用向量法求二面角的常用技巧

唐中奎

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不管是教學(xué)觀念，還是教學(xué)方法，都發(fā)生了很大的變化，作為高中數(shù)學(xué)教師，需要積累豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及諸多的解題技巧，并且充分認(rèn)識(shí)到教學(xué)過(guò)程中存在的不足之處，進(jìn)而采取有效的解決對(duì)策，提升教學(xué)水平。其中，對(duì)二面角進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該對(duì)向量法給予高度重視，讓學(xué)生充分掌握常用的解題技巧。主要闡述了采用向量法求二面角的常用技巧。

關(guān)鍵詞：向量法;技巧;二面角

由于新課改的不斷推進(jìn)，在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了有效提高教學(xué)效率，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該從學(xué)生的學(xué)習(xí)情況出發(fā)，明確教學(xué)中存在的問(wèn)題，不斷調(diào)整教學(xué)模式，設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容要滿(mǎn)足學(xué)生的實(shí)際需求，尤其要重視一些解題技巧，以此提高學(xué)生的解題能力。一直以來(lái)，在高中教學(xué)中，向量法是重要的教學(xué)內(nèi)容，在高考的考點(diǎn)中，二面角方面的命題也比較常見(jiàn)，通過(guò)空間向量的應(yīng)用，為二面角命題提供了有效的解題方式。下面以向量求解二面角問(wèn)題為例。

題目：在四棱錐P-ABCD中，PD⊥CD，PDC面與ABCD面相互垂直，ABCD為直角梯形，∠ADC為直角，AB∥CD，AB=PD=AD=1，DC=2，詳情見(jiàn)圖1。

（1）證明：BC垂直于面PBD;

（2）求二面角B-PC-D的余弦值;

（3）在PC中，是否存在點(diǎn)Q，可以使P-DB-Q等于45°，如果存在點(diǎn)Q，請(qǐng)給出具體位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

一、根據(jù)現(xiàn)有的垂直關(guān)系構(gòu)建空間坐標(biāo)系

（1）證明：因?yàn)镻CD⊥ABCD，CD⊥PD，所以，PD⊥ABCD。具體見(jiàn)圖2所示。

以D為原點(diǎn)，構(gòu)建D-xyz空間直角坐標(biāo)系，那么，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，（1，1，0），因此，B⊥BC。

由于PD⊥ABCD，PD也就垂直于BC，因此，BC⊥PBD。

二、向量求解

在求解二面角的過(guò)程中，能夠直接轉(zhuǎn)化成為兩個(gè)平面的夾角問(wèn)題，通過(guò)求出兩個(gè)平面的法向量，可以找到答案，一般題中會(huì)給出一個(gè)平面的垂直線段，這就可以看作是法向量。對(duì)于另一個(gè)平面的法向量進(jìn)行求解時(shí)，需要根據(jù)法向量的定義進(jìn)行求解，也就是說(shuō)，利用一個(gè)法向量，得到另一個(gè)法向量。在本題的（2）中，對(duì)于PCD法向量，能夠直接利用向量DA進(jìn)行求解。

（2）解：已知AD⊥PC，0）屬于平面PCD的法向量。

設(shè)平面PBC的法向量為n=（x，。

1，1，0），可以得出-x+y=0，2y-z=0，當(dāng)x=1時(shí)，n=（1，1，2）。

設(shè)二面角B-PC-D為α，由圖可知，α是銳角，因此，cos

因此，二面角B-PC-D的余弦值為

三、判斷二面角的余弦值正負(fù)，可以根據(jù)法向量的方向性進(jìn)行解析

設(shè)n1，n2為二面角α-l-β的面的法向量α、β，二面角α-l-β的大小也就是法向量n1，n2的夾角，在本題（2）中，可以得知所求的二面角屬于銳角。不過(guò)，在多數(shù)情況下，判斷起來(lái)并不容易，但是，經(jīng)過(guò)向量的性質(zhì)，可以有效解決相關(guān)的問(wèn)題。

若PA⊥α于點(diǎn)A，PB⊥β于點(diǎn)B，平面PAB與l相交于點(diǎn)E，那么，∠AEB屬于二面角α-l-β的平面角，∠APB+∠AEB=π。假設(shè)n1，n2是二面角的法向量。如圖3。

（1）當(dāng)法向量n1、n2分別指向二面角的內(nèi)側(cè)和外側(cè)時(shí)，法向量n1、n2的夾角就是二面角的大小。

（2）當(dāng)法向量n1、n2的方面均指向二面角的內(nèi)側(cè)、外側(cè)時(shí)，那么，法向量n1、n2的夾角的補(bǔ)角就是二面角的大小。

判斷方法：在不改變法向量法向量n2的前提下，將平面β移動(dòng)到點(diǎn)起點(diǎn)，以此為原點(diǎn)，詳情見(jiàn)圖4。此時(shí)，可以判斷n2指向二面角的內(nèi)側(cè)，利用相同的方向，能夠確定另一個(gè)平面的法向量指向，進(jìn)而判斷法向量夾角是否屬于二面角。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了解決二面角方面的問(wèn)題，作為高中數(shù)學(xué)教師，要深入理解二面角的內(nèi)涵，并且根據(jù)新課改的要求，不斷地創(chuàng)新教學(xué)方法，讓學(xué)生掌握二面角的解題技巧。對(duì)于向量來(lái)說(shuō)，是一種有效的解題工具，不僅可以為學(xué)生提供新的思考方式，還能為教師提供新的教學(xué)方法，在很大程度上，可以有效簡(jiǎn)化學(xué)生的思考過(guò)程，進(jìn)而有效減少學(xué)生的運(yùn)算量，有效滿(mǎn)足了新課程改革的相關(guān)需求，也為二面角的求解提供了重要的解題武器。不僅如此，通過(guò)向量法，可以解決的題型比較多，本文只是列舉了一個(gè)例子而已，對(duì)于三角函數(shù)以及正余弦定理公式，還有線段定比分點(diǎn)公式等，均能夠以向量為工具，解二面角方面的問(wèn)題。由此可見(jiàn)，在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)該向?qū)W生全面滲透向量法的解題技巧，進(jìn)而培學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，使其能夠充分應(yīng)用向量法，提升自身的數(shù)學(xué)成績(jī)。

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