线观看| 中文字幕免费在线视频6| 在线精品无人区一区二区三 | 综合色丁香网| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 夜夜爽夜夜爽视频| 久久久久久久亚洲中文字幕| www.av在线官网国产| 人体艺术视频欧美日本| 啦啦啦在线观看免费高清www| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 2021少妇久久久久久久久久久| 免费看av在线观看网站| 亚洲国产日韩一区二区| 日本色播在线视频| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 国产免费视频播放在线视频| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| av专区在线播放| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 一区在线观看完整版| 成人特级av手机在线观看| 最后的刺客免费高清国语| 国产一级毛片在线| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| 26uuu在线亚洲综合色| 亚洲精品国产色婷婷电影| 毛片女人毛片| 亚洲av不卡在线观看| 免费大片黄手机在线观看| 亚洲av中文av极速乱| 国产爱豆传媒在线观看| 五月玫瑰六月丁香| 一级黄片播放器| 干丝袜人妻中文字幕| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 男的添女的下面高潮视频| 日韩制服骚丝袜av| 嫩草影院新地址| 亚洲国产色片| 一级毛片aaaaaa免费看小| 久久久久久久久久久免费av| 精品久久久久久久久亚洲| 夫妻午夜视频| 国产精品一二三区在线看| 国产精品一区www在线观看| 国产91av在线免费观看| www.av在线官网国产| 蜜臀久久99精品久久宅男| 色婷婷av一区二区三区视频| 高清欧美精品videossex| 久久久久久久久久久丰满| 黑丝袜美女国产一区| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 久久青草综合色| 成人影院久久| 久久精品久久久久久久性| 欧美97在线视频| .国产精品久久| 亚洲av欧美aⅴ国产| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 搡老乐熟女国产| 大香蕉97超碰在线| 久久久久久久国产电影| av天堂中文字幕网| 精品久久久久久电影网| 一二三四中文在线观看免费高清| 新久久久久国产一级毛片| 国产一区二区三区综合在线观看 | 97在线视频观看| 一级毛片我不卡| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 成人一区二区视频在线观看| 国产免费福利视频在线观看| 99热网站在线观看| 久久6这里有精品| 久久久久久久国产电影| 不卡视频在线观看欧美| 久久久午夜欧美精品| 麻豆国产97在线/欧美| a级毛色黄片| 国产伦精品一区二区三区四那| 免费观看av网站的网址| av又黄又爽大尺度在线免费看| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 人妻 亚洲 视频| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 久久 成人 亚洲| 下体分泌物呈黄色| 成年女人在线观看亚洲视频| 亚洲第一区二区三区不卡| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 最近手机中文字幕大全| 国产在视频线精品| 免费看不卡的av| 人妻夜夜爽99麻豆av| 少妇人妻久久综合中文| 99九九线精品视频在线观看视频| 国产精品一区www在线观看| 国产高清三级在线| 成年美女黄网站色视频大全免费 | 亚洲人成网站在线观看播放| 国产精品一区二区在线观看99| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 国产精品人妻久久久影院| 精品一区在线观看国产| 日本色播在线视频| 久久久久久九九精品二区国产| 国产精品久久久久久久电影| 免费观看在线日韩| 五月开心婷婷网| 欧美最新免费一区二区三区| 国产高潮美女av| 国产成人freesex在线| 国产淫语在线视频| videos熟女内射| 国产精品人妻久久久久久| 一个人免费看片子| 99re6热这里在线精品视频| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 韩国高清视频一区二区三区| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 干丝袜人妻中文字幕| 99热这里只有是精品在线观看| 久久人人爽人人片av| 人妻系列 视频| 国产视频内射| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 九九爱精品视频在线观看| 亚洲第一av免费看| 久久这里有精品视频免费| 国产在线视频一区二区| 大陆偷拍与自拍| 午夜福利在线在线| 国产真实伦视频高清在线观看| 亚洲欧美日韩无卡精品| 少妇丰满av| 亚洲欧美精品专区久久| 日韩av免费高清视频| 国产精品女同一区二区软件| 一区二区三区免费毛片| 乱系列少妇在线播放| 亚洲成人一二三区av| 高清在线视频一区二区三区| 精品一品国产午夜福利视频| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 九色成人免费人妻av| 成人二区视频| 亚洲av二区三区四区| 国产精品av视频在线免费观看| 国产精品精品国产色婷婷| 麻豆乱淫一区二区| 国产精品99久久久久久久久| 久久国产精品大桥未久av | 少妇人妻一区二区三区视频| 国产亚洲精品久久久com| 精品久久久噜噜| 国产伦理片在线播放av一区| 亚洲精品自拍成人| 日本一二三区视频观看| 久久婷婷青草| 国产一区二区三区av在线| 亚洲av免费高清在线观看| av视频免费观看在线观看| 日韩av不卡免费在线播放| 免费av中文字幕在线| 啦啦啦啦在线视频资源| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 99热网站在线观看| 国产成人aa在线观看| 欧美日本视频| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 人妻少妇偷人精品九色| 成人高潮视频无遮挡免费网站| 看非洲黑人一级黄片| 春色校园在线视频观看| 国产色婷婷99| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| 久久人人爽av亚洲精品天堂 | 久久久亚洲精品成人影院| 精品久久国产蜜桃| 成年人午夜在线观看视频| 久久精品国产亚洲av涩爱| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 久久 成人 亚洲| 亚洲性久久影院| 久久女婷五月综合色啪小说| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 一级av片app| 亚洲中文av在线| 日本vs欧美在线观看视频 | 成人二区视频| h日本视频在线播放| 七月丁香在线播放| videossex国产| 亚洲精品一二三| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 成人漫画全彩无遮挡| av在线app专区| 亚洲av日韩在线播放| 伦理电影免费视频| 热re99久久精品国产66热6| 寂寞人妻少妇视频99o| 国产精品欧美亚洲77777| 超碰97精品在线观看| 国产精品一区二区在线观看99| 国产精品人妻久久久影院| 下体分泌物呈黄色| 国产成人freesex在线| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 一区二区三区乱码不卡18| 国产精品国产av在线观看| 91aial.com中文字幕在线观看| 色吧在线观看| 中文字幕制服av| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 日韩三级伦理在线观看| 欧美成人午夜免费资源| 日本免费在线观看一区| 18禁在线播放成人免费| 久久精品久久久久久久性| 国产日韩欧美在线精品| 成人亚洲精品一区在线观看 | 只有这里有精品99| 国产黄片视频在线免费观看| 激情五月婷婷亚洲| 大片电影免费在线观看免费| 国产精品成人在线| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 亚洲色图综合在线观看| a级毛色黄片| 最近最新中文字幕大全电影3| 边亲边吃奶的免费视频| 美女国产视频在线观看| 嫩草影院新地址| 国产日韩欧美亚洲二区| 两个人的视频大全免费| 黑人猛操日本美女一级片| 韩国av在线不卡| 联通29元200g的流量卡| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 亚洲,一卡二卡三卡| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 97在线人人人人妻| 婷婷色麻豆天堂久久| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 3wmmmm亚洲av在线观看| 亚洲欧美一区二区三区国产| 一个人看视频在线观看www免费| 国国产精品蜜臀av免费| 内地一区二区视频在线| 午夜日本视频在线| 人妻少妇偷人精品九色| .国产精品久久| 亚洲av福利一区| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 欧美xxⅹ黑人| 高清不卡的av网站| 国产精品不卡视频一区二区| 日韩三级伦理在线观看| 亚洲av综合色区一区| 国产免费福利视频在线观看| 亚洲,一卡二卡三卡| 国产久久久一区二区三区| 日本午夜av视频| av不卡在线播放| 国产av一区二区精品久久 | 国产精品女同一区二区软件| 夜夜爽夜夜爽视频| 亚洲自偷自拍三级| 久久久久久人妻| 成人毛片60女人毛片免费| 久久韩国三级中文字幕| 午夜视频国产福利| 少妇人妻久久综合中文| 久久精品久久久久久久性| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 高清不卡的av网站| 黄色配什么色好看| 91久久精品国产一区二区三区| 久久精品国产亚洲av天美| 3wmmmm亚洲av在线观看| 51国产日韩欧美| 女性生殖器流出的白浆| 精品午夜福利在线看| videos熟女内射| 黄片无遮挡物在线观看| 男人和女人高潮做爰伦理| 国产熟女欧美一区二区| 精品少妇久久久久久888优播| 久久久a久久爽久久v久久| 国产成人91sexporn| 狂野欧美激情性bbbbbb| 最近中文字幕2019免费版| 在线观看免费高清a一片| 久久久精品免费免费高清| 一区二区av电影网| 性色av一级| 日本-黄色视频高清免费观看| 深爱激情五月婷婷| 国产一级毛片在线| 精品人妻视频免费看| 丝袜脚勾引网站| 亚洲av日韩在线播放| 一二三四中文在线观看免费高清| 在线播放无遮挡| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| av黄色大香蕉| 美女主播在线视频| 国产精品久久久久久精品古装| 身体一侧抽搐| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 十八禁网站网址无遮挡 | av一本久久久久| 欧美高清性xxxxhd video| 最黄视频免费看| 少妇 在线观看| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 精品久久久久久久末码| 国产毛片在线视频| 一级毛片电影观看| 亚洲欧美成人精品一区二区| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 免费黄色在线免费观看| 日韩av不卡免费在线播放| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 蜜桃在线观看..| 在线观看国产h片| 日日啪夜夜爽| 国产精品福利在线免费观看| 久久久久性生活片| 国产免费一级a男人的天堂| 91精品伊人久久大香线蕉| 亚洲,欧美,日韩| 日韩中文字幕视频在线看片 | 亚洲第一av免费看| 国内揄拍国产精品人妻在线| 久久人人爽人人片av| 亚洲欧美精品自产自拍| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 国产亚洲一区二区精品| 高清黄色对白视频在线免费看 | 免费av不卡在线播放| 欧美成人一区二区免费高清观看| 尾随美女入室| 免费观看性生交大片5| 另类亚洲欧美激情| 精品午夜福利在线看| 国产 一区 欧美 日韩| 少妇丰满av| 日韩欧美精品免费久久| 欧美+日韩+精品| 国产精品av视频在线免费观看| 少妇 在线观看| 欧美三级亚洲精品| 大码成人一级视频| 97在线人人人人妻| 交换朋友夫妻互换小说| 国产精品久久久久成人av| av专区在线播放| 蜜臀久久99精品久久宅男| 一本久久精品| 熟女av电影| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 韩国av在线不卡| 国产免费福利视频在线观看| 亚洲综合精品二区| av在线蜜桃| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| 超碰av人人做人人爽久久| 国产淫语在线视频| 亚洲av男天堂| 一个人免费看片子| 七月丁香在线播放| 一个人免费看片子| 亚洲国产精品专区欧美| 欧美丝袜亚洲另类| 大陆偷拍与自拍| 国产男人的电影天堂91| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 亚洲av综合色区一区| 中文字幕av成人在线电影| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 日日啪夜夜撸| 啦啦啦啦在线视频资源| 26uuu在线亚洲综合色| 国产久久久一区二区三区| 七月丁香在线播放| 日韩一区二区视频免费看| a级毛片免费高清观看在线播放| 97超碰精品成人国产| 天堂8中文在线网| 看免费成人av毛片| 一区二区三区免费毛片| 寂寞人妻少妇视频99o| a 毛片基地| 日韩一本色道免费dvd| 少妇熟女欧美另类| 观看av在线不卡| 亚洲美女搞黄在线观看| 亚洲av.av天堂| 最近最新中文字幕大全电影3| 777米奇影视久久| 秋霞伦理黄片| 激情 狠狠 欧美| 看免费成人av毛片| 丰满少妇做爰视频| 男女免费视频国产| 亚洲精品第二区| 免费人妻精品一区二区三区视频| 午夜福利视频精品| 黄色配什么色好看| 深爱激情五月婷婷| 亚洲国产精品999| 国产男女内射视频| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 卡戴珊不雅视频在线播放| 欧美高清成人免费视频www| 日韩成人av中文字幕在线观看| 亚洲美女黄色视频免费看| 男人爽女人下面视频在线观看| 久久人妻熟女aⅴ| 91精品国产国语对白视频| 日本-黄色视频高清免费观看| 六月丁香七月| 国产成人精品久久久久久| 免费观看的影片在线观看| 午夜福利高清视频| 一本一本综合久久| 亚洲成人av在线免费| 91精品国产国语对白视频| 亚洲最大成人中文| 我要看黄色一级片免费的| 熟女电影av网| 春色校园在线视频观看| 亚洲第一区二区三区不卡| 99久久精品国产国产毛片| 寂寞人妻少妇视频99o| 亚洲va在线va天堂va国产| 寂寞人妻少妇视频99o| av不卡在线播放| av在线观看视频网站免费| 国产乱来视频区| 大话2 男鬼变身卡| 日韩亚洲欧美综合| 亚洲精品aⅴ在线观看| 精品人妻熟女av久视频| 国产成人freesex在线| 日韩免费高清中文字幕av| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 久久国内精品自在自线图片| 九九在线视频观看精品| 久久6这里有精品| 男女免费视频国产| a 毛片基地| 黄片wwwwww| 欧美日韩亚洲高清精品| 91aial.com中文字幕在线观看| 性色av一级| 亚洲美女黄色视频免费看| videos熟女内射| 97超视频在线观看视频| 亚洲欧美成人精品一区二区| 一级毛片久久久久久久久女| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 校园人妻丝袜中文字幕| 国产精品.久久久| 日韩亚洲欧美综合| 22中文网久久字幕| 97热精品久久久久久| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 麻豆国产97在线/欧美| 亚洲美女搞黄在线观看| 在线观看免费日韩欧美大片 | 欧美一区二区亚洲| 国产大屁股一区二区在线视频| 亚洲欧美精品专区久久| 男男h啪啪无遮挡| 久热这里只有精品99| 少妇人妻久久综合中文| 99热这里只有是精品在线观看| .国产精品久久| 伦理电影免费视频| 欧美变态另类bdsm刘玥| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 欧美xxxx性猛交bbbb| 最近中文字幕2019免费版| 亚洲欧洲日产国产| 中文字幕久久专区| 国产 一区精品| 久久久色成人| 亚洲av欧美aⅴ国产| 国产精品久久久久久av不卡| 97超碰精品成人国产| 少妇人妻久久综合中文| 一级黄片播放器| h视频一区二区三区| 七月丁香在线播放| 久久99热6这里只有精品| 大话2 男鬼变身卡| 嫩草影院新地址| 国产在线视频一区二区| 嫩草影院新地址| 欧美变态另类bdsm刘玥| 久久97久久精品| 看免费成人av毛片| 下体分泌物呈黄色| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 新久久久久国产一级毛片| 日本vs欧美在线观看视频 | 亚洲国产精品国产精品| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 欧美+日韩+精品| 中文字幕精品免费在线观看视频 | 亚洲精品一二三| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 三级国产精品欧美在线观看| 久久久久久人妻| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 日本欧美视频一区| 亚洲精品久久午夜乱码| 久久鲁丝午夜福利片| 最近的中文字幕免费完整| 国产真实伦视频高清在线观看| 精品一区二区三卡| 丰满迷人的少妇在线观看| 在线观看人妻少妇| 亚洲欧洲日产国产| 精品视频人人做人人爽| 亚洲欧洲国产日韩| 国产欧美日韩精品一区二区| 久久人人爽人人爽人人片va| av黄色大香蕉| 国产成人精品婷婷| 久久婷婷青草| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 边亲边吃奶的免费视频| 久久久久久久国产电影| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 亚洲图色成人| 大片电影免费在线观看免费| 蜜桃在线观看..| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 久久久亚洲精品成人影院| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 久久人人爽av亚洲精品天堂 | 国产亚洲欧美精品永久| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 丰满迷人的少妇在线观看| 亚洲欧美日韩东京热|