一種聯軸器動力學簡化計算方法與驗證*

（沈陽鼓風機集團股份有限公司）

0 引言

振動水平是衡量壓縮機產品質量的一個重要指標。壓縮機的廠內試車過程是檢驗壓縮機性能和質量的重要環(huán)節(jié)，同時也是產品交予用戶前的一道關鍵的安全保障。當振動問題發(fā)生時，用戶及現場人員更加關注的是產品本身是否存在問題。聯軸器作為機組驅動機與被驅動機的連接/保護部件，一方面承擔扭矩傳遞的功能，一方面為轉子安全運行提供保護作用[1-8]。如果聯軸器固有頻率與機組本身的轉動頻率接近，就會引起機組的振動停車。國內對于聯軸器的研究主要局限于具體產品的設計改進，多采用有限元法進行分析[9-12]，近年來對壓縮機用聯軸器動力學分析的理論研究也比較少見。

本文以一款聯軸器為案例入手，開展其動力學分析。通過參考梁的固有頻率理論計算方法[13-14]進行研究和計算，隨后針對實體簡化模型進行了有限元分析和相互比對驗證，最終給出聯軸器的固有頻率簡化計算方法以及適用范圍，以便于后續(xù)的工程應用。

1 理論計算

以一款聯軸器（型號HS8370）案例入手，其結構細節(jié)如圖1所示，聯軸器廠家提供的一階固有頻率為7 909rpm，長度2.374m，外徑φ0.24m，中段的長度與外徑比值為8.3（以下簡稱中段長徑比），中段長度為總長的83.8%，中段質量為總質量的64.9%。由圖1可知聯軸器主要由三個部分組成：驅動側（52kg）、中間段（192kg）、被驅動側（52kg）。其截面剛度也如此區(qū)分。則可將其力學模型簡化為如圖2的結構形式。

圖1 聯軸器結構簡圖Fig.1 Structural diagram of the coupling

圖2 聯軸器理論計算簡化模型Fig.2 Simplified model of the coupling

根據簡化后的理論計算模型應用結構動力學理論公式進行求解計算。其計算方法如下：

假定其驅動側、中間段、非驅動側的質量分別為M1，M2，M3，在三個質量等效位置處加載后的豎向變形分別為Y1，Y2，Y3，則根據柔度系數δij與變形關系可以獲得如下關系式：

其中（i=1，2，3）

其柔度系數δij可寫成矩陣形式：

假定變形Yi的通解為：

代入關系式（1），可以得到如下結果：

整理后可得關于Ai的三元一次方程組：

Ai有非零解，所以其方程組的系數行列式應等于零：

對于聯軸器的簡化模型而言，質量Mi是已知的，為求解系統(tǒng)固有頻率，則需要首先求解柔度系數δij，其求解方法可根據梁的撓度公式進行求解，單位力分別作用于不同的質量點位置，分別計算在單位力作用下的不同質量點位置的撓度（連接處變截面剛度需要考慮在內）。

聯軸器的固有頻率理論計算過程中，突出需要解決的有兩個問題，一個為撓度矩陣的計算，一個為一元三次方程組的解法。

考慮變截面梁的撓度疊加問題，以圖3模型為例，其撓度產生主要為集中力產生的撓度和彎矩產生的轉角，撓度采用懸臂梁公式的疊加方式，其中心處的撓度公式為：

圖3 梁撓度理論計算簡化模型Fig.3 Simplified model for the deflection's calculation

由此疊加法可以計算出撓度矩陣的各項值。而根據矩陣運算后會生成一個一元三次方程組，其解為結構的固有頻率。而一元三次方程組的解法可根據卡丹公式獲得，其公式如下：

有：

經計算本文中聯軸器的撓度系數矩陣結果如下：

將已知的Mi，δij代入關于Ai方程組的系數行列式，并假定，就可獲得關于X的一元三次方程組：

求得：

即求得固有角頻率ω：

計算獲得聯軸器的一階彎曲固有頻率為119.4Hz（7 162r/min）。

為考察理論計算的適用性，對該聯軸器開展有限元分析，進行固有頻率結果的比對工作。

2 有限元分析

首先根據聯軸器的結構特點進行三維有限元建模與簡化，其簡化的結構模型如圖4所示。將簡化后的三維實體模型導入有限元分析軟件ANSYS進行有限元模型的建立，以10節(jié)點4面體單元SOLID187為主，建立單元數為63 140、節(jié)點數117 918的有限元模型，如圖5所示。

圖4 三維分析用聯軸器模型Fig.4 Coupling model for 3D analysis

圖5 三維分析用有限元模型Fig.5 Finite element model for 3D analysis

針對聯軸器兩側的連接端面采用簡支的位移約束形式，采用BLOCK LANCZOS法對聯軸器有限元模型進行模態(tài)分析，獲得聯軸器的一階彎曲固有頻率為143.1Hz（8 586rpm）。其振型圖如圖6所示。

圖6 聯軸器一階彎曲振型圖Fig.6 First order bending mode shape of coupling

根據聯軸器圖紙所標定的實測固有頻率，將聯軸器的理論計算和有限元分析獲得了聯軸器的一階彎曲固有頻率進行比對，計算結果比對如表1所示，由表1的對比可知，因模型簡化導致的有限元分析誤差也達到了8.6%，而理論計算的偏差為9.4%。一般在工程應用中，動力學干涉評判的裕度選取10%到20%[15]，故此理論方法所計算得到的一階固有頻率，精度基本滿足工程需求。

為確定公式法的適用范圍，進一步的開展了多款聯軸器的應用與結果的驗證。

表1 聯軸器計算結果比對Tab.1 Comparison of coupling calculation

3 公式法驗證

公式法在實際運用的過程中，需要輸入的參量主要包括：聯軸器簡化的三段質量、質心位置、三段截面內外徑數據。

隨機選取額外11款聯軸器進行公式驗證和整理，其數據如表2所示?？梢钥闯龉逃蓄l率的計算誤差與輸入參數的大體規(guī)律。

從表2數據以及圖7也可以看出，針對中段的長徑比大于3，中段的長度比總長大60%，且中段的質量比總質量大50%的聯軸器，理論計算能夠得到較低的偏差。滿足上述條件的聯軸器，理論計算結果偏差基本能控制在15%以內?；究蓾M足固有頻率快速計算和現場問題排查的精度要求。

表2 聯軸器一階彎曲固有頻率計算結果Tab.2 Calculation results and error of coupling's first-order bending frequency

圖7 聯軸器理論計算誤差分布圖Fig.7 Calculation error distribution of coupling

針對聯軸器的一階彎曲固有頻率的理論計算，在AGMA 9104[15-16]中有相關的描述，其計算方法的簡化前提是等截面圓管，剛性支撐條件下的頻率計算。針對本文提及的12款聯軸器數據進行代入公式計算可以得到如表3的結果和對比。

表3 AGMA公式法計算結果Tab.3 Calculation results of AGMA formula method

其中，誤差定義為：

式中，F代表理論計算頻率；f代表實測頻率。產生誤差的根本原因在于理論計算過程中的質量和剛性的簡化等效。本文的方法進一步的考慮聯軸器兩端的變截面屬性以及實際的質量屬性，相比AGMA法的主要區(qū)別在于從單一質量和剛度等效變?yōu)榉秩齻€區(qū)域進行剛度和質量等效，故理論計算的誤差有所降低。

從表3可以看出，文中所提及的限定范圍內的聯軸器，本文的方法能夠更好的預估聯軸器頻率，而范圍外的大部分聯軸器，文中方法與AGMA標準的計算結果相近。

4 結論

由以上計算過程和計算結果可得出以下結論：

1）通過理論計算得到的案例聯軸器的一階彎曲固有頻率偏差為9.4%；

2）針對中段的長徑比大于3，中段的長度比總長大60%，且中段的質量比總質量大50%的聯軸器，此理論計算方法能夠得到滿足工程應用的精度需求；

3）提取聯軸器的關鍵幾何和質量屬性數據，應用此套理論方法，能夠快速得到限定條件下的聯軸器一階固有頻率。