逆向思維能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)

朱艷紅 裴海江

逆向思維是從已有的習(xí)慣思路的反方向去思考、分析問題，表現(xiàn)為逆用定義、定理、公式法則，逆向進(jìn)行推理，反向進(jìn)行證明。從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維是思維靈活性的一種表現(xiàn)。不少問題正向思維已山重水復(fù)，改為逆向思考又可柳暗花明。知識(shí)逆向運(yùn)用可以退中求進(jìn)，化繁為簡(jiǎn)，反客為主，正難則反易。事實(shí)上，逆向思維是擺脫了思維定式，突破舊有思維框架，產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要思維方式，可以提高思維的靈活程度，開拓學(xué)生的思路。

在教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生反應(yīng)迅速，思維敏捷，有些學(xué)生反應(yīng)遲鈍，思維呆板。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維轉(zhuǎn)化能力的訓(xùn)練。而逆向思維又是思維轉(zhuǎn)化能力培養(yǎng)的一種重要形式，這種思維方式能消除思維定式的影響，跳出常規(guī)解題的圈子，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、靈活性和開闊性。

一、通過基礎(chǔ)知識(shí)激發(fā)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力

（一）在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

在教學(xué)實(shí)踐中，有些學(xué)生只會(huì)死記硬背一些定義、概念、法則，不能很好地融會(huì)貫通，以致造成思維的呆板。因此在引入概念時(shí)，先通過正向思維的初步掌握，再由逆向思維的訓(xùn)練加深理解。

如，（1）在教學(xué)“同類項(xiàng)”的概念時(shí)，應(yīng)正向教給學(xué)生“同類項(xiàng)”的概念，然后再加深理解。比如，在做練習(xí)已知[12]xmy3n與3x4y3是同類項(xiàng)，求m，n的值時(shí)，就需要學(xué)生由概念而逆向思考。

（2）在教學(xué)一元二次方程的概念時(shí)，我們先教給學(xué)生一元二次方程的概念，然后通過逆向的訓(xùn)練加深學(xué)生的理解。如，練習(xí)：已知方程（a+2）x2+2ax+27=0是一元二次方程，確定a的取值范圍或已知2xm+2+3x+27=0是一元二次方程，確定m的值。這兩個(gè)例子就是典型的正向教學(xué)概念通過逆向思維進(jìn)行解題。

（3）在教學(xué)直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，就必須要求學(xué)生會(huì)正向思維要逆向運(yùn)用。

（二）在公式、定理教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

數(shù)學(xué)中的許多公式，學(xué)生只知道從左到右，而不習(xí)慣從右到左地應(yīng)用。在教學(xué)實(shí)踐中多給學(xué)生從右到左的公式，并要會(huì)應(yīng)用。下面舉幾個(gè)典型的例子：

（1）在教學(xué)整式的乘除公式時(shí)，逆向運(yùn)用公式的練習(xí)比較多：

①am·an=am+n②（am）n=amn③（ab）n=anbn

④am+bn=am-n。再解答練習(xí)：已知 xa=8，xb=2，求xa+b 的值。這就需要對(duì)上述公式的逆向運(yùn)用。

（2）求（-2）1987·（0.5）1988的值時(shí)，就需要逆向運(yùn)用公式（ab）n=anbn，否則很難解出這道題。

（3）在教學(xué)一元二次方程根的判別式時(shí)，不僅要求會(huì)正向運(yùn)用，更重要的是逆向運(yùn)用。如，解答練習(xí)m取什么值時(shí)，關(guān)于X方程2x2-（m+2）x+2m-2=0有個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求出這時(shí)方程的根。這道題在思考時(shí)，先從這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得知，這個(gè)方程的根的判別式△=0，由此得到一個(gè)關(guān)于m的一元二次方程，解這個(gè)方程即得m的值。這種題可以說是典型的運(yùn)用逆向思維來解的，而又是非常常見的題型.

（4）在教學(xué)簡(jiǎn)便運(yùn)算式，乘法分配律不僅要理解從左到右的意義，更重要的是要知道從右往左是怎樣推導(dǎo)的，也就是它的逆向運(yùn)用。如，在用簡(jiǎn)便方法計(jì)算98x365+365x2時(shí)，就要用乘法分配律的逆向公式來解決：

98x365+365x2

=365x（98+2）

=365×100

=36500

因而，在公式、定理的教學(xué)過程中，應(yīng)該對(duì)一些能用逆向思維的公式、定理，讓學(xué)生學(xué)會(huì)逆向運(yùn)用。

二、重視解題方法中的逆向教學(xué)，提高學(xué)生的解題能力

（一）從結(jié)論入手，執(zhí)果索因

在學(xué)習(xí)平面幾何的過程中，學(xué)生在解題時(shí)感到有時(shí)無從著手，這是由于幾何題在解題時(shí)要有較強(qiáng)的邏輯推理能力，而學(xué)生解題時(shí)，最容易想到從條件到結(jié)論，但有時(shí)兩者之間沒有明顯的聯(lián)系，學(xué)生因方向不明確而無法下手。因而教師在講解例題時(shí)，要充分進(jìn)行逆向分析，從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知，找到已知與未知之間的橋梁，從而培養(yǎng)學(xué)生逆向分析的習(xí)慣。

例：在圓O中，∠APB=∠BPC=60°中，點(diǎn)A、P、B、C在圓上，試說明三角形ABC是等邊三角形。

分析：要想說明△ABC是等邊三角形，就得先說明三個(gè)內(nèi)角相等或三條邊相等或是頂角為60°的等腰三角形，在從已知來看，用三個(gè)角都相等這種情況較好。

證明：∵在圓O中，點(diǎn)A、P、B、C在⊙O上? ∴∠APB+∠ACB=180°

又∵∠APB=∠APC+∠BPC 、? ∠APC=∠BPC=60°

∴∠APB=120°? ? ? ∴∠ACB=60°

又∵弧AC=弧AC 弧BC=弧BC

∴∠APC=∠ABC=60°∠BPC=∠BAC=60°

在△ABC中，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°

∴△ABC是等邊三角形

（二）從反面入手，加強(qiáng)反證法

反證法教學(xué)能提高解題的靈活性，同時(shí)也使學(xué)生能正確理解各個(gè)概念、定理等。例如，一個(gè)三角形中只能有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角。證明時(shí)，從正面進(jìn)行證明就比較困難，從而從反面入手：若一個(gè)三角形中有兩個(gè)直角或兩個(gè)鈍角，則三角形的內(nèi)角和就大于180°了，這與三角形的內(nèi)角和定理相矛盾了。因而一個(gè)三角形最多只有一個(gè)直角或鈍角。

因此通過反證法的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生全面考慮問題，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

三、結(jié)語

總之，不論是在新教材的教學(xué)過程中，還是在舊教材的教學(xué)過程中，逆向思維的教學(xué)都是比較重要的，不可忽視的。要想培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，那么在教學(xué)實(shí)踐中更應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，因?yàn)槟嫦蛩季S有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、敏捷性、開闊性，從而為學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

【作者單位：敦煌市南街小學(xué) 敦煌市第二中學(xué)? 甘肅】