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    GBAS算法在TSP問(wèn)題中的應(yīng)用研究

    2019-11-16 05:38:32王晨琳黃世恩李天涯向宏志
    科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào) 2019年15期
    關(guān)鍵詞:并行算法

    王晨琳 黃世恩 李天涯 向宏志

    摘? ?要:本文使用基于圖的蟻群優(yōu)化算法(GBAS)進(jìn)行旅行商問(wèn)題(TSP)的求解。首先,對(duì)GBAS算法分別進(jìn)行串行、并行編程實(shí)現(xiàn)。其次,在串行編程情況下,通過(guò)對(duì)不同循環(huán)控制參數(shù)條件下TSP問(wèn)題計(jì)算結(jié)果的比較評(píng)價(jià),選擇了合適的循環(huán)控制計(jì)算參數(shù)。最后,使用TSPLIB工具生成一系列對(duì)稱TSP實(shí)例,基于所確定的計(jì)算參數(shù),分別用上述兩種算法進(jìn)行計(jì)算,并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析與總結(jié)。

    關(guān)鍵詞:蟻群優(yōu)化? GBAS算法? TSP? 串行算法? 并行算法

    中圖分類號(hào):TP301? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào):1674-098X(2019)05(c)-0004-05

    Abstract: This article chose a graph-based ant system (GBAS) optimization algorithm for serial & parallel coding achievements. Via the comparison among different results under various parameter conditions, the appropriate computing parameters were chosen. Subsequently, a series of TSP instances were produced by use of TSPLIB tool, and then computed with the above-mentioned two algorithms. Finally some summarizations & analyses of the results were given.

    Key Words: Ant colony optimization; GBAS algorithm; TSP; Serial algorithm; Parallel algorithm

    1? GBAS算法介紹

    1992年,Berkeley國(guó)際計(jì)算機(jī)科學(xué)研究院(ICSI)的客座研究員意大利人Marco Dorigo提出了一種基于蟻群系統(tǒng)的全新啟發(fā)式算法。蟻群優(yōu)化算法(ant colony optimization algorithms)的基本思想是模擬蟻群社會(huì)依賴信息素進(jìn)行通信的生物行為,用隨機(jī)試探的方法求解組合優(yōu)化問(wèn)題。

    受Dorigo的啟發(fā),W.J. Gutjahr提出了一種基于圖的蟻群系統(tǒng)[1-2](graph-based ant system),也就是GBAS算法。該GBAS算法可以簡(jiǎn)單描述如下[3]。

    STEP 0:對(duì)于n個(gè)城市的TSP問(wèn)題,N={1,2,…,n}, A={(i,j)|i,j∈N},城市間的距離矩陣D=(dij)nxn,為T(mén)SP圖中的每一條?。╥,j)賦信息素痕跡初值,假設(shè)有m只螞蟻在工作,所以螞蟻從同一個(gè)城市i0出發(fā)。k:=1,當(dāng)前最好解W=(1,2,…,n)。

    STEP 1:(外循環(huán))如果滿足算法停止規(guī)則,停止計(jì)算并且輸出最好解。否則,讓螞蟻s從起點(diǎn)i0出發(fā),用L(s)表示螞蟻s行走的城市集合,初始L(s)為空集,1≤s≤m。

    STEP 2:(內(nèi)循環(huán))按螞蟻1≤s≤m的順序分別計(jì)算。當(dāng)螞蟻在城市i,若L(s)=N或{l|(i,l)∈A, lL(s)}=,完成第s只螞蟻的計(jì)算。否則,若L(s)≠N且T={l|(i,l)∈A,lL(s)}-{i0}≠,則以概率到達(dá)j,L(s)=L(s)∪{j},i=j;若L(s)≠N且T={l|(i,l)∈A,lL(s)}-{i0}=,則到達(dá)i0,L(s)=L(s)∪{i0},i=i0;重復(fù)STEP 2。

    STEP 3:對(duì)1≤s≤m,若L(s)=N,按L(s)中城市的順序計(jì)算路徑長(zhǎng)度;若L(s)≠N,路徑長(zhǎng)度是一個(gè)充分大的數(shù)。比較m只螞蟻中的路徑長(zhǎng)度,取走最短路徑的螞蟻為t。若f(L(t))

    在STEP 3中,揮發(fā)因子ρk對(duì)于某固定的K≥1,滿足,并且。

    2? GBAS算法復(fù)雜性分析

    TSP問(wèn)題任何一個(gè)實(shí)例由城市數(shù)n和城市間的距離矩陣D={dij|1≤i,j≤n,i≠j}確定,因此TSP任意實(shí)例I的規(guī)模(用二進(jìn)制數(shù)表示)為l(I)=2n(n-1)+2+log2|P|,其中為實(shí)例中所有非零數(shù)的乘積。

    TSP問(wèn)題已經(jīng)被證明是NP完全[3],因此除非P∩NPC≠,否則不存在TSP問(wèn)題的多項(xiàng)式時(shí)間算法。因此計(jì)算TSP問(wèn)題的GBAS算法肯定不是其多項(xiàng)式時(shí)間算法。下面對(duì)GBAS算法的復(fù)雜性進(jìn)行簡(jiǎn)單分析。

    首先為了討論方便,假設(shè)GBAS算法的停止規(guī)則是固定外循環(huán)次數(shù)為k,內(nèi)循環(huán)螞蟻數(shù)為m。對(duì)于每只螞蟻,行進(jìn)到城市i時(shí),首先要進(jìn)行1次比較,判斷是否滿足L(s)=N或{l|(i,l)∈A, lL(s)}=,若否,則進(jìn)行一次轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算,若|T|表示該螞蟻仍未到達(dá)的城市總數(shù),則有|T|-1次加法,|T|次除法和|T|次比較。所以每只螞蟻?zhàn)咄暌淮稳烦痰挠?jì)算量為:

    則一次內(nèi)循環(huán)m只螞蟻總的計(jì)算量就是3mn(n+1)/2,完成一次內(nèi)循環(huán)以后,要更新信息素痕跡,這里假設(shè)揮發(fā)因子為常數(shù),則計(jì)算量為n(n-1)次乘法、n次除法和n次加法總計(jì)n(n+1)。因此進(jìn)行k次外循環(huán)總的計(jì)算量為CGBAS(I)=k(3m/2+1)n(n+1)=O(kmn2),而l(I)=O(n2+log2|P|),當(dāng)固定k,m時(shí),算法計(jì)算量隨實(shí)例規(guī)模的增大是同一個(gè)量級(jí)。

    3? 串行算法

    3.1 串行算法的編程實(shí)現(xiàn)與改進(jìn)

    用FORTRAN90實(shí)現(xiàn)上述GBAS算法,以TSPLIB產(chǎn)生的n=44的對(duì)稱TSP問(wèn)題為例,該算例實(shí)際最優(yōu)解為4385。但是輸出上述算法計(jì)算結(jié)果時(shí)發(fā)現(xiàn),計(jì)算結(jié)果非常依賴初始城市的順序,比如在不改變城市分布的前提下,人為打亂初始當(dāng)前最優(yōu)解W=(1,2,…,n)中的城市順序,發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果受W=(1,2,…,n)的影響很大,如表1所示。

    計(jì)算結(jié)果受初始W=(1,2,…,n)影響很大,并且與目標(biāo)值相差很大。改變程序的關(guān)鍵參數(shù)m(螞蟻數(shù))、k(同一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)k次則外循環(huán)結(jié)束)、rho(即揮發(fā)因子ρk),在可接受的開(kāi)銷下增加計(jì)算次數(shù),仍不能使算法很好的跳出局部最優(yōu)解。參考文獻(xiàn)[3]中已經(jīng)證明了GBAS算法的收斂性,因此可以認(rèn)為,上述情況主要是因?yàn)樗惴ㄊ諗刻?,因此需要?duì)上述GBAS算法進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)。

    經(jīng)過(guò)分析,作者認(rèn)為算法依賴初始值且不能足夠快的跳出局部最優(yōu),主要原因是計(jì)算每只螞蟻的下步轉(zhuǎn)移概率完全依賴信息素痕跡τij(k),而τij(k)的計(jì)算完全取決于其初始賦值、揮發(fā)因子ρk以及計(jì)算過(guò)程中的當(dāng)前最優(yōu)解,這些參量都與實(shí)例本身的信息無(wú)太大關(guān)聯(lián)。這顯然是不甚合理的。因此對(duì)上述GBAS算法的改進(jìn)集中在對(duì)一步轉(zhuǎn)移概率pij的處理方面。

    W.J. Gutjahr設(shè)計(jì)了一種計(jì)算一步轉(zhuǎn)移概率pij的規(guī)則[1]:

    3.2 串行算法參數(shù)選擇與結(jié)果分析

    本文統(tǒng)一使用的計(jì)算環(huán)境為:AMD 2500+ 1.83GHz CPU;512MB內(nèi)存。

    pij的計(jì)算使用Dorigo推薦相關(guān)參數(shù)為α=1,β=5,ρ=0.5。這樣GBAS算法還有兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)待定:參與內(nèi)循環(huán)的螞蟻數(shù)m以及控制外循環(huán)的同一最優(yōu)解出現(xiàn)次數(shù)k。下面先討論k的選擇。

    3.2.1 外循環(huán)控制參數(shù)k(同一最優(yōu)解出現(xiàn)次數(shù))的選擇

    以n=212的對(duì)稱TSP為例,固定m=30,改變k值得到結(jié)果如表2所示。

    從上面的計(jì)算可以看出,用增加k的方法把計(jì)算精度從1.13%提高到0.81%,相對(duì)精度提高0.32%,但是計(jì)算時(shí)間從63.82812s到115.3906s增加了80.78%。k的增加對(duì)結(jié)果影響并不大,卻會(huì)很大程度地增加計(jì)算時(shí)間。因此k的選取不宜太大,以后的計(jì)算中取k=5。

    3.2.2 內(nèi)循環(huán)控制參數(shù)m(螞蟻數(shù))的選擇

    以n=212的對(duì)稱TSP為例,固定k=5,改變m值得到結(jié)果如表3所示。

    從表3可以看出,m值的選取對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很大,對(duì)計(jì)算時(shí)間的影響也很大。后面的計(jì)算中m值取固定值50。

    通過(guò)上面一系列的計(jì)算和比較,選取參數(shù)如下:k=5,m=50。以此為基礎(chǔ)進(jìn)行TSP實(shí)例的計(jì)算與結(jié)果比較。計(jì)算規(guī)則為:對(duì)于每個(gè)城市數(shù)為n的實(shí)例,人為打亂城市分布順序,然后每個(gè)實(shí)例對(duì)3個(gè)不同打亂形式的城市分布順序計(jì)算,結(jié)果取3次計(jì)算的平均值以及其中最好的一個(gè)最短路徑值,與實(shí)際最優(yōu)解進(jìn)行對(duì)比,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。

    從表4可以看出,該GBAS算法計(jì)算結(jié)果存在一定的波動(dòng),這反映在同樣一個(gè)實(shí)例,不同初始城市順序的計(jì)算結(jié)果存在差異(最高達(dá)到10%的量級(jí)),這可能跟算法中內(nèi)循環(huán)存在隨機(jī)概率選擇有關(guān)。但是,只要進(jìn)行適當(dāng)多次計(jì)算(比如本文中計(jì)算3次),就可以以很高的概率逼近甚至覆蓋最優(yōu)解。本文中7個(gè)實(shí)例的計(jì)算,有5個(gè)實(shí)例達(dá)到了最優(yōu)解,還有一個(gè)實(shí)例偏差也僅為0.87%,計(jì)算結(jié)果還是比較令人滿意的。

    針對(duì)城市數(shù)較大時(shí)GBAS算法平均偏差與最優(yōu)值偏差相差比較大,也就是算法結(jié)果波動(dòng)比較大的問(wèn)題,Dorigo和Gambardella提出了一種改進(jìn)方法[4],即在內(nèi)循環(huán)里對(duì)每個(gè)城市i增加一個(gè)城市候選集cl,螞蟻s行進(jìn)到城市i以后,優(yōu)先考慮cl集合中的城市,只有在cl中城市都沒(méi)有被選擇時(shí),螞蟻s才考慮T集合中其他城市。他們的計(jì)算結(jié)果表明,選擇一個(gè)小的cl集合(推薦值cl=20),能同時(shí)改進(jìn)計(jì)算結(jié)果的平均值和最好值。

    GBAS算法計(jì)算TSP問(wèn)題的CPU時(shí)間隨著城市數(shù)的增加而增長(zhǎng)很快,表4中計(jì)算428城市實(shí)例時(shí)平均計(jì)算時(shí)間就達(dá)到了1172.01s,計(jì)算量還是相當(dāng)可觀的。這不僅與算法本身的復(fù)雜度有關(guān),也與本文在重復(fù)計(jì)算次數(shù)不多的情況下,為了保證計(jì)算結(jié)果的精度,而選取了比較大的螞蟻數(shù)取值(m=50)有關(guān)。本文第2小節(jié)對(duì)GBAS算法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的復(fù)雜性分析,算法的計(jì)算量為CGBAS(I)=k(3m/2+1)n(n+1)=O(kmn2)。而TSP實(shí)例的規(guī)模為l(I)=O(n2+log2|P|),如果按照這個(gè)分析,實(shí)例規(guī)模增大時(shí)算法計(jì)算時(shí)間應(yīng)該只是n2量級(jí)的增長(zhǎng),這跟計(jì)算結(jié)果不吻合。這是因?yàn)閷?shí)際計(jì)算過(guò)程為了保證解的精度,并沒(méi)有按照復(fù)雜性分析中假定的固定外循環(huán)次數(shù)的規(guī)則來(lái)停止運(yùn)算,而是采用了同一最短路徑出現(xiàn)k次作為停止規(guī)則。后一停止規(guī)則在實(shí)例規(guī)模較大的時(shí)候,明顯強(qiáng)于前面的停止規(guī)則,因此計(jì)算量的增加要高于預(yù)期。計(jì)算結(jié)果與理論上的計(jì)算復(fù)雜性分析并不矛盾,特此說(shuō)明。

    4? 并行算法

    4.1 并行算法的實(shí)現(xiàn)

    并行實(shí)現(xiàn)GBAS算法的流程如圖1所示。從蟻群算法的物理本質(zhì)來(lái)說(shuō),蟻群覓食過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)并行的過(guò)程,因此反映在并行算法上來(lái)說(shuō),各進(jìn)程實(shí)際上代表了各螞蟻單獨(dú)的覓食過(guò)程。雖然其它螞蟻對(duì)于路徑的選擇會(huì)影響該螞蟻的選擇,但是螞蟻的覓食過(guò)程是相對(duì)獨(dú)立的。為了使算法精度足夠高,同時(shí)不要浪費(fèi)太多的開(kāi)銷在信息傳遞上,需要適當(dāng)選擇每個(gè)進(jìn)程分配到的螞蟻數(shù)。

    并行算法的參數(shù)α=1,β=5,ρ=0.5與串行算法一致。在串行算法的實(shí)現(xiàn)中,我們已經(jīng)對(duì)螞蟻數(shù)的選擇進(jìn)行了討論,因此這里以上面討論的結(jié)果為依據(jù),為了保證每個(gè)進(jìn)程計(jì)算的精度,使它分配到的螞蟻數(shù)不少于min_ants。并行環(huán)境下對(duì)各進(jìn)程螞蟻數(shù)進(jìn)行了重新分配,每個(gè)進(jìn)程的螞蟻數(shù)為max(min_ants,m/n),其中m是總的螞蟻數(shù),n是進(jìn)程總數(shù)。這樣的螞蟻數(shù)分配既保證了各進(jìn)程計(jì)算量的一致,也保證了每個(gè)進(jìn)程螞蟻數(shù)不至于太少而影響其計(jì)算精度。程序中實(shí)際選取的總螞蟻數(shù)為m=100。

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