• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    案例教學法在矩陣的秩的教學中的應用

    2019-11-16 11:12:31何孝凱胡亞輝
    關鍵詞:代數(shù)例題性質

    何孝凱 胡亞輝

    [摘? ? ? ? ? ?要]? 在引入矩陣的秩的定義的基礎上,討論了矩陣的秩的常用性質,然后結合兩道有一定綜合性的例題,說明在實際教學過程中如何通過適當?shù)睦}讓學生加深對矩陣的秩的性質的理解與應用.通過適當?shù)陌咐v解有助于加深學生對所學高等代數(shù)內容的理解,提升課堂教學效果.

    [關? ? 鍵? ?詞]? 高等代數(shù);矩陣的秩;秩的性質;案例教學

    [中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603(2019)22-0008-02

    一、引言

    矩陣的秩是大學數(shù)學專業(yè)本科階段高等代數(shù)課程的重要內容之一,對矩陣的秩的學習有助于學生加深對線性相關性和線性方程組的解的結構和性質定理的理解和應用[1-3].考慮到高等代數(shù)課程的抽象性,在實際教學過程中教師可以借助案例教學法幫助學生理解和掌握所學具體內容[4,5].對矩陣的秩這一部分內容的教授,首先應該讓學生理解矩陣的秩的定義,特別是其與線性相關性的聯(lián)系,并在此基礎上研究矩陣的秩及其應用.在本文接下來的內容中,我們將首先介紹矩陣的行秩、矩陣的列秩、矩陣的行列式秩和矩陣的秩的概念,然后給出矩陣的秩的常用性質,最后通過解決兩道有一定綜合性的例題,說明在實際教學過程中如何通過適當?shù)睦}讓學生加深對矩陣的秩的性質的理解與應用.

    二、矩陣的秩的定義與性質

    在本小節(jié)中,我們首先引入矩陣的秩的概念[1].

    定義1:設A是m×n矩陣,則矩陣A的m個行向量組成的向量組的秩稱為矩陣A的行秩;矩陣A的n個列向量組成的向量組的秩稱為矩陣A的列秩.

    定義2:設A是m×n矩陣,若A有一個r階子式不為零,而A的所有r+1階(如果存在)都等于零,則稱r為矩陣A的行列式秩.

    對矩陣的行秩、列秩和行列式秩,有如下重要結果[1].

    定理:設A是m×n矩陣,則A的行秩、A的列秩、A的行列式秩三者相等,統(tǒng)稱為矩陣的秩,記為rank(A).

    接下來我們介紹矩陣的秩的常用性質[3],設A是m×n矩陣,B是n×s矩陣.

    性質1:rank(A)≤min{m,n}.

    性質2:rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}.

    性質3:rank(AB)≥rank(A)+rank(B)-n.

    性質4:rank(A+B)≤rank(A)+rank(B).

    性質5:若rank(A)=n,則rank(AB)=rank(B);

    若rank(B)=n,則rank(AB)=rank(A).

    性質6:若A是實矩陣,AT是A的轉置矩陣,則

    rank(A)=rank(AT)=rank(AAT)=rank(ATA).

    性質7:若A是復矩陣,A是A的復共軛矩陣,A*是

    A的轉置共軛矩陣,則rank(A)=rank(A)=rank(A*)=rank(AA*)=rank(A*A).

    三、實例教學

    在本小節(jié)中,我們將應用案例教學法,通過求解一道具體的例題加深學生對前述矩陣的秩的理解.

    例1.已知矩陣B是定義在實數(shù)域上的特征值非負的對稱的6×6矩陣且rank(B)=5,矩陣D=(α1 α2 α3 α4)是6×4矩陣且rank(D)=4.令ξ=α1+α2+α3+α4,若Bξ=0,求證rank(DTBD)=3.

    證明:由于矩陣B是定義在實數(shù)域上的特征值非負的對稱的6×6矩陣且rank(B)=5,從而存在正交矩陣P使得

    B=PTλ1 λ2? λ3? ?λ4? ? λ5? ? ?0P。

    引入矩陣=? 0? ? 0? 0? 0? 0 0 ?0? 0? 0? 0 0? 0 ?0? 0? 0 0? 0? 0 ?0? 0 0? 0? 0? 0 ?0,

    以及C=P,

    則rank(C)=5,且B=CTC.設R=1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1,則

    D1=DR=(α1? α2? α3? α4)1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1=(ξ α2? α3? α4)。

    根據(jù)秩的性質5,我們有

    rank(DTBD)=rank(RTDTBDR)=rank(DT1BD1)=

    rank(DT1CTCD1).

    欲證rank(DTBD)=3,只需證明rank(DT1CTCD1)=3.

    根據(jù)秩的性質6,

    有rank(DT1CTCD1)=rank((CD1)TCD1)=rank(CD1).

    故只需證明rank(CD1)=3.直接計算可得

    CD1=C(ξ α2 α3 α4)=(0 Cα2 Cα3 Cα4)

    注意到rank(B)=5及Bξ=0,可知BX=0的解空間是1維的且Bα2,Bα3,Bα4線性無關.又B=CTC且rank(C)=5,故Cξ=0且Cα2,Cα3,Cα4線性無關,所以rank(CD1)=3證明完畢.

    在課堂講授此例題時,要特別強調題目中的非負特征值條件是必不可少的.當出現(xiàn)負特征值時,矩陣CD1是復矩陣,根據(jù)秩的性質7,

    rank((CD1)TCD1)=rank(CD1)

    一般不再成立.在此處可以讓學生深刻體會處理復矩陣時要注意到

    rank((CD1)*CD1)=rank(CD1).

    為進一步加深學生對矩陣的秩的其他性質以及對線性相關性的理解,在實際教學過程中可進一步講解如下例題.

    例2.設B是一個n×n實對稱矩陣,D=(α1 … αm)是一個n×m矩陣,且rank(B)=n-1,rank(D)=m,Bξ=0(ξ≠0)且ξ∈span{α1,…,αm}.求證rank(BDDT)=m-1

    證明:因為rank(D)=m,故α1,…,αm線性無關,從而存在唯一的一組不全為零的數(shù)c1,…,cm使得ξ=c1α1+…+cmαm.不失一般性,可設c1≠0.令

    R=c1 0 … 0c2 1 … 0…? …? … 0cm? …? … 1,

    則rank(R)=m.根據(jù)秩的性質5,有rank(BDDT)=rank(BD)=rank(BDR),而

    BDR=B(ξ α2 … αm)=(0 Bα2 … Bαm)

    故有rank(BDDT)=rank(BDR)≤m-1.另一方面,根據(jù)秩的性質5和性質3,有

    rank(BDDT)=rank(BD)≥rank(B)+rank(D)-n=m-1

    從而可得rank(BDDT)=m-1證明完畢.

    四、小結

    本文討論了高等代數(shù)的重要教學內容之一的矩陣的秩,我們首先引入了矩陣的秩的定義,然后討論了矩陣的秩的常用性質,并特別指出了復矩陣的秩的一個重要性質.最后結合兩道有一定綜合性的例題,說明實際教學過程中如何通過適當?shù)睦}讓學生加深矩陣的秩的性質的理解與應用.在高等代數(shù)的其他內容的教學上,案例教學法也是非常有效的,通過適當?shù)陌咐v解,有助于加深學生對所學數(shù)學內容的理解,提升課堂教學效果.

    參考文獻:

    [1]北京大學數(shù)學系前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2013.

    [2]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京:科學出版社,2013.

    [3]姚慕生,吳泉水,謝啟鴻.高等代數(shù)學(第三版)[M].上海:復旦大學出版社,2014.

    [4]張奠宙,宋乃慶.數(shù)學教育概論[M].北京:高等教育出版社,2004.

    [5]鄭金洲.教學方法應用指導[M].上海:華東師范大學出版社,2006.

    ◎編輯 趙瑞峰

    猜你喜歡
    代數(shù)例題性質
    隨機變量的分布列性質的應用
    兩個有趣的無窮長代數(shù)不等式鏈
    Hopf代數(shù)的二重Ore擴張
    由一道簡單例題所引發(fā)的思考
    完全平方數(shù)的性質及其應用
    由一道簡單例題所引發(fā)的思考
    什么是代數(shù)幾何
    科學(2020年1期)2020-08-24 08:08:06
    九點圓的性質和應用
    厲害了,我的性質
    向量中一道例題的推廣及應用
    波多野结衣巨乳人妻| 午夜免费男女啪啪视频观看| 日韩一本色道免费dvd| 亚洲人成网站高清观看| a级毛片免费高清观看在线播放| 人体艺术视频欧美日本| 韩国av在线不卡| 一级毛片久久久久久久久女| 午夜福利在线在线| 国产在线男女| 免费搜索国产男女视频| 少妇丰满av| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看| 人妻少妇偷人精品九色| 久久这里只有精品中国| 久久鲁丝午夜福利片| 免费看日本二区| 七月丁香在线播放| 一级黄色大片毛片| 国产av不卡久久| 国产精品电影一区二区三区| 亚洲精品国产av成人精品| 国产精品,欧美在线| 我的老师免费观看完整版| 国产视频内射| 欧美一区二区亚洲| 国产精品无大码| 在线播放无遮挡| 欧美高清性xxxxhd video| 欧美激情在线99| 99热网站在线观看| 色网站视频免费| 精品国内亚洲2022精品成人| 午夜激情欧美在线| 日本免费在线观看一区| 真实男女啪啪啪动态图| av又黄又爽大尺度在线免费看 | 插阴视频在线观看视频| 国产成人精品久久久久久| 成人鲁丝片一二三区免费| 日韩精品有码人妻一区| 亚洲人成网站在线观看播放| 麻豆成人午夜福利视频| 五月伊人婷婷丁香| 白带黄色成豆腐渣| 国产在线一区二区三区精 | 99久久九九国产精品国产免费| 午夜精品在线福利| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| a级一级毛片免费在线观看| 99久国产av精品国产电影| 久久久成人免费电影| .国产精品久久| 国产精品伦人一区二区| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 久久久久久久久久黄片| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 老司机影院毛片| 97超碰精品成人国产| 久久人人爽人人片av| 午夜福利在线观看吧| 精华霜和精华液先用哪个| 一个人看的www免费观看视频| 极品教师在线视频| 卡戴珊不雅视频在线播放| 精品久久久久久久久亚洲| 中文亚洲av片在线观看爽| 成人综合一区亚洲| 亚洲精品国产av成人精品| 国产一区亚洲一区在线观看| 国产精品一区二区性色av| 国产探花极品一区二区| 欧美成人a在线观看| 黄片无遮挡物在线观看| 桃色一区二区三区在线观看| 一边亲一边摸免费视频| 国产av在哪里看| 中文字幕久久专区| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | eeuss影院久久| 国产一级毛片在线| 免费搜索国产男女视频| 久久99蜜桃精品久久| av专区在线播放| 女人被狂操c到高潮| 狠狠狠狠99中文字幕| 欧美日韩在线观看h| 夫妻性生交免费视频一级片| 可以在线观看毛片的网站| 国产一级毛片在线| 毛片女人毛片| 日日干狠狠操夜夜爽| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 亚洲性久久影院| 乱系列少妇在线播放| a级毛片免费高清观看在线播放| 婷婷六月久久综合丁香| 不卡视频在线观看欧美| 久久久久久久亚洲中文字幕| 天美传媒精品一区二区| 国产精品日韩av在线免费观看| 男女下面进入的视频免费午夜| 欧美不卡视频在线免费观看| 国产精品美女特级片免费视频播放器| 美女内射精品一级片tv| 国产亚洲最大av| 精品人妻视频免费看| 最近中文字幕2019免费版| 国产老妇女一区| av.在线天堂| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 99久久成人亚洲精品观看| 男人的好看免费观看在线视频| 一级毛片电影观看 | 欧美一区二区国产精品久久精品| 蜜臀久久99精品久久宅男| 国产午夜精品一二区理论片| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 91久久精品国产一区二区成人| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 观看美女的网站| 国产黄a三级三级三级人| 麻豆国产97在线/欧美| av.在线天堂| 亚洲成人av在线免费| 色综合色国产| 欧美激情国产日韩精品一区| 亚洲精品影视一区二区三区av| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 亚洲av.av天堂| 黄色一级大片看看| 干丝袜人妻中文字幕| 国产精品久久久久久av不卡| 视频中文字幕在线观看| 精品久久国产蜜桃| 亚洲av.av天堂| 日韩制服骚丝袜av| 亚洲国产精品合色在线| 欧美xxxx性猛交bbbb| 岛国在线免费视频观看| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| .国产精品久久| 赤兔流量卡办理| 最近的中文字幕免费完整| 国产亚洲精品久久久com| av免费观看日本| 久久精品人妻少妇| 99久久精品一区二区三区| 久久久久久久国产电影| 欧美丝袜亚洲另类| 久久精品久久精品一区二区三区| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 成人国产麻豆网| 人人妻人人看人人澡| 亚洲国产精品久久男人天堂| 热99re8久久精品国产| 久久韩国三级中文字幕| 黄片无遮挡物在线观看| 国产av码专区亚洲av| 欧美变态另类bdsm刘玥| 九九爱精品视频在线观看| 嫩草影院入口| 免费大片18禁| 最近最新中文字幕免费大全7| 久久99蜜桃精品久久| 插逼视频在线观看| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 直男gayav资源| 男女视频在线观看网站免费| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 久久鲁丝午夜福利片| 能在线免费看毛片的网站| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 欧美性猛交黑人性爽| 国产精品一区二区三区四区久久| 精品一区二区免费观看| 久久欧美精品欧美久久欧美| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 99热这里只有是精品50| 日韩高清综合在线| 成人漫画全彩无遮挡| 高清av免费在线| 爱豆传媒免费全集在线观看| 一区二区三区高清视频在线| 少妇高潮的动态图| 啦啦啦韩国在线观看视频| 日本爱情动作片www.在线观看| 国产av不卡久久| 蜜臀久久99精品久久宅男| 三级国产精品欧美在线观看| 国产成人精品久久久久久| 精品少妇黑人巨大在线播放 | 日韩 亚洲 欧美在线| 一级二级三级毛片免费看| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 26uuu在线亚洲综合色| 国产黄片美女视频| 少妇高潮的动态图| 亚洲欧美一区二区三区国产| 好男人在线观看高清免费视频| 一区二区三区免费毛片| 日日干狠狠操夜夜爽| 观看美女的网站| 91精品伊人久久大香线蕉| 国产高清视频在线观看网站| 国内精品一区二区在线观看| 国产精品电影一区二区三区| 高清毛片免费看| 亚洲欧美精品综合久久99| videos熟女内射| 91久久精品国产一区二区成人| 免费观看的影片在线观看| 久久久成人免费电影| 亚洲精品色激情综合| 男女下面进入的视频免费午夜| 精品一区二区免费观看| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 亚洲美女视频黄频| av又黄又爽大尺度在线免费看 | 在线a可以看的网站| 久久久精品大字幕| 久久人妻av系列| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 久久久久久久久久久丰满| 久久久a久久爽久久v久久| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 精品久久久久久成人av| 国产精品一二三区在线看| 毛片一级片免费看久久久久| ponron亚洲| 欧美三级亚洲精品| 九九在线视频观看精品| 亚洲成人av在线免费| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 国产精品99久久久久久久久| 天堂影院成人在线观看| 亚洲人成网站高清观看| 色尼玛亚洲综合影院| 狠狠狠狠99中文字幕| 男人舔奶头视频| 91久久精品电影网| 看免费成人av毛片| 韩国av在线不卡| 少妇熟女欧美另类| 日本免费a在线| 国产午夜精品论理片| 亚洲成av人片在线播放无| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 禁无遮挡网站| 午夜爱爱视频在线播放| 久久精品夜色国产| av国产免费在线观看| 男的添女的下面高潮视频| 国产一级毛片七仙女欲春2| 欧美区成人在线视频| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 国产精品久久久久久精品电影| 国产精品综合久久久久久久免费| 婷婷色综合大香蕉| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 亚洲av成人av| av视频在线观看入口| 精品免费久久久久久久清纯| 中国国产av一级| 99热网站在线观看| 亚洲经典国产精华液单| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 久久这里有精品视频免费| 欧美潮喷喷水| 国产午夜精品一二区理论片| 人人妻人人看人人澡| 日韩成人伦理影院| 日本-黄色视频高清免费观看| av免费观看日本| 国产精品爽爽va在线观看网站| 免费观看的影片在线观看| 婷婷色av中文字幕| 国产色婷婷99| 亚洲成人av在线免费| 欧美日韩在线观看h| 国产亚洲午夜精品一区二区久久 | 18禁动态无遮挡网站| 国产激情偷乱视频一区二区| 精品国内亚洲2022精品成人| 国产成人a区在线观看| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 久久人人爽人人片av| 久久久久性生活片| 男人狂女人下面高潮的视频| 免费黄网站久久成人精品| av线在线观看网站| 欧美丝袜亚洲另类| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 国产真实乱freesex| 麻豆乱淫一区二区| 国产一级毛片在线| 老司机福利观看| 精品人妻一区二区三区麻豆| 久久99热这里只有精品18| 白带黄色成豆腐渣| 在线a可以看的网站| 国产午夜福利久久久久久| 亚洲激情五月婷婷啪啪| av播播在线观看一区| 人体艺术视频欧美日本| 日韩欧美 国产精品| 亚洲真实伦在线观看| 亚洲精品久久久久久婷婷小说 | 又爽又黄无遮挡网站| 国产精品永久免费网站| 秋霞伦理黄片| 日韩在线高清观看一区二区三区| 国产毛片a区久久久久| 三级国产精品欧美在线观看| 最近中文字幕2019免费版| 亚洲自拍偷在线| 综合色av麻豆| 久久99热这里只频精品6学生 | 中文欧美无线码| 亚洲欧美精品自产自拍| 日本wwww免费看| 变态另类丝袜制服| 偷拍熟女少妇极品色| 亚洲国产精品成人久久小说| 免费看日本二区| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 成人鲁丝片一二三区免费| av黄色大香蕉| 国产探花在线观看一区二区| 欧美激情国产日韩精品一区| 免费一级毛片在线播放高清视频| 搞女人的毛片| 高清午夜精品一区二区三区| 久久久久久九九精品二区国产| 波多野结衣高清无吗| 国产精品国产三级专区第一集| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 26uuu在线亚洲综合色| 日日撸夜夜添| 偷拍熟女少妇极品色| 一二三四中文在线观看免费高清| 亚洲综合精品二区| 久久久色成人| 亚洲久久久久久中文字幕| 欧美97在线视频| 国产毛片a区久久久久| 成人毛片60女人毛片免费| 国产精品国产三级专区第一集| 免费看a级黄色片| 麻豆成人av视频| .国产精品久久| 亚洲国产精品sss在线观看| 亚洲av免费在线观看| 综合色丁香网| av国产久精品久网站免费入址| 建设人人有责人人尽责人人享有的 | 亚洲人成网站高清观看| 亚洲精品一区蜜桃| 成人欧美大片| 亚洲av二区三区四区| 全区人妻精品视频| 神马国产精品三级电影在线观看| 美女黄网站色视频| 成人漫画全彩无遮挡| 69av精品久久久久久| 午夜亚洲福利在线播放| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 久久久欧美国产精品| 久久人人爽人人片av| 久久精品国产亚洲网站| 国产又色又爽无遮挡免| 最新中文字幕久久久久| 91久久精品国产一区二区成人| 天堂影院成人在线观看| 永久网站在线| 色哟哟·www| 色视频www国产| 国产探花极品一区二区| 26uuu在线亚洲综合色| 能在线免费看毛片的网站| 国产 一区 欧美 日韩| 日本免费一区二区三区高清不卡| 中国国产av一级| 中文在线观看免费www的网站| 久久久久久九九精品二区国产| 日韩强制内射视频| 国产单亲对白刺激| h日本视频在线播放| 亚洲在久久综合| 国产精品无大码| 丝袜美腿在线中文| 中文在线观看免费www的网站| 亚洲欧美精品自产自拍| 麻豆国产97在线/欧美| 99热6这里只有精品| 色5月婷婷丁香| 亚洲精品日韩av片在线观看| 一边摸一边抽搐一进一小说| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 亚洲欧美精品专区久久| 69人妻影院| 久久人妻av系列| 国产av在哪里看| 一边摸一边抽搐一进一小说| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 亚洲精品久久久久久婷婷小说 | 一区二区三区乱码不卡18| 国产午夜精品一二区理论片| 免费播放大片免费观看视频在线观看 | 亚洲精品色激情综合| 少妇人妻精品综合一区二区| 看免费成人av毛片| 爱豆传媒免费全集在线观看| 久久人人爽人人片av| 亚洲色图av天堂| 变态另类丝袜制服| 国产精品一二三区在线看| 99久久九九国产精品国产免费| 97在线视频观看| 欧美高清性xxxxhd video| 成人毛片60女人毛片免费| 国产高清有码在线观看视频| 久久久久久久亚洲中文字幕| 国产 一区精品| 久久久国产成人免费| 白带黄色成豆腐渣| 床上黄色一级片| 精品久久久久久成人av| 国产三级中文精品| 毛片一级片免费看久久久久| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 精华霜和精华液先用哪个| 国产精华一区二区三区| 亚洲成av人片在线播放无| 色综合亚洲欧美另类图片| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 亚洲国产精品合色在线| 五月玫瑰六月丁香| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 黄色一级大片看看| 丰满人妻一区二区三区视频av| 国产精品一区www在线观看| 国产精品野战在线观看| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 免费人成在线观看视频色| 日本色播在线视频| 插阴视频在线观看视频| 日韩欧美在线乱码| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看 | 亚洲激情五月婷婷啪啪| 亚洲va在线va天堂va国产| 特级一级黄色大片| 久久久久久伊人网av| 欧美日本亚洲视频在线播放| 成人毛片a级毛片在线播放| 国产免费视频播放在线视频 | 最后的刺客免费高清国语| av专区在线播放| 国产精品av视频在线免费观看| 久久久国产成人免费| 日韩国内少妇激情av| 亚洲精品色激情综合| 成人av在线播放网站| 日本熟妇午夜| 精品午夜福利在线看| 成人av在线播放网站| 国产免费男女视频| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 超碰97精品在线观看| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 免费大片18禁| 精品久久久噜噜| av免费观看日本| 国产精品一区www在线观看| 日韩国内少妇激情av| 高清av免费在线| 国产精品久久电影中文字幕| 国产爱豆传媒在线观看| 99久久无色码亚洲精品果冻| 18+在线观看网站| 日韩制服骚丝袜av| 麻豆av噜噜一区二区三区| 国产成人精品久久久久久| 91在线精品国自产拍蜜月| 亚洲天堂国产精品一区在线| 国产真实伦视频高清在线观看| 日本一二三区视频观看| 亚洲在久久综合| 男女边吃奶边做爰视频| 国产精品永久免费网站| 男女啪啪激烈高潮av片| av国产久精品久网站免费入址| 亚洲性久久影院| 国产精品人妻久久久影院| 一级av片app| 国产三级中文精品| 99久国产av精品国产电影| 日韩国内少妇激情av| 97在线视频观看| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 亚洲真实伦在线观看| 日本欧美国产在线视频| 亚洲最大成人中文| 久久久久久久午夜电影| 久久人妻av系列| 男人舔女人下体高潮全视频| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 成人亚洲欧美一区二区av| 偷拍熟女少妇极品色| 可以在线观看毛片的网站| 国产成人91sexporn| 老司机福利观看| 又粗又爽又猛毛片免费看| 亚洲va在线va天堂va国产| 国产伦在线观看视频一区| 欧美一区二区国产精品久久精品| videos熟女内射| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 国产精品伦人一区二区| 中文字幕av成人在线电影| 一本久久精品| 网址你懂的国产日韩在线| 嫩草影院精品99| 美女被艹到高潮喷水动态| 亚洲国产欧美在线一区| 级片在线观看| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 色视频www国产| 久久欧美精品欧美久久欧美| 久久久色成人| 日本免费在线观看一区| 午夜福利在线观看吧| 大香蕉久久网| 舔av片在线| 成人午夜精彩视频在线观看| 亚洲18禁久久av| 高清在线视频一区二区三区 | 97在线视频观看| 午夜精品一区二区三区免费看| 国产伦精品一区二区三区视频9| 国产单亲对白刺激| 久久久午夜欧美精品| 成人av在线播放网站| ponron亚洲| 精品无人区乱码1区二区| 亚洲乱码一区二区免费版| 女人被狂操c到高潮| 国产精品无大码| 老司机福利观看| 亚洲欧美成人综合另类久久久 | 黄片无遮挡物在线观看| 国产美女午夜福利| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 国产成人aa在线观看| 男的添女的下面高潮视频| 国产伦精品一区二区三区视频9| 韩国av在线不卡| 久久99精品国语久久久| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 汤姆久久久久久久影院中文字幕 | 国产一区亚洲一区在线观看| 亚洲人成网站高清观看| 美女黄网站色视频| 99久久成人亚洲精品观看| 久久精品久久久久久噜噜老黄 | 免费看a级黄色片| 久久精品久久久久久久性| 午夜福利网站1000一区二区三区| 日韩高清综合在线| 亚洲电影在线观看av| 午夜精品在线福利| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线 | 久久久久久伊人网av| 亚洲av电影不卡..在线观看| 亚洲精品亚洲一区二区| 国内精品宾馆在线| 1000部很黄的大片| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 国产爱豆传媒在线观看| 国产精品一区www在线观看| 日本-黄色视频高清免费观看| 国产精品久久久久久精品电影小说 | 中文字幕制服av| 国产一区二区在线观看日韩| 久久草成人影院| 精品久久久久久久久亚洲| 国产精品永久免费网站| 美女黄网站色视频| 国产一区有黄有色的免费视频 | 亚洲精品aⅴ在线观看| 国产精品一区www在线观看| 国产精品一区二区性色av| 日韩 亚洲 欧美在线| 只有这里有精品99| 婷婷色av中文字幕| 久久久久久九九精品二区国产| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 国产精品国产三级专区第一集| 婷婷色av中文字幕| 男女下面进入的视频免费午夜| 高清在线视频一区二区三区 | 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 久久精品91蜜桃| 能在线免费观看的黄片| 精品人妻偷拍中文字幕| 久久久久性生活片| 黄片无遮挡物在线观看| 国产精品伦人一区二区| 黄片wwwwww| 日本一本二区三区精品| 亚洲av成人av|