定角定弦“隱形圓”破解中考壓軸面積最值

楊格瑞

摘 要：在三角形中，如果一條邊確定，這條邊所對的角的度數(shù)也確定，這樣的三角形有無數(shù)個(gè)，此時(shí)組成角的頂點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，這些點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓上一段弧，因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等這個(gè)定理，那三角形的這條邊就是定邊（圓中稱之為弦），定邊所對的角的度數(shù)確定，這個(gè)角就是定角，這就是“隱形圓”中重要的定角定弦模型。定角定弦模型主要解決高最值，周長最值和面積最值問題。

關(guān)鍵詞：定角定弦;隱形圓;最值;數(shù)學(xué)建模

定角定弦問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，也是中考考查的重點(diǎn)。所以近年來，陜西以至全國各地的中考題或者名校的?？碱}中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“隱形圓”中“定角定弦”求最值的問題。如陜西省中考真題2016年和2019年，陜西省中考副題2016年和2017年壓軸題。此類問題綜合性強(qiáng)，常常會(huì)與三角形，四邊形進(jìn)行結(jié)合起來，隱蔽性強(qiáng)，大多數(shù)學(xué)生不容易想到，加上部分題目的計(jì)算量大，就很容易造成學(xué)生的丟分。很多學(xué)生面對定角定弦求最值問題時(shí)往往無從下手，其實(shí)是他們沒有掌握解決這一問題的方法和策略，也就是數(shù)學(xué)模型，基于此，在2018屆和2019屆初三復(fù)習(xí)課中，筆者對“隱形圓”中“定角定弦”模型進(jìn)行潛心研究，旨在探索出解決這類問題的有效措施，并且應(yīng)用于課堂當(dāng)中，使得學(xué)生在模型中掌握知識(shí)和技能，提高解決問題的能力，在中考中得到了很好的應(yīng)用，學(xué)生反映良好。

一、模型建立

圓周角定理推論：同弧所對的圓周角相等。但在一個(gè)三角形中，如果知道一條邊和這條邊所對的角，那么利用圓周角定理推論得出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在雙弧上。所以就可以得出“隱形圓”存在的條件：定角定弦，產(chǎn)生“隱形圓”。（如圖1）

二、“定角定弦”模型知識(shí)儲(chǔ)備

1.已知線段AB，求作點(diǎn)P，使得∠APB=90°，請作出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。分析：直角所對的邊是直徑。依據(jù)：定點(diǎn)加定長（如圖2）

2.已知線段AB，求作點(diǎn)P，使得∠APB=60°，請作出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。分析：做一個(gè)等邊三角形，然后做等邊三角形的外接圓，上下兩個(gè)，優(yōu)弧上所有點(diǎn)和AB組成的角∠APB=60°，此時(shí)為雙弧。依據(jù)：定邊對定角（如圖3）

3.舉一反三：會(huì)做定角為90°的“隱形圓”，那思考一下45°的“隱形圓”怎么做？135°的“隱形圓”？120°的“隱形圓”呢（如圖4）？

三、模型應(yīng)用

以2019年陜西中考真題壓軸題第三問為例：

25.（本題滿分12分）問題提出 ?1.如圖1，已知△ABC，試確定一點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請畫出這個(gè)平行四邊形.

問題探究 ?2.如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10.若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求滿足條件的點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離。

問題解決 ?3.如圖3，有一座塔A，按規(guī)劃，要以塔A為對稱中心，建一個(gè)面積盡可能大的形狀為平行四邊形景區(qū)BCDE.根據(jù)實(shí)際情況，要求頂點(diǎn)B是定點(diǎn)，點(diǎn)B到塔A的距離為50米，∠CBE=120°.那么，是否可以建一個(gè)滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)BCDE？若可以，求出滿足要求的□BCDE的最大面積;若不可以，請說明理由.（塔A的占地面積忽略不計(jì)）

分析：1.如圖6，分別找BC、AB、AC中點(diǎn)，由判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，得平行四邊形ABCD1，平行四邊形ABCD2，平行四邊形ABCD3或作平行線方法，或做全等得方法均可得到三個(gè)平行四邊形。

2.如圖7，∠BPC=90°，BC=10，定角定弦隱形圓，90°的圓O交AD分別于點(diǎn)P1，P2，此時(shí)S△BPCmax在Rt△OP1E中，OP1=r=5，OE=4，∴P1E=3，AP1=2，AP2=8

3.如圖8，點(diǎn)A為平行四邊形對稱中心，BA=50，∴BD=2BA=100（定值），∠CBE=120°，由平行四邊形鄰角互補(bǔ)知，∠BCD=60°，定角定弦隱形圓，以BD為邊，作圓周角為60°的隱形圓圓O，則優(yōu)弧為點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，由（1）作平行四邊形BCDE，2S△BCD=S△平行四邊形BCDEmax，當(dāng)點(diǎn)M為優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí)，或OA⊥DB交優(yōu)弧于點(diǎn)M時(shí)，此時(shí)S△平行四邊形BCDEmax=2，2S△BCM=2××100×50=5000m2

四、模型總結(jié)

定角定弦問題常應(yīng)用于求線段的“最值”，問題的關(guān)鍵就在于找到運(yùn)動(dòng)過程中必存在的定線段，及這條線段關(guān)于某一動(dòng)點(diǎn)的張角為定值。由張角的變化，去尋找這三點(diǎn)所構(gòu)成的隱形圓。找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問題就迎刃而解?！岸ń嵌ㄏ译[形圓數(shù)學(xué)模型”在初三二輪復(fù)習(xí)時(shí)作為“隱形圓”非常重要的模型，他的價(jià)值在于積累聯(lián)想原型，啟迪解題方向，為隱形圓綜合性問題找到更快更準(zhǔn)確的解決方法促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。